同济大学大一_高等数学期末精彩试题_(精确问题详解)

1、实用文档课程名称：高等数学试卷类别：A卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不得分则 在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A卷）、单选题（共15分，每小题3分）fy（Xo,yo）都存在，则1 .设函数f ( x, y)在P(xo, yo)的两个偏导fx(xo, yo),()B. f (x, y)在P可微A. f (x, y)在P连续C. lim f(x, y0)及 lim f(x0,y)都存在 D. lim f(x,y)存在 xxoy >y0

2、(x,y) j(xo,yo)2.若 z = y1nx ,则 dz等于().1nx1n xlnx .A y ln y +y 1n yB y 1n yxy. x文案大全4.1n x .lnxy In y .C. y In ydx dyx1n x .y ln ydx1n x .y In xydy3.设建是圆柱面x2 +y2 =2x及平面z = 0,z = 1所围成的区域，则0 f(x, y,z)dxdydz=().Q二22cos11A. o d? dr ° f(r cos,rsin1,z)dzB.022cosid1rdr 0 f (r cossin,z)dz2 cosrC.22d -2co

3、sxD.30011rdr ° f(rcos,rsin1,z)dz1rdr f (r cos-, r sin, z) dz0oO4.若工an（x -1）n在x = 1处收敛，则此级数在乂 = 2处（）.n 1A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.敛散性不能确定x - y z =2 ,5.曲线422在点(1,1,2)处的一个切线万向向量为().z = x yA. (-1, 3, 4) B. (3, -1, 4) C. (-1, 0, 3)D. (3,0,-1)二、填空题(共15分，每小题3分)1 .设x+2y-,x =贝UyZx(=1,1).e In x2 .交换I = dx I f

4、 (x, y)dy的积分次序后，I =.3 .设u = 2xy z5.函数z =x3 +y3 -3x2 3y2的极小值点是 三、解答题（共54分，每小题6-7分）y, ：:z ;z1.（本小题满分 6分）设 z = y arctan ,求 一,一.x fx ；:y .222.（本小题满分 6分）求椭球面2x+3y+z =9的平行于平面2x 3y + 2z+1 = 0的切,则u在点M (2,1,1)处的梯度为 .nx一，4 .已知e =Z，则nz0 n!xe八八一m221*.3 .、3 .（本小题满分7分）求函数z=x2 + y2在点（1,2）处沿向量l = i+?j方向的方向导22数。、八.1

5、 -,4 .（本小题满分7分）将f（x）= 展开成X-3的哥级数，并求收敛域。X5 .（本小题满分7分）求由方程2x2+2y2+z2+8yz-z+8= 0所确定的隐函数z = z（x, y）的极值。6 .（本小题满分7分）计算二重积分 口（x2+y2）dD,D由曲线x =1 y2,y = 1,y = 1D及x = -2围成.7 .（本小题满分7分）利用格林公式计算qLxy2dy-x2ydx,其中L是圆周x2 + y2=a2逆时针方向）8 .(本小题满分7分)计算jjjxydxdydz ,其中C 是由柱面x2+y2=1及平面z=1,x=0,y =0所围成且在第一卦限内的区域.四、综合题(共16分

6、，每小题8分)oO QOQ01 .(本小题满分8分)设级数Un un,£ vn都收敛，证明级数(u (unrn)2收敛。n 3 n Wn 12 2.(本小题满分8分)设函数f(x,y)在R内具有一阶连续偏导数，且一 = 2x,二 x证明曲线积分fL 2xydx+ f (x, y)dy与路径无关.若对任意的 t恒有(t,1)(1,t)(00)2xydx + f (x, y)dy = f(oo)2xydx+ f (x, y)dy，求 f (x, y)的表达式.参考答案及评分标准一、单选题二、填空题（共（共15分,每小题15分,每小题3 分)：1.C2 D 3 C3分)4B 5 A1.-1

7、 2. I=0dy8 f(x,y)dx 3. -2i 4 j-2k 4oO z n 0n n 1(-1) xn!5. (2,2)三、解答题（共 54分，每小题6-7分）z1.解：一；x2心; (3分):z _y=arctan +2xy 2( 6 分).x y-32切点为:(1,一1,2)或(_1,1,一2) (3 分)，切平面：2x3y+2z=9or9 ( 4分），法线方程分别为:x 1 y -1-3z - 2 T次或者2x -1y 1 z -2 ”=(6-323.解:”(1,2)= (2,4)(3 分),(7分)4.解:f(x)=3 (x-3)(2分)2.解：记切点（Xo,yo,Zo）则切平

8、面的法向量为 n =2（2xo,3yo, zo）满足:1xW(1,1)，所以-3oO因为 (-1)nxn6二 -.n , I、n 1n工(-1) (-) (x3)，其中n63x-3一八八-1 <<1 ,即 0 < x < 6 . ( 5 分)3,二 1 ,当x=0时，级数为1 1发散；当x = 6时，级数为工（-1）n ,发散，故=n$3nJ 3x一二 n 1n工(-1)n(-)n (x-3)n , xJ0,6), (7 分)n=035.解：由«-X 1 -2z - 8y| i'z 4(y 2z)y 1 -2z -8y二0,得至iJ x=0y+2z=0

9、, ( 2 分)U0再代入 2x2 +2y2 +z2 +8yz -z +8 =0 ,得到 7z2 + z 8 = 0 即 z=1, 8。7由此可知隐函数 z= z（x, y）的驻点为（0, _2）与（0,孩）。（4 分）；：2z由x1-2z-8y二xy/z在(0, 2)点,z =1,因此.2二 z1-2z-8y,可知在驻点（0, 2）与（0,）有H >0O （ 5分）4>0 ,所以（0, -2）为极小值点，极小值为 z = 1 ； （ 615十小16、上在（0,- 2 .X一 <150,所以（0 16）为极大值点，极大值为z=-, 77(7分)6.解：记Di :-2 <

10、x <0D2:-1 <y <1v1 y2 M x M 0、i y x 0,则 D = dD2.(2 分)故-1 < y <1f(x2 + y2)dcr = 口(x2 + y2 )d。一 f(x2 + y2 )d。 ( 4 分)D1D210Q 1 q二dy Kxy )dx- 二2 d1 0 r dr 二20 二(7分)7.解：L所围区域 D： x2 +y2 Wa2 ,由格林公式，可得 l xy.(f(xy2)；:(-x2y).x2227ta)dxdy = (x y )dxdy= 0 du 0 rrdr冗 4八a.(7 分)20 < z < 1,8.解：,

11、选取柱面坐标系计算方Q : i0<9 E，所以20 < r < 1, ixydxdydz =Q兀J：dz门d叼：rcos8 "Sinerdr分）兀1=2 sin2- d-0r3dr = (-cos2u四、综合题（共16分，每小题1.证明：因为nmun =°,则：1= 8.(78分)Vn =0(2分)2故存在N,当nN时，（un+vn）22=Un +Vn +2UnVnW3Un,分）1io-因此Z （un +vn）2收敛。（82.证明：因为 J=2x,且“(2xy) =2x,故曲线积分(2xydx+f(x,y)dy与路径无关.(4 ；xjyL分)因此设f (x, y) =x2 +g(y),从而(t,i) (o,0)(i,2xydx f (x, y)dy =00dx *g(y)dy = t+ Jo g(y)