小学奥数教程整除与分类计数综合 教师版全国通用

1、.5-2-3.整除与分类计数综合知识框架1. 纯熟掌握整除的性质；2. 运用整除的性质解计数问题；3. 整除性质的综合运用求计数.知识点拨一、常见数字的整除断定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 假如一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 假如一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差

2、能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.【备注】以上规律仅在十进制数中成立.二、整除性质性质1 假如数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除即假如ca，cb，那么ca±b性质2 假如数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除即假如ba，cb，那么ca用同样的方法，我们还可以得出：性质3 假如数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除即假如bca，那么ba，ca性质4 假如数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除即假如ba，ca，且b，c=1，那么bca 例如：假如312，412，且3，4=1

3、，那么3×4 12性质5 假如数a能被数b整除，那么am也能被bm整除假如 ba，那么bmamm为非0整数；性质6 假如数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除假如 ba ，且dc ，那么bdac；例题精讲模块一、利用整除的性质分类枚举【例 1】 在方框中填上两个数字，可以一样也可以不同，使432是9的倍数. 请随意填出一种，并检查自己填的是否正确； 一共有多少种满足条件的填法？【考点】利用整除的性质分类枚举 【难度】3星 【题型】解答【解析】 一个数是9的倍数，那么它的数字和就应该是9的倍数，即432是9的倍数，而4329, 所以只需要两个方框中的数的和是9的倍

4、数依次填入3、6，因为4332618是9的倍数，所以43326是9的倍数；经过分析容易得到两个方框内的数的和是9的倍数，假如和是9,那么可以是9,0；8,1；7,2；6,3；5,4；4,5；3,6；2,7；1,8；0,9，共10种情况，还有0,0和9,9，所以一共有12种不同的填法【答案】143326，212种【例 2】 用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数? 【考点】利用整除的性质分类枚举 【难度】4星 【题型】解答【解析】 如今要求被11除余8，我们可以这样考虑：这样的数加上3后，就能被11整除了所以我们得到“一个数被11除余8的断定法那么：将偶位数字相加得一个和数，再

5、将奇位数字相加再加3，得另一个和数，假如这两个和数之差能被11整除，那么这个数是被11除余8的数；否那么就不是要把1，9，8，8排成一个被11除余8的四位数，可以把这4个数分成两组，每组2个数字其中一组作为千位和十位数，它们的和记作；另外一组作为百位和个位数，它们之和加上3记作我们要适当分组，使得能被11整除如今只有下面4种分组法： 偶位 奇位 1，8 9，8 1，9 8，8 9，8 1，8 8，8 1，9经过验证，只有第种分组法满足前面的要求：，能被11整除其余三种分组都不满足要求根据断定法那么还可以知道，假如一个数被11除余8，那么在奇位的任意两个数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换得到

6、的新数被11除也余8于是，上面第种分组中，1和8任一个可以作为千位数，9和8中任一个可以作为百位数这样共有4种可能的排法：1988，1889，8918，8819【答案】4种可能的排法：1988，1889，8918，8819【例 3】 在1至2019这2019个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有多少个？ 【考点】利用整除的性质分类枚举 【难度】4星 【题型】解答【解析】 1到2019这2019个自然数中，3和5的倍数有个，3和7的倍数有个，5和7的倍数有个，3、5和7的倍数有个所以，恰好是3、5、7中两个数的倍数的共有个【答案】228【例 4】 有些数既能表示成3个连续自然数的和，

7、又能表示成4个连续自然数的和；还能表示成5个连续自然数的和请你找出700至1000之间，所有满足上述要求的数，并简述理由.【考点】利用整除的性质分类枚举 【难度】4星 【题型】解答【解析】 3个连续自然数的和，一定可以被3整除；4个连续自然数的和，一定可以被2整除，且除以2所得的商是奇数，也就是说它不能被4整除，除以4所得余数为2；5个连续自然数的和，一定可以被5整除3、2、5的最小公倍数是30，所以满足上述三个条件的最小的数是303、4、5的最小公倍数是60，所以60的整数倍加上30就可以满足条件，所以第一个符合题意的数是，最大的一个数是，共计个数，分别为750、810、870、930、99

8、0【答案】750、810、870、930、990模块二、利用整式拆分进展分类枚举【例 5】 在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个. 【考点】利用整式拆分进展分类枚举 【难度】4星 【题型】解答【解析】 两位数字中能被11整除的数字是11、22、99这些数字中显然没有这样的数.三位数，设这个三位数为，有和，显然有，所以就有，814，715，616，517，418，319这7个.四位数，设这个四位数为， 有和中，假设，那么或4有2种组合，b和d有2种.因此有4种； 有和，那么只能，和有7种组合.综上所述，这样的数有个.观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原

9、那么，有目的、有方案的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进展观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。我加以肯定说“这是乌云

10、滚滚。当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗读自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深化，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的根底上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经历联络起来，在开展想象力中开展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿

11、可以生动形象地描绘观察对象。【答案】18个【例 6】 “教书先生恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生概念并非源于教书，最初出现的“先生一词也并非有传授知识那般的含义。?孟子?中的“先生何为出此言也？；?论语?中的“有酒食，先生馔；?国策?中的“先生坐，何至于此？等等，均指“先生为父兄或有学问、有德行的长辈。其实?国策?中本身就有“先生长者，有德之称的说法。可见“先生之原意非真正的“老师之意，倒是与当今“先生的称呼更接近。看来，“先生之根源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称“老师

12、为“先生的记载，首见于?礼记?曲礼?，有“从于先生，不越礼而与人言，其中之“先生意为“年长、资深之传授知识者，与老师、老师之意根本一致。在1、2、3、42019这2019个数中有多少个自然数a能使2019+a能被2019-a整除。【考点】利用整式拆分进展分类枚举 【难度】4星 【题型】解答【解析】 我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就锋利地提出:“中小学语文

13、教学效果差,中学语文毕业生语文程度低,十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!寻根究底,其主要原因就是腹中无物。特别是写议论文,初中程度以上的学生都知道议论文的“三要素是论点、论据、论证,也通晓议论文的根本构造:提出问题分析问题解决问题,但真正动起笔来就犯难了。知道“是这样,就是讲不出“为什么。根本原因还是无“米下“锅。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背的重要性,让学生积累足够的“米。此题考察代数知识的综合技巧，是一道难度较大的题