直线的倾斜角与斜率经典例题(学生版

1、直线的倾斜角与斜率 讲义一引入直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定= 0°.问: 倾斜角的取值范围是什么? 0°180°.当直线l与x轴垂直时, = 90°.因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.如图, 直线abc, 那么它们的倾斜角相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角不能确定一条直线.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要

2、素: 一个点P和一个倾斜角.(二)直线的斜率:一条直线的倾斜角(90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tan当直线l与x轴平行或重合时, =0°, k = tan0°=0;当直线l与x轴垂直时, = 90°, k 不存在.由此可知, 一条直线l的倾斜角一定存在,但是斜率k不一定存在.例如, =45°时, k = tan45°= 1; =135°时, k = tan135°= tan(180° 45°) = - tan45°= - 1.学习了斜率之后

3、, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. (三) 直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公式的推导.(略)斜率公式: 对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角= 90°, 直线与x轴垂直；(2)k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换; (3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;(4

4、) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角=0°，直线与x轴平行或重合. (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到 (四)例题:例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略).例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3的直线a, b, c, l.二、题型归纳：【训练1】已知直线的倾斜角，求直线的斜率：（1） （2） （3） （4） （5） 【训练2】根据斜率求倾斜角：（1）当【训练3】已知直线的倾斜角是直

5、线的2倍，且，求直线的斜率。【训练4】（1）若直线的倾斜角取值范围为则斜率的取值范围是_ _；（2）若直线的斜率的取值范围是，则其倾斜角的取值范围是_ _ _。【训练5】已知直线过两点，求直线的斜率和倾斜角。【训练6】设点,点在y轴上，若直线的倾斜角为，求点的坐标。【训练7】若三点共线，求实数m的值。【训练8】已知点（，），（，），过P(0，)的直线与线段总有公共点，求直线l的斜率的范围。【变式】已知A（-1，3），B（2，2），直线l：（2m+1）x+(m-1)y-3m=0与线段AB总有公共点，求m取值范围yx三、强化训练：1、若图中的直线的斜率分别为，则的大小关系是_。2、已知直线的斜率的

6、绝对值为，则直线的倾斜角为 。3、已知直线的倾斜角为，且，则此直线的斜率为 。4、若过点的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是 。5、已知直线的倾斜角为，且，则直线斜率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 6、若直线AB的斜率为2，将直线绕点A按逆时针方向旋转后，所得直线的斜率是 （ ）A. B. C.3 D. 7、直线的斜率为（），则直线的倾斜角的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 8、已知两点，若直线的斜率分别为，求的坐标。类型一：倾斜角与斜率的关系1已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；【变式】直线的倾斜角的范围是( )A B C D类型二：斜率定义2已知A

7、BC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜率. 【变式1】如图，直线的斜率分别为，则( )ABCD类型三：斜率公式的应用3求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角【变式1】过两点，的直线的倾斜角为，求的值【变式2】为何值时，经过两点(-，6)，(1，)的直线的斜率是124已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值【变式1】已知，三点，这三点是否在同一条直线上，为什么？【变式2】已知直线的斜率，是这条直线上的三个点，求和的值两条直线的位置关系考试目标 主词填空1.两直线平行的充要条件.已知两直线

8、分别为：l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2，则l1l2k1=k2且b1b2.2.两直线垂直的充要条件.已知两直线分别为：l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2，则l1l2k1·k2=-1.3.两条直线的夹角.设直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，l1到l2的角为，l1与l2的夹角为，则tan，tan.4.点到直线的距离.点P0(x0，y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=.5.两平行线间的距离.两平行线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0(C1C2)之间的距离d=6.对称问题.(1)P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为 (2a-x，2b-

9、y).(2)P(x0，y0)关于直线Ax+By+C=0的对称点是.题型示例 点津归纳【例1】 已知两直线l1：x+m2y+6=0， l2：(m-2)x+3my+2m=0，当m为何值时，l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合.【例2】 求经过点P(2，3)且被两条平行线3x+4y-7=0及3x+4y+3=0截得的线段长为的直线方程.【例3】 一条光线经过点P(2，3)，射在直线l：x+y+1=0上，反射后穿过点Q(1，1).(1)求光线的入射线方程；(2)求这条光线从P到Q的长度.【例4】 已知三条直线l1：2x-y+a=0(a>0)，直线l2：-4x+2y+1=0和直线l3：x+

10、y-1=0，且l1与l2的距离是.(1)求a的值；(2)求l3到l1的角；(3)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：P是第一象限的点；P点到l1的距离是P点l2的距离的；P点到l1的距离与P到l3的距离之比是；若能，求P点坐标；若不能，说明理由.对应训练 分阶提升一、基础夯实1.如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么系数a= ( )A.-3 B. 6 C.- D. 2.点(0，5)到直线y=2x的距离是 ( )A. B. C. D.3.已知直线2x+y-2=0和mx-y+1=0的夹角为，那么m值为( ) A.-或-3 B.或3 C.或3 D.或-34.若直线l1：

11、y=kx+k+2与l2：y=-2x+4交点在第一象限内，则实数k的取值范围是( )A. (-，+) B.(-，2) C.(- ，2) D.(-，- )(2，+)5.两条直线A1x+B1y+C1=0，及A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是( )A. A1A2+B1B2=0 B.A1A2=B1B2 C.=-1 D. =16.如果直线ax-y+2=0与直线3x-y-b=0关于直线x-y=0对称，那么，a、b值为( )A.a=，b=6 B. a=，b=-6 C. a=3，b=-2 D. a=3，b=67.过两直线y=-x+和y=3x的交点，并与原点相距为1的直线有( )A. 0条 B. 2条 C.

12、 1条 D. 3条8.对0<|<的角，两直线l1：x-y·sin=cos与l2：x·cos+y=1的交点为( )A.在单位圆上 B.在单位圆外 C在单位圆内，但不是圆心 D.是单位圆的圆心9.已知A(-3，8)和B(2，2)，在x轴上有一点M，使得|AM|+|BM|最短，那么点M的坐标是( )A.(-1，0) B.(1，0) C.(，0) D.(0， )10.设直线l1：x·sin+y·+6=0， l2：x+y·=0，则直线l1与l2的位置关系是( )A.平行 B.垂直 C.平行或重合 D.相交但不垂直二、思维激活11.直线l1：2

13、x-5y+20=0，l2：mx-2y-10=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m的值等于 .12.直线ax+4y-2=0与直线2x-5y+c=0垂直相交于点(1，m)，则a= c= m= . 13.两条平行直线分别过点A(6，2)和B(-3，-1)，各自绕A，B旋转，若这两条平行线距离最大时，两直线方程分别是 .14.p，q满足2p-q+1=0，则直线px+2y+q=0必过定点 .三、能力提高15.已知直线l与点A(3，3)和B(5，2)的距离相等，且过两直线l1：3x-y-1=0和l2：x+y-3=0的交点，求直线l的方程.16.直线l过点(1，0)，且被两平行线3x+y-6=0和3x

14、+y+3=0所截得的线段长为9，求直线l的方程.17.求函数y=的最小值.18.已知点A(4，1)，B(0，4)，试在直线l：3x-y-1=0上找一点P，使|PA|-|PB|的绝对值最大，并求出这个最大值.例1 已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明. (借助计算机作图, 通过观察猜想: 四边形ABCD是平行四边形,再通过计算加以验证)解同上.例3 已知A(-6,0)

15、, B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.例4已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状. 分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中ABBC, 再通过计算加以验证. 二、典例剖析 题型一 直线平行问题例1:下列说法中正确的有( )若两条直线斜率相等,则两直线平行.若l1l2,则k1=k2.若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交.若两条直线的斜率都不存在,则两直线平行.规律技巧:判定两条直线的位置关系时,一定要考虑特殊情况,如两直线重合,斜率不存在等.一

16、般情况都成立,只有一种特殊情况不成立,则该命题就是假命题.变式训练1:已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与斜率为-2的直线平行,则m的值为( )A.-8 B.0 C.2 D.10 题型二 直线垂直问题例2:已知直线l1的斜率k1= ,直线l2经过点A(3a,-2),B(0,a2+1),且l1l2,求实数a的值.变式训练2:已知四点A(5,3),B(10,6),C(3,-4),D(-6,11).求证:ABCD.题型三 平行与垂直的综合应用例3:已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点D的坐标.易错探究例4:已知直线l1经过点A(3,a

17、),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1l2,求a的值.类型四：两直线平行与垂直5四边形的顶点为，试判断四边形的形状 【变式1】已知四边形的顶点为，求证：四边形为矩形【变式2】已知，三点，求点，使直线，且【变式3】若直线与直线互相垂直，则实数=_1.已知直线l过点(m,1)，(m1，tan1)，则 ()A一定是直线l的倾斜角 B一定不是直线l的倾斜角C不一定是直线l的倾斜角 D180°一定是直线l的倾斜角2如图，直线l经过二、三、四象限，l的倾斜角为，斜率为k，则 ()Aksin>0Bkcos>0 Cksin0Dkcos0题组二直线的斜

18、率及应用3.若一个直角三角形的三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且k1<k2<k3，则下列说法中一定正确的是()Ak1k21 Bk2k31 Ck1<0 Dk204已知a>0，若平面内三点A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a_.5已知两点A(1，5)，B(3，2)，若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则l的斜率是_题组三两条直线的平行与垂直6已知两条直线l1：axbyc0，直线l2：mxnyp0，则anbm是直线l1l2的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件7已知直线a2xy20与直线bx(a21)y10互相垂直，则|ab|的最小值为 ()A5 B