空间直角坐标系曲面方程空间曲线方程

1、教学课题：§11 空间直角坐标系，曲面方程，空间曲线方程教学目的：1. 将学生的思维由平面引导到空间，明确空间解析几何的意义和目的；2. 理解空间直角坐标系、空间一点的坐标的概念。3 理解曲面方程的概念；4 掌握常见的曲面及其方程；5 理解空间曲线的方程；6 掌握空间曲线在坐标面上的投影。教学重点：1空间直角坐标系的概念；2曲面方程、空间曲线方程的概念3空间曲线在坐标面上的投影教学难点：1. 空间思想的建立，空间一点的坐标。2曲面方程、空间曲线方程的概念3掌握空间曲线在坐标面上的投影。教学时间：4学时教学过程：一、学科教育（一）为什么我们要重视学习数学1数学观数学与语文两大学科代表着

2、人类两大文化：科学文化与人文文化，数学是一门特殊的科学，数学精神、数学思想、数学方法中充分显示着一般科学精神、科学思想、科学方法。数学是一门特殊的科学，数学充分显示着一般科学精神、思想和方法；数学是一种文化，它属于甚至代表科学文化；数学是最富创新性的科学，数学的研究被视为人类智力的前锋；数学是推动人类进步的最重要的思维学科之一。现代社会，数学的技术作用日益突出，学校教育随之强调数学的技术作用，数学教师也习惯于数学教育就是数学知识、数学方法的教育。但许多学生却认为学大量复杂的数学以后没有用，因而学数学兴趣不大、动力不足。日本著名数学教育家米山国藏指出：学生进入社会后，几乎没有机会应用他们在学校所

3、学到的数学知识，因而这种作为知识的数学，通常在学生出校门不到一两年就忘掉了。他认为学数学的意义在于：不管人们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期的在他们的生活和工作中发挥着重要作用。实际上学习数学的意义、价值不仅在于数学知识和方法的学习，还在于通过数学知识、方法的学习来促进人脑发育发展、培养人的科学文化素质，发展包括思维能力、创新能力在内的人的聪明智慧，数学学习能为人一生的可持续发展提供动力。 2 知识技术数学知识已渗透于各种自然科学、及许多社会科学之中，数学知识是我们学习各门科学的基础和工具，语言、符号、图象、计算、估计、推理、建模等基本内容已渗透与我们日常生活

4、与工作之中，数学成了我们的基本技能 。高等数学是学习其它学科的基础和前题，是学习其它学科必不可少的工具，特别是工程类和管理类的学科。数学用于工程领域和经济管理领域：数学的知识、原理、原则、方法。 enginering：the application of scientific and mathematical principles to practical use(工程：科学和数学原理在实践中的应用)（二） 我们应该如何学习高等数学1. 大学的学习与中学的学习的区别（1）自主性：不会有家长和老师来严格监督，但学籍管理制度将起制约作用。（2）成绩要求：中学教育是升学教育，以高考为指挥棒。大学教育

5、是就业教育，以掌握知识、方法、技能来培养人的素质，发展能力。要取得学分必须要达到相应的要求。学生的成绩要进入学生个人档案和上网。（3）学习的知识内容上：大学以学习知识、培养能力、提高素质并重。知识部分是面广而不去深究偏题怪题和很难的题，以掌握知识点为主。2高等数学课的特点（1）课时数少, 知识内容点多，一次课涵盖的知识内容就多，记忆量较大，但我们对习题的难度要求不是很高，主要是知识点的直接应用。（2）知识内容理论与实践联系较紧密，学科间的渗透较多。（3） 思维方式的变化：由有限变无限。3. 高等数学课的学习方法（1）课堂听课要作笔记，记在书上或笔记本上均可。要完成课堂上的练习，每一个同学要准备

6、一个课堂练习本，专门用于课堂练习之用。（2）不能缺课，数学的前后连贯性很强，逻辑性也很强，没有前面的基础，就难于学习后面的内容。（3）要注意预习，预习不是要你完全学懂，预习是要搞清楚下一次课的主要内容有哪些，有哪些问题，在书上的什么位置。可以把书看一遍。（4）课后的复习与作业。课后应把书与笔记通看一遍，找出本次课的重点及自己存在问题的地方，不懂的就要问清楚。作业一定要独立完成（一是不抄别人的，二是要不对照书上例题和公式来做，做不起时重新去看书记忆题型的步骤、记忆公式与法则，然后脱离书本再做）。1大学的学习与中学的学习的区别（1）自主性：不会有家长和老师来严格监督，但学籍管理制度将起制约作用。（

7、2）成绩要求：大学教育是就业教育，不是长学教育。中学教育是升学教育，的学习目的是升学，以高考为指挥棒。对成绩分数没有严格的限制，但大学不同。大学是要你掌握知识为主，要取得学分必须要达到基本要求（60分以上）。但并不是60分万岁，学校很多激励措施，如奖学金制度、学生综合素质评定制度、优秀先进学生的评选制度、推荐就业制度。另外学生的成绩要进入学生个人档案和上网，供用人单和社会查询。（3）学习的知识内容上：大学以学习知识和培养能力并重。知识部分是面广而不去深究偏题怪题和很难的题，以掌握知识点为主。1. 数学的重要性（1） 数学用于工程领域和经济管理领域：数学的知识、原理、原则。enginering：

8、the application of scientific and mathematical principles to practical use.(工程：科学和数学原理在实践中的应用)（2） 数学的思维方法在各种领域：现在有很多有名的大学招收文科类研究生就喜欢要理工科的学生。现在要从事计算机高级研究的机构更喜欢要数学专业的人才，因为学数学的人来计算机的知识很容易，现在的很多计算机方面的专家都是学数学出生的。数学在经济、管理更是必不可少，离开数学就谈不上学习经济学、管理学，同样很多大学的经济学、管理学方面的专家也是学数学出生的。以前有段时间数学专业的学生就业不很好，但现在发生了转变。管理系主

9、任介绍说，你写的文章数学符号少了就一定不是一篇好的文章。（3）数学是学习其它学科的基础和前题，是学习其它学科必不可少的工具，特别是工程类和管理类的学科。（4）数学已经从后台走上了前台，通过数学建模可对很多领域（如交通、环境、军事、农业等）进行定量的分析研究。全国大学生数学建模竞赛介绍。2. 大学数学课的特点（1） 课时数少（14×5）, 知识内容点多，一次课涵盖的知识内容就多，记忆量较大，但我们对习题的难度要求不是很高，主要是知识点的直接应用。（2）知识内容理论与实践联系较紧密，学科间的渗透较多。我们本学期的内容是一元微积分学，即教材上的前六章。（3） 思维方式的变化：由有限变无限。

10、3. 数学课的学习方法（1）课堂听课要作笔记，记在书上或笔记本上均可。要完成课堂上的练习，每一个同学要准备一个课堂练习本，专门用于课堂练习之用。（2）不能缺课，数学的前后连贯性很强，逻辑性也很强，没有前面的基础，就难于学习后面的内容。（3）要注意预习，预习不是要你完全学懂，预习是要搞清楚下一次课的主要内容有哪些，有哪些问题，在书上的什么位置。可以把书看一遍。（4）课后的复习与作业。课后应把书与笔记通看一遍，找出本次课的重点及自己存在问题的地方，不懂的就要问清楚。作业一定要独立完成（一是不抄别人的，二是要不对照书上例题和公式来做，做不起时重新去看书记忆题型的步骤、记忆公式与法则，然后脱离书本再做

11、）。二、空间直角坐标系1. 空间直角坐标系 坐标原点O; 坐标轴（轴，轴，轴）相互垂直，其方向如图所示； 长度单位. 这样就组成了空间直角坐标系. 称为坐标原点， 每两个坐标轴确定的平面称为坐标平面，简称为坐标面.轴与轴所确定的坐标面称为坐标面，类似地有坐标面,坐标面.这些坐标面把空间分成八个部分，每一个称为一个卦限. 轴的正半轴的卦限称为第 I 卦限，从第 I 卦限开始，从轴的正向向下看， 按逆时针的方向，先后出现的卦限依次称为第 、 卦限; 第、 、 、 卦限下面的空间部分依次称为第 、 卦限。2. 空间一点的坐标（1）点坐标的规定过空间的一点分别作三条坐标轴的垂面，这三个垂面与三条坐标轴

12、的三个垂足分别在轴、轴、轴上，它们对应的数分别称为点的坐标,坐标和坐标。有序数组就称为点的坐标，记为（2）两个问题已知空间一点确定其坐标由坐标确定点的位置。3两点之间的距离 设空间两点 M 1 ( x 1, y 1, z 1)、M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ), 求它们之间的距离 d = |M 1 M 2|. 过点 M1 M2 各作三张平面分别垂直于三个坐标轴，形成如图的长方体。(M 1QM 2 是直角三角形) (M 1PQ 是直角三角形)所以特别地，点 M ( x , y , z) 与原点O ( 0 , 0 , 0 ) 的距离三、曲面方程的概念若曲面 S 上的点的坐标都满足方程

13、 (或 )， 而不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程 (或 ) 则称方程 (或 )为曲面 S 的方程. 而曲面 S 就称为方程 (或 )的图形.四 几种特殊的曲面（一） 球面方程球心在，半径为 R 的球面方程球心在原点时，半径为 R 的球面方程为例1: 表示怎样的曲面?解: 原方程两边同时除以 2 ， 并将常数项移到等式右端，得配方得 所以， 原方程表示球心在半径为 1 的球面.注：球面方程中项的系数是相同的。（二） 柱面及其方程 1柱面的概念： 动直线 L 沿给定曲线 C 平行移动形成的曲面，称为柱面，动直线 L 称为柱面的母线，定曲线 C 称为柱面的准线.如图：2母线平行于坐标轴的柱面方

14、程以坐标面上的曲线 C : 为准线，平行于 z 轴的直线 L为母线的柱面方程.关键是建立柱面上任一点的座标（满足某种条件）的方程 如图：设为柱面上的任一点， 过作平行于轴的直线交坐标面于点由柱面定义可知必在准线 C 上.所以 的坐标满足曲线 C 的方程.由于方程不含 z，所以点也满足方程 . 而不在柱面上的点作平行于 z 轴的直线与坐标面的交点必不在曲线 C 上，也就是说不在柱面上的点的坐标不满足方程. 所以，不含变量 z 的方程在空间表示以坐标面上的曲线为准线， 平行于 z 轴的直线为母线的柱面.类似地 不含变量的方程在空间表示以坐标面上的曲线为准线， 平行于 x 轴的直线为母线的柱面.而不

15、含变量的方程在空间表示以坐标面上的曲线为准线， 平行于轴的直线为母线的柱面.判定下列方程所表示的曲面：xyzO xyzO2xyzO（三） 旋转曲面及其方程1旋转曲面的概念 平面曲线 C 绕同一平面上定直线 L 旋转所形成的曲面，称为旋转曲面，定直线 L 称为旋转轴.2. 以坐标轴为旋转轴的旋转曲面的方程建立面上曲线 C：绕 z 轴旋转所成 的旋转曲面的方程,如图：设为旋转曲面上任意一点，过点作平面垂直于 z 轴，交 z 轴于点， 交曲线 C 于点. 由于点可以由点绕 z 轴旋转得到，因此有由于 (1)所以 (2)又因为在曲线 C 上，所以 将代(1)、(2)代入理 即得所求旋转曲面方程: 说明

16、：平面曲线 C：绕轴旋转所成的旋转曲面的方程为： 同理：平面曲线 C：绕轴旋转所成的旋转曲面的方程为：例2: 将下列平面曲线绕指定坐标轴旋转，试求所得旋转曲面方程:(1) 坐标面上的直线 ( )，绕轴. (2) 坐标面上的抛物线 ( )，绕 z 轴. (3) 坐标面上的椭圆分别绕轴.解: (1) 坐标面上的直线 ( )，绕轴. 故保持不变，将换成则得 即:所求旋转曲面方程为 如图：表示的曲面称为圆锥面， 点 O 称为圆锥的顶点.(2) 坐标面上的抛物线 ( )，绕 z轴旋转所得的曲面方程为： 该曲面称为旋转抛物面. 其特征是: 当时，旋转抛物面的开口向下.xyzO一般地，方程所表示的曲面称为椭

17、 圆抛物面。(3) 坐标面上的椭圆分别绕 轴旋转，故保持不变，而将换成得旋转曲面的方程为 xyzO该曲面称为旋转椭球面.该椭圆绕轴旋转而得的旋转椭球面的方程为 一般地方程所表示的曲面称为椭球面.其特征是: 用坐标面或平行于坐标面的平面 截曲面所得到的交线均为椭圆.当中有或或时，即为旋转椭球面，当 时，即为球面.五、空间曲线的方程（一）空间曲线的一般方程 称为空间曲线的一般方程判定下列方程组所表示的曲线? 注：同解方程组所表示的曲线是相同的。（二）空间曲线的参数方程空间曲线 G上动点的坐标也可以用另一个变量的函数来表示，即形如上的方程组称为曲线 G 的参数方程,为参数. 例3:设质点在圆柱面上以

18、均匀的角速度 w绕轴旋转，同时又以均匀的线速度向平行于轴的方向上升.运动开始，即时，质点在处，求质点的运动方程.解: 设时间时， 质点的位置为，由作坐标面的垂线垂足为 Q (x, y , 则从到所转过的角q = wt， 上升的高度 ，即质点的运动方程为：此方程称为螺旋线方程.六、空间曲线在坐标面上的投影设 G为已知空间曲线，则以 G为准线， 平行于轴的直线为母线的柱面， 称为空间曲线 G 关于坐标面的投影柱面. 而投影柱面与坐标面的交线 C称为曲线 G 在坐标面的投影曲线.类似地， 可以定义曲线 G关于坐标面、坐标面的投影柱面及投影曲线.设空间曲线 G 的方程为消去 ，得.可知满足曲线 G 的方程一定满足方程 ，而是母线平行于轴的柱面方程，因此，柱面就是曲线 G 关于坐标面的投影柱面.而就是曲面G 在坐标面上的投影曲线的方程.同理， 从曲线 G 的方程中消去或者，就可得到 G 关于坐标面或者坐标面的投影柱面方程，从而也可得到在相应的投影曲线的