直线与圆锥曲线更多关注高中学习资料库微信：gzxxzlk

1、直线与圆锥曲线知识框架倾斜角和斜率直线的方程位置关系直线方程的形式倾斜角的变化与斜率的变化重合平行相交垂直A1B2A2B10A1B2A2B10A1A2B1B20点斜式：yy0k(xx0)斜截式：ykxb两点式：截距式：1一般式：AxByC0注意各种形式的转化和运用范围.两直线的交点距离点到线的距离：d，平行线间距离：d圆的方程圆的标准方程圆的一般方程直线与圆的位置关系两圆的位置关系相离相切相交D0，或drD0，或drD0，或dr曲线与方程轨迹方程的求法：直接法、定义法、相关点法圆锥曲线椭圆双曲线抛物线定义及标准方程性质范围、对称性、顶点、焦点、长轴（实轴）、短轴（虚轴）、渐近线（双曲线）、准线

2、（只要求抛物线）离心率对称性问题中心对称轴对称点(x1，y1) 点(2ax1，2by1)曲线f (x，y) 曲线f (2ax，2by)特殊对称轴x±yC0直接代入法截距注意：截距可正、可负，也可为0.点(x1，y1)与点(x2，y2)关于直线AxByC0对称；注：（）焦点弦长：椭圆：；抛物线：x1+x2+p=；（）通径（最短弦）：椭圆、双曲线：；抛物线：2p。过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：（同时大于0时表示椭圆，时表示双曲线）；双曲线中的结论：双曲线（a>0,b>0）的渐近线：；共渐进线的双曲线标准方程为为参数，0）；双曲线为等轴双曲线渐近线为渐近线互相垂直；（6）

3、抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB性质：<> x1x2=；y1y2=p2；直线与圆锥曲线问题解法：（要求降低）直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。注意以下问题：联立的关于“”还是关于“”的一元二次方程？直线斜率不存在时考虑了吗？判别式验证了吗？设而不求（代点相减法）：-处理弦中点问题步骤如下：设点A(x1，y1)、B(x2,y2)；作差得；解决问题。考点解读：1直线的斜率与倾斜角倾斜角，；斜率：；斜率公式：.2直线方程点斜式：；斜截式：.两点式：；截距式：.一般式：，（不全为0）；直线的方向向量：或，法向量.3直线的平行关系与垂直关系直线方程平

4、行的充要条件垂直的充要条件备注斜率存在且（验证）不可写成分式4两条直线的交点联立方程5两点间的距离，点到直线的距离，平行线间的距离（1）（2）点到直线的距离：.（3）两条平行线与的距离是.6方程：中的几何意义是什么？7. 直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为零，直线在两轴上的截距相等直线的斜率为或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线在两轴上的截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点。例如：过点(1, 2)且在坐标轴上截距相等的直线方程为。8.圆的方程：标准方程：；.一般方程：.注：表示圆.（3）参数方程:;圆的方程的求法：待定系数法；几何法；圆系法.9.直线与圆、圆

5、与圆的位置关系（B）（主要掌握几何法）点与圆的位置关系：（表示点到圆心的距离）点在圆上；点在圆内；点在圆外.直线与圆的位置关系：（表示圆心到直线的距离）相切；相交；相离.圆与圆的位置关系：（表示圆心距，表示两圆半径，且）相离；外切；相交；内切；内含.10.其他一些结论：直线系已知直线平行直线系垂直直线系相交直线系过圆上的点的切线方程为：.过圆上的点的切线方程为：.以、为直径的圆的方程是.圆系：.注：当时表示两圆相交弦所在直线.11.中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质定义：第一定义：.平面内动点与两定点、的距离的和大于|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|，则这样的点不存在；若距离之和等

6、于|，则动点的轨迹是线段.几何性质标准方程图象中心顶点焦点对称轴范围离心率焦半径通径椭圆中的结论：内接矩形最大面积：.为椭圆上任意两点，且，则.椭圆焦点三角形：<> ，（）；<> 点是内心，交于点，则.当点与椭圆短轴顶点重合时最大.过椭圆左焦点的焦点弦为,则；过右焦点的弦.12.中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质定义：第一定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数（小于|）的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件|，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若=|，则动点的轨迹是两条射线；若|，则无轨迹.若时，动点的轨迹仅为双曲线的一

7、个分支，又若时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.几何性质标准方程图象中心顶点焦点对称轴范围离心率渐进线通径双曲线中的结论：双曲线的渐近线：.共渐进线的双曲线标准方程为为参数，.双曲线为等轴双曲线渐近线为渐近线互相垂直.13中心在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质定义：平面内动点与定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数，这个动点的轨迹是抛物线.几何性质标准方程图象顶点焦点对称轴准线方程焦半径通径抛物线中的结论：抛物线的焦点弦性质：（1）；（2）x1+x2+p；（3）；（4）若的倾斜角为，则；（5）以为直径的圆与准线相切；（6）以（或）为直径的

8、圆与轴相切；（7）抛物线y2=2px(p>0)内接直角三角形OAB的性质：；恒过定点；中点轨迹方程：；，则轨迹方程为：；.抛物线y2=2px(p>0)，对称轴上一定点，则：当时，顶点到点A距离最小，最小值为；当时，抛物线上有关于轴对称的两点到点A距离最小，最小值为.抛物线的参数方程：，则（为参数）.14.圆锥曲线的其他注意点：（1）涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题.（2）椭圆、双曲线的通径（最短弦）为，焦准距为，抛物线的通径为，焦准距为; 双曲线的焦点到渐进线的距离为.（3）过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：（同时大于且时表示椭圆，时表示双曲线）.（4）计算焦点弦长可利用上面的焦

9、半径公式，一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为，两点分别为，则弦长。（5）对于y2=2px(p0)抛物线上的点的坐标可设为，以简化计算.（6）处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用点差法，设为椭圆上不同的两点，是的中点，则；对于双曲线，类似可得：；对于抛物线有.15直线与圆锥曲线问题解法：直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解.注意以下问题：联立的关于“”还是关于“”的一元二次方程？直线斜率不存在时考虑了吗？判别式验证了吗？设而不求（点差法）：-处理弦中点问题.步骤如下：设点；作差得；解决问题.课堂例题：例1. （1）若三点 A（2，2），B（a，0），C（0

10、，b）(ab0)共线，则, 的值等于。（2）已知两条直线若，则_。解析：（1）答案：；（2）2。（3）已知两条直线和互相垂直，则等于（ ）A2 B1 C0 D（4）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）ABC D变式练习：1.设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解析】当a1时，直线l1：x2y10与直线l2：x2y40显然平行；若直线l1与直线l2平行，则有：，解之得：a1 or a2所以为充分不必要条件【答案】A2.设直线系,对于下列四个命题：中所有直线均经过一个定点

11、存在定点不在中的任一条直线上对于任意整数，存在正边形,其所有边均在中的直线上中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）【解析】因为所以点到中每条直线的距离即为圆:的全体切线组成的集合,从而中存在两条平行直线,所以A错误又因为点不存在任何直线上,所以B正确w 对任意,存在正边形使其内切圆为圆,故正确中边能组成两个大小不同的正三角形和,故D错误,故命题中正确的代号是 B,C答案:3.若直线被两平行线所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 其中正确答案的序号是.（写出所有正确答案的序号）【解析】两平行线间的距离为，由图知直线

12、与的夹角为，的倾斜角为，所以直线的倾斜角等于或。故填写答案:例2.（1）一个圆和已知圆外切,并与直线:相切于点M（）,求该圆的方程已知圆方程化为: ,其圆心P（1,0）,半径为1设所求圆的圆心为C（a,b）, 则半径为, 因为两圆外切,从而1+ (1)又所求圆与直线：相切于M(),直线,于是,即 （2） 将（2）代入（1）化简,得a2-4a=0, a=0或a=4当a=0时,所求圆方程为当a=4时,b=0,所求圆方程为（2）直线x+y2=0截圆x2y24得的劣弧所对的圆心角为（ ）ABC D解析：如图所示：图由消y得：x23x+2=0，x1=2，x2=1。A（2，0），B（1，）|AB|=2又|

13、OB|OA|=2，AOB是等边三角形，AOB=，故选C。变式练习：（1）.定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离已知曲线C1：yx 2a到直线l：yx的距离等于C2：x 2(y4) 2 2到直线l：yx的距离，则实数a_【解析】C2：x 2(y4) 2 2，圆心(0，4)，圆心到直线l：yx的距离为：，故曲线C2到直线l：yx的距离为另一方面：曲线C1：yx 2a，令，得：，曲线C1：yx 2a到直线l：yx的距离的点为(，)，【答案】（2）.设，若直线与圆相切，则的取值范围是（A） （）（）（）8D【命题意图】本试题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，

14、重要不等式，一元二次不等式的解法，并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力.【解析】直线与圆相切，圆心到直线的距离为，所以，设，则，解得.例3.椭圆问题椭圆的定义例1已知F1(-8，0)，F2(8，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=16，则点P的轨迹为( )A 圆 B 椭圆 C线段 D 直线例2椭圆左、右焦点为F1、F2，CD为过F1的弦，则CDF1的周长为_椭圆的标准方程例3已知方程表示椭圆，则k的取值范围是( )A -1<k<1 B k>0 C k0 D k>1或k<-1例4.求下列椭圆的标准方程(1)长轴长是短轴长的3倍且过点A(3,0) (2)经过两

15、点和(3)焦点在轴上，焦距等于4，并且经过P) (4)焦距是12，离心率是，焦点在轴上 轨迹与椭圆有关的问题例5.（1）的两顶点A、，且满足，求动点的轨迹方程。（2）的两顶点A、，边所在直线的斜率之积等于，求顶点的轨迹方程。（3）从圆上任意一点向轴作垂线段，且线段上一点满足关系式，求点的轨迹方程。（4）双曲线的顶点，点为双曲线上任意一点，过作轴的垂线交双曲线与点，连接，相交与点，求动点的轨迹方程。最值或取值范围问题例6（1）已知定点，是椭圆的一个焦点，是椭圆上的点，求的最大值与最小值。（2）.已知椭圆的左右顶点分别为，为椭圆上任意一点，且直线的斜率的取值范围是，直线的斜率的取值范围是 BA.

16、B. C. D.（3）已知椭圆，A(1，0)，P为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值和最小值。性质例7（1）.若是椭圆的右焦点，F与椭圆上点的距离的最大值为M，最小值为m，则椭圆上与F的距离等于的点的坐标是 BA(c, ±) B(0, ±b) C(c, ±) D不存在（2）.是椭圆的焦点，在上满足的点的个数为 BA.1 B.2 C.3 D.4（3）.P为椭圆上的点，是两焦点，若，则的面积是B A B C D 16（4）.设P是椭圆上一点，过原点O作焦半径的平行线交椭圆在P点处的切线于T，则OT=（5）.椭圆的两焦点，是椭圆上任意一点，的内心为，连接交轴于点，则=离

17、心率例81已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（D ）ABCD2.已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（C）A、 B、 C、 D、3已知某椭圆的焦点在x轴上,分别记为F1、F2,A为椭圆上一动点, AF2x轴,|AF1|:|AF2|=3:则椭圆的离心率为 CABC(1) D(1)4从一块短轴长为2b的椭圆的椭圆形铁板中截出一块面积最大的矩形,其面积的取值范围是,则这个椭圆离心率的取值范围是CA BCD5已知F1、F2是椭圆的两个焦点满足·0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ C ）A(0，1)B(0，C(0，)D，1)6若椭圆（ab0）的离心率，右焦点为，方程的两个实数根分别是和，则点P（，）到原点的距离为 AAB C2 D7.设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（A）必在圆内必在圆上必在圆外以上三种情形都有可能直线与椭圆例91椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是() () () ()2椭圆与直线交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为的值为 （ A ）AB