实变函数课后习题答案

1、实变函数课后习题答案【篇一：实变函数试题库参考答案】ass=txt> 选择题1,下列对象不能构成集合的是:()a、全体自然数b、0,1之间的实数全体c、0, 1上的实函数全体d 、全体大个子2 、下列对象不能构成集合的是: ()a、 全体实数b、 全体整数c、 全体小个子d、 x：x13 、下列对象不能构成集合的是: ()a、全体实数 b 、全体整数c、x：x1 d 、 全体胖子 4 、下列对象不能构成集合的是: ()a、全体实数 b、全体整数c、x：x1 d 、 全体瘦子5 、下列对象不能构成集合的是: ()a、 全体小孩子 b 、 全体整数 c、 x： x1 d 、 全体实数6 、下

2、列对象不能构成集合的是: ()a、 全体实数 b 、 全体大人 c、 x： x1 d 、 全体整数7、设 a?x:?1?x?, i 为全体实数, 则 ?a?= () ?ia、 (-1, 1) b 、 (-1, 0)c 、 (-?, +?) d 、 (1,+?)?118 、设 ai?x:?1?x?1?, i?n, 则 ?ai= ( ) i?1iia、 (-1, 1) b 、 (-1, 0) c 、 0, 1d、 -1, 1?19、设 ai?x:0?x?1?, i?n, 则 ?ai= () i?1ia、 (0, 1)b 、 0, 1 c 、 0, 1 d 、(0, +?)?1110 、设 ai?x

3、:1?x?2?, i?n, 则 ?ai= () i?1iia、 1, 2b 、 (1, 2)c 、 (0, 3) d 、(1, 2)?311 、设 ai?x:i?x?i?, i?n, 则 ?ai= () i?120?1112 、设 ai?x:?x?, i?n, 则 ?ai= () i?1ii13、设 a2n?1?0,2?11, a2n?0,1?, n?n, 则 an?() 2n?12nn?a、 0, 2 b 、 0, 2 c 、 0, 1 d 、 0, 114、设 a2n?1?0,2?11, a2n?0,1?, n?n, 则 liman?()n?2n?12na、 0, 2 b 、 0, 2c

4、、 0, 1d 、 0,115 、设 an?(0,n), n?n, 则 liman?()n?116、设an?(0,), n?n, 则 liman?() n?n117、设a2n?1?(0,), a2n?(0,n), n?n,则liman?() nn?118、设a2n?1?(0,), a2n?(0,n), n?n,则liman? () n?n19、设a、b、c 是三个集合,则a-(a-b)=( )a、 b b 、 ac、 a?bd 、 a?b20 、设a、b、c 是三个集合,则a-(b?c)=( )a、 (a-b)?(a-c)b、 (a-b)?(a-c)c、a?b d 、a?c21 、设a、b、c

5、 是三个集合,则a-(b?c)=( )a、 (a-b)?(a-c) b 、 (a-b)?(a-c) c 、 a?bd 、 a?c22 、设a、b、s 是三个集合,且a?s, b?s,则cs(a?b)=( )a 、 csa?csb b 、 csa?csb c 、 csa?b d 、 csa?b23 、设a、b、s 是三个集合,且a?s, b?s,则cs(a?b)=( )a 、 csa?csb b 、 csa?csb c 、 csa?bd 、 a?csb24 、设a、b、c 是三个集合,则a-(b-c) = ()a、a?c-b b 、 a-b-c c 、 (a-b)?(a?c) d 、 c-(b-

6、a)25、集合e 的全体内点所成的集合称为e 的( )a、开核b、边界c、导集d、闭包26、集合e 的全体聚点所成的集合称为e 的( )a、开核b、边界c、导集d、闭包27 、集合 e 的全体边界点和内点所成的集合是e 的 ( )a、开核b、边界c、导集d、闭包28、e-e，所成的集合是()a、开核b、边界c、外点d、e的全体孤立点29、 e 的全体边界点所成的集合称为e 的 ( )a、开核b、边界c、导集d、闭包30、设点 p 是集合 e 的边界点, 则 ( )a、 p 是 e 的聚点 b、 p 是 e 的孤立点c、 p 是 e 的内点 d、 p 是 ce的边界点31 、设 g?(0,1)?

7、(2,3), 则下列那一个是g 的构成区间: ( )a、 (0, 1) b 、 (1, 1)c 、 0, 1d 、 (0, 2) 2132、设 g1?(0,1), g2?(?1,0)?(,2) g?g1?g2, 则下列那一个是g 的构2 成区间 : () a、 (0, 1) b 、 (0, 2) c 、 (-1, 1) d 、 (-1, 2) 2则下列那一个是g的构则下列那一个是g的构则下列那一个是g的构33、设g1?(0,4), g2?(0,1)?(3,4) g?g1?g2,成区间 : ()a、 (0, 1) b 、 (3, 4) c、 (0, 4) d 、 (1, 4)34、设g1?(0,

8、1), g2?(1,2)?(3,4) g?g1?g2,成区间 : ( )a、 (0, 1) b 、 (0, 3) c 、 (0, 4) d 、 (1, 4) 35、设g1?(0,2), g2?(1,2)?(3,4) g?g1?g2,成区间 : ( ) a、 (0, 1) b 、 (0, 2) c、 (1, 2) d 、 (1, 4)1336、设 g1?(0,1)?(1,2), g2?(?1,0)?(,) g?g1?g2, 则下列那一个是22g 的构成区间: ()a、 (13, ) b 、 (1, 2) c 、 (0, 1) d 、 (-1, 0) 2237、若a?b ，则下列命题错误的是：(

9、)a、 a?b? b 、 a ?b c、 ?a?b d 、 a?b38、若a?b?c, 则下列命题正确的是：()a、 a?b?c? b 、a ?b =c c、 ?a?b?c d 、 a 的孤立点 ?b 的孤立点=c 的孤立点39、若 a?b?c, 则下列命题错误的是：()a、 a?b?c?b 、 c ? a ?b ca?b?c d 、 a 的孤立点?b 的孤立点 =c 的孤立点40 、设 ca 是 a 的余集，则下列命题正确的是：()a、c(a?)?(ca)?b 、？a?(ca) c、c(a，)= (ca)，d、c(a)?ca【篇二：实变函数第一章习题解答】3等式(a?b)?c?a?(b?c)

10、 成立的的充要条件是什么？解： 若 (a?b)?c?a?(b?c) ，则 c?(a?b)?c?a?(b?c)?a. 即， c?a.反过来 , 假设 c?a, 因为 b?c?b. 所以 , a?b?a?(b?c). 故 ,(a?b)?c?a?(b?c).最后证，a?(b?c)?(a?b)?c事实上，?x?a?(b?c), 则 x?a 且 x?b?c 。若 x?c ，则 x?(a?b)?c ；若 x?c ，则 x?b ，故 x?a?b?(a?b)?c. 从而 , a?(b?c)?(a?b)?c.c?(a?b)?c?a?(b?c)?a?a. 即 c?a.反过来，若c?a ，则 因为 b?c?b 所以

11、 a?b?a?(b?c) 又因为 c?a ，所以 c?a?(b?c) 故 (a?b)?c?a?(b?c)另一方面，如果x?c 则 x?(a?b)?c ； ?x?a?(b?c)?x?a 且 x?b?c ，如果 x?c, 因为 x?b?c ，所以 x?b 故 x?a?b. 则 x?(a?b)?c. 从而 a?(b?c)?(a?b)?c于是， (a?b)?c?a?(b?c) x?ax?a?1,4 .对于集合a,定义a的特征函数为？a(x)? ?0,， 假设 a1,a2,?,an? 是一集列 ，证明：( i) ?liminfnan(x)?liminf?an(x)n( ii ) ?limsup nan(

12、x)?limsup?an(x)n证明：(i ) ?x?liminfan?(?an) ， ?n0?n ， ?m?n0 时， x?am.n n?nm?n所以 ?a(x)?1 ，所以 inf?a(x)?1 故 liminf?a(x)?supinf?a(x)?1m m?n0mnn b?nm?nm?x?liminfan?n?nx?an?kn?nn m?n有 x?ak?a mkn故 usp?0?inf?am(x)?0 ， m?n b?nm?nnfi即 ?a(x)?0 ， mil mn nfi?a(x)=0 ， n从而 ?liminf nan(x)?liminf?an(x)ni?15设an 为集列，b1?a

13、1 ， bi?ai?aj(i?1) 证明j?1( i ) bn 互相正交 n ni?1( ii) ?n?n,?ai?bii?1n?1证明：(i ) ?n,m?n,n?m ；不妨设nm ，因为 bn?an?ai?an?am又因i?1为 bm?am ，所以 bn?an?am?an?bm ，故 bn?bm? ，从而 ?bnn?1 相互正交.nni?1ni?1ni?1(ii)因为？i(1?i?n),有 bi?ai ,所以？bi?ai ,现在来证： ?ai?bii?1当 n=1 时， a1?b1 ；ni?1ni?1当 n?1 时，有：?ai?bin?1ni?1n?1i?1ni?1ni?1ni?1则 ?a

14、i?(?ai)?an?1?(?ai)?(an?1?ai)?(?bi)?(bn?1?bi)i?1事实上，?x?ai ，则 ?i(1?i?n) 使得 x?ai ，令 i0?min?i|x?ai 且1?i?ni?1i0?1i?1nn?则 x?ai?ai?bi?bi ，其中，当i0?1 时， ?ai? ，从而，?ai?bii0?1i?1ni?1ni?1i?16 设 f(x) 是定义于e 上的实函数，a 为常数，证明：?( i ) ex|f(x)?a=?f(x)?a?n?1?1(ii)ex|f(x)?a=?f(x)?a?n?1n1n证明：(i) ?x?ex|f(x)?a?x?e 且 f(x)?a ?n?

15、n, 使得 f(x)?a?1?a 且 x?e?x?ex|f(x)?a?1nn?11?x?ex|f(x)?a?ex|f(x)?a?ex|f(x)?a?n?1n?1nn?11反过来，?x?ex?x|f(x)?a?,?n?n ，使 x?ex|f(x)?a?n?1nn即 f(x)?a?1n?a 且 x?e 故 x?ex|f(x)?a1n?ex|f(x)?a 故1所以 ?ex|f(x)?a?n?1?ex|f(x)?a?ex|f(x)?a?n?1n7 设 fn(x) 是 e 上的实函数列，具有极限f(x) ，证明对任意常数都有：?ex|f(x)?a?liminfex|fn(x)?a?k?1n1k?limi

16、nfex|fn(x)?a?k?1n1k证明： ?x?ex|f(x)?a,?k?n ，即 f(x)?a?a? 因为 limfn(x)?f(x) ， ?n?n ，使 ?m?n ，有 fn(x)?a? n?1k1k，且 x?e ，故1kx?ex|fm(x)?a?1k所以 x?ex|fm(x)?a?m?n)，m?nx?ex|fm(x)?a?n?nm?n?1k= liminfex|fm(x)?a?n1kn ，由 k 的任意性：1k，x?liminfex|fn(x)?a?k?1n1k?，反过来，对于?x?liminfex|fn(x)?a?k?1?k?n ，有 x?liminfex|fm(x)?a?n1k=

17、n?nm?n?ex|fm(x)?a?1k，即1k?n?n ， ?m?n 时，有：fm(x)?a?1k且 x?e ，所以，limfm(x)?f(x)?a?且x?e. 又令 k? ，故 f(x)?a 且 x?e 从而 x?ex|f(x)?a ?故 ex|f(x)?a=?liminfex|fn(x)?a?k?1n1k8.设fn(x)是区间(a, b)上的单调递增的序列，即 f1(x)?f2(x)?fn(x)?若 fn(x) 有极限函数f(x) ，证明：?a?r ， ef(x)?a?efn(x)?an?1证明： ?x?ef(x)?a ，即： x?e 且 f(x)?a ，因为 limfn(x)?f(x)

18、 n?所以 ?n0?n,?n?n0 ，恒有：fn(x)?a 且 x?e ，从而，x?efn(x)?a?efn(x)?an?1?反过来，?x?efn(x)?a,?n0?n ，使 x?efn(x)?a ，故 ?n?n0 ，因此，n?1limfn(x)?f(x)?fn0(x)?a 且 x?e, 即， x?ef(x)?a ， n?从而， ef(x)?a?efn(x)?an?110证明：r 中坐标为有理数的点是不可数的。证明： 设 q 为有理数集，由定理6： q 是不可数的。现在证：q?q?q?(x,y,z)|x,y,z 都是有理数可数 ?x?q ，因为q?q ?(x?q) 是可数个有理数集的并，故可数

19、，x?q3又因为 q?q?q?(x?q?q) 并且 ?x?q ， x?q?qq?q ，所以x?qx?q?q 可数故 q?q?q 可数14证明：可数集的有限子集的全体仍是可数证明： 设 q 为可数集，不妨记为：q?r1,r2,r3,?,rn,? ?n?n, 令an?a|a?r1,r2,r3,?,rna?n 为正交可数集，即?n?c0n?n则 ?n 为有限集(?n?2 )，则n又因为 q?x|x?q?a ，所以c0?q?a ，故 a?c0a 是 q 上一切有限子集的全体。15设是两两不相交的集所组成的集列，证明：limen?limen?n?n?证明： 因为 e1,e2,? 两两不相交，所以，?n?

20、n,?em? ，故m?n?n?n?1?m?n?n?1limen?(?em)? n? n?另一方面，若limen?(?em)? ，我们取x0?limenn?1m?n则 ?k?n,?nk?k ，使得 x?en. 特别的，当k?1?n 时， ?n1?1, 有 x?en ，当kk?n1?1 时： ?n2?n,n2?k?n1?1?n1 ，有 x?e2 ( n1?n2) 从而， x?en1?en2这与 en?en? 矛盾，故limen?12 n?从而 limen?limen?n?n?a=axx16 若集 a 中每个元素由相互独立的可列个指标所决定，即12?而每个指标xi ，在一个势为c 的集中变化，则集a

21、 的势为 c。证明：设xi 在势为 c 的集合中变化，即a=axx?i12?|(x1,x2,?)?i?1bi因 bir?,?i:bi?r? 是既单又满的映射，定义 ?:?bi?r;?x?(x1,x2,?)?bi,?(x)?(x1,x2,?)?(?1(x),?2(x),?)i?1i?1故 ?是 ?bi 到 r 得既单又满的映射,从而，ai?1?bi?1ir?从而 a?r?c17 .设？an的势是c,证明至少有一个 an的势也是cn?1?n?1?n?1证明：因为?n?n,an?an ，所以 an?an?c?如果 ?n?n,an?c ，则 ?n?n,an?c ，即， an 正交可数，从而，?an 正

22、交可数 .n?1?这与 ?an?c 矛盾 .n?1故， ?n?, 使 an?c.18证明：0,1 上的实函数全体具有势2 证明：设?a|a?0,1 c ，则 ?2 c记 0， 1上全体是函数所构成的集合为? 对于 ?x? ，定义函数?a(x)?1,x?a?0.x?a, 即 ?a 是集合 a 的特征函数。?a|a?0,1? 2 c ?【篇三：实变函数论课后答案第二章4】xt> 第二章第四节习题1.证明全体有理数所中成的集合不是g?集，即不能表成可数多个开集的交 . 证明：设r 上全体有理数为?r?q. 1,r2,r3,?rn,?1则一个？rn?作为单点集是闭集，所以 q?ri?是f?集，但

23、要证q不 是 g? 集，则不容易.i?1 ?这里用到：baire定理，设e?r是f?集，即e?fk.k?1 n ?fk?k?1,2,? 是闭集，若每个fk 皆无内点，则e 也无内点（最后再证之）反证设 q?ri;i?1,2,?（gi 为开集，i?1,2,? ?为 g?集，即 q?gi ,i?1?）r1 上的单调函数的全体所组成的集合的势为c?.证明：任取r上的单调函数f,则其间断点至多可数个，设其无理数的间断点，为1设 r 中的有理数为q?r?,?f?, 令 1,r2,?rn,?1?f?x1,f?x1?,?r1,f?r1?,?xi,f?xi?,?ri,f?ri?,?r2.则 ?f? 为 r 中

24、可数集.2?,gx? 若 f,g? ，使 ?f?g? ，则 ?xi,f?xi?f? 存在 xjj?g?,f?x?g?x? ， 所以 x?x?,gx? 使 xi,f?xi?xjj ii?从而 ?xi?q,f?ri?g?ri?.?f 的无理数间断点xi ， xi 也是 g 的无理数间断点，且g?xi?f?xi?.反过来也是的，？g的无理间断点，xi也是f,的无理数间断点，且 g?xi?f?xi?. 故 ?f?g? 表明 f 与 g 在有理点重合，无理间断点相同，且在无理间断点的值.所以f?g于r,所以？是1?1的.1利用下面结论：claim ：任何其有连续势的集合的全体可数子集所构成的族的势为连续

25、势. 知： ?c.另一方面c?fc?x?x?c,c?0,1? 证毕 .lemma: 设为 x,y 两集合，?:x?y 是一个满射，则y?x. 即存在 x 的一个子集a,a?y.证明：因为?为满射，?y?y,?1?y?x;x?x,?x?y? 且y,z?y,y?z 时必有 ?1?y?1?z?.?1令？?y?;y?y ,则由选择公理存在一个集合x,它由？中每一个集合？1?y?中?恰取一个元素而形成，显?x?x,?a?x ，存在唯一一个y?y ，使a?1?y?.x 与 y 是对等的，故y?x. 所以 ?证毕 .选择公理：若?是由互不相交的一些非空集合所形成的集合族，则存在集合x,它由该族的每一个集合中

26、恰取一个元素而形成2.证明?0,1?上全体无理数所作成的集合不是f?集.证明：设?0,1? 上全体无理数所作成的集合是?，则 ?0,1?q ，（ q 为 r 上全体有理数1的集合）若 ?为f? 集，则存在闭集fi,i?1,2,? 使 ?fi.i?1?所以 ?c?q?0,1?fic 为 g?集.i?1?fi?rk? ， ?rk? ， fi 为闭集，?rk? 无内点 . ?0,1?q?0,1?i?1?k?1i?1?fi? 显为内点.?所以 fi 无内点 .这说明 ?0,1? 无内点（baire 定理）得矛盾. 证毕 .3. 证明不可能有在?0,1? 上定义的在有理点处都连续，在无理点处都不连续的实函数.证明：若存在这样的?0,1? 上的实函数，它在有理点都连续，在无理点都不连续.f?x? 的全体不连续点的集合为?0,1? 上的全体无理数为?，由本章第二节习题10 结论知? 为 f? 集，这于本节习题2 的结论：? 不是 f? 集矛盾 .故不存在这样的?0,1? 上的函数.4. 证明 r 中全体开集构成一基数为c 的集合，