2015年高考文科数学湖北卷及答案解析

1、绝密启用前在4.已知变量x和y满足关系y = -0.1x + 1,变量y与z正相关.下列结论中正确的是第n卷（非选择题共100分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）此本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分分钟. 注意事项：.满分150分，考试时间1201.答卷前，先将自己的姓名、 准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形-码粘贴在答题卡上的指定位置 .2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内 卷

2、、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.写在试题A. x与y负相关，x与z负相关C. x与y正相关，x与Z负相关5. 1-12表示空间中的两条直线,B.C.D.P：p是q的充分条件，但不是p是q的必要条件，但不是p是q的充分必要条件D. x与y负相关,1-12是异面直线;q的必要条件q的充分条件p既不是q的充分条件，也不是 q的必要条件6.函数 f (x) = J4-| x | +1gx25x + 6的定义域为 x-3x与z正相关x与Z正相关q： l1 , l2不相交，则（）C.(2, 3)(2, 3)U(3, 4B. (2, 4D. (-1,3)U (3, 6、填空题：g题上7/学，每小题11

3、.已知向量 OA_L AB , |OA|=3,则分，共35分.把答案填在题中的横线上x y< 4,12 .若变量x, y满足约束条件x x- y<2,则3x+ y的最大值是 .3x- y>0,13 .函数 f （x） = 2sin xsin（x+5 - x2 的零点个数为214 .某电子商务公司对 10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金 额（单位：万元）都在区间0.3, 0.9内，其频率分布直方图如图所示.（I）直方图中的a =（n）在这些购物者中，消费金额在区间0.5, 0.9内的购物者的人数为4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的

4、位置用2B铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均 无效.5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交7.设C.第I卷（选择题共50分）x W R ,定义符号函数|x| = x|sgnx|x|=|x|sgnx、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. i为虚数单位，i607A. -iB. iC. -1D. 12.我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为A. 134 石B. 1

5、69 石C. 338石D. 1 365 石3.命题“三0,收），ln% =% 1 ”的否定是A.配0, 十叼，ln% *x0 1B.三Xo正（0,土叼，C. VxW(0,y)，lnx#x1D. Vx 正（0, 土叼，1, sgnx=0,-1,x 0,x = 0,则x :二 0,B.D.|x|= xsgn|x| x|= xsgnx8.在区间0, 1上随机取两个数Pi为事件1x+y4”的概率p2为事2C.,1xy<- 的概率，则21Pi 二 P2 :二21P2 二 P12B.D.P21-:二 P2 ;二P129.将离心率为e的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b （a= b）同时增加m （m）

6、 0）个单位 长度，得到离心率为e2的双曲线C2,则（）A .对任意的a , b , e氏B.当ab时，Ae2;当a<b时，自<%D.当 aAb 时，3<e2；当 a<b 时，e1Ae210.已知集合 A=(x,y) x2 十 y2W1,x,yW Z, B=(x,y) |x|<2,|y|<2, x,y Z,定义 集合A$B=(m+X2,y+y2)(x1,y1)W A, (x2,y2卢B,则AB中元素的个数为B. 49C. 45D. 3015.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，

7、测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为30 ,则此山的高度 CD =m.16.如图，已知圆C与x轴相切于点T（1,0）,与y轴正半轴交于两点 A, B（B在A的上方）， 且 AB = 2.（I ）圆C的标准方程为（n）圆C在点B处的切线在x轴上的截距为、 一 -，、.2 ,、 一 .一 一一17. a为实数，函数f（x） = |xax|在区间0,1上的最大值记为 g（a）.当a= 时，g（a）的值最小.效数学试卷第1页（共18页）数学试卷第2页（共18页）数学试卷第4页（共18页）三、解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤.18.(本小题满分12分)

8、某同学用“五点法”画函数 f(x) =Asin(cox十邛)(缶>0, |5|<-)在某一个周期内的图2ox +中0汽2兀3支T2支x汽35支"6"Asin(sx +中)05-50象时，列表并填入了部分数据，如下表:f(x)的解析式;20.(本小题满分13分)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将 四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖月需.在如图所示的阳马 P ABCD中，侧棱PD_L底面ABCD，且PD = CD ,点E是PC 的中点，连接DE , BD , BE .(I )证明：DE _L平面PBC .试判断四面体 EBCD是

9、否为鳖月需.若是，写出其每个面22.(本小题满分14分)一种画椭圆的工具如图 1所示，O是滑槽AB的中点，短杆 ON可绕O转动，长杆(I)请将上表数据补充完整，并直接写出函数(n )将y = f (x)图象上所有点向左平行移动-个单位长度，得到y = g(x)的图象，求 6y =g(x)的图象离原点 O最近的对称中心.19.(本小题满分12分)设等差数列4的公差为d,前n项和为Sn ,等比数列bn的公比为q,已知D =a , b2 =2, q =d , S10 =100 .(I )求数列an , bn的通项公式； 一，、一a_(n )当d a1时，记孰=，求数列cn的前n项和Tn.bn的直角(

10、只需写出结论)；若不是，说明理由；(n)记阳马P ABCD的体积为V,四面体EBCD的体积为V2，求名的值.MN通过N处较链与ON连接，MN上的栓子D可沿Vt槽AB滑动，且DN = ON = 1 , MN = 3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的 椭圆记为C,以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系. (I )求椭圆C的方程；(n )设动直线l与两定直线L : x- 2y= 0和b : x+ 2y= 0分别交于P, Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究： OPQ的面积是否存在最小值？若存在,求出该最小值；若不存在，说明理由

11、错误！错误！错误！错误！21.(本小题满分14分)设函数f (x) , g(x)的定义域均为 R,且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(x)+g(x)= ex,其中e为自然对数的底数(I)求 f (x), g(x)的解析式，并证明：当 x> 0 时，f(x)>0 , g(x)> 1;(n)设 a< 0 , b> 1 ,证明：当 x> 0 时，ag(x) +(1 - a)v-f(x) vbg(x) + (1 - b). x数学试卷第4页(共18页)数学试卷第5页(共18页)数学试卷第7页(共18页)【解析】依题意，有 4-|x|>0,解得4WxW4；

12、且=|x ;D.【解析】在直角坐标系中，依次作出不等式S曲边多边形OEGFCPLSg形 OCDE依题意，P1 = SBO- S四边形OCDE【提示】分别求出事件“,1x+yW-”和事件“22015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）答案解析第I卷一、选择题1 .【答案】A【解析】i607 =-冈51*=i3=_j ,故选A.【提示】直接利用虚数单位 i的运算性质得出答案.【考点】虚数单位i的运算性质.2 .【答案】B【解析】这批米内夹谷约为 1534M空 化169石，故选B.254【提示】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论 .【考点】利用数学知识解决实际问题.3

13、.【答案】C【解析】特称性命题的否定是全称性命题，且注意否定结论，故原命题的否定是：“ VXW（0, ）,lnx#x1"，故选 C.【提示】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论【考点】含有量词的命题的否定 .4 .【答案】A【解析】显然x与y负相关，又y与z正相关，所以根据“正负得负”的传递性，得x与z负相关.故选A.【提示】由题意，根据一次项系数的符号判断相关性，由y与z正相关，设丫 =女乙k>0,得到x与z的相关性.【考点】线性回归方程.5 .【答案】A【解析】由11, 12是异面直线，可得11, 12不相交，所以P= q；由h 12不相交，可得11, 12 是异面直线

14、或11 a 12,所以q#p.所以p是q的充分条件，但不是 q的必要条件，故选 a.【提示】根据充分条件和必要条件的定义结合空间直线的位置关系，进行判断即可【考点】充分条件和必要条件的判断，空间直线的位置关系6 .【答案】Cx2 - 5x 6> 0 ,解得 x> 2 且 x# 3x - 3；由求交集得，函数的定义域为（2,3yj（3,4,故选C.【提示】根据函数成立的条件进行求解即可【考点】函数的定义域.7 .【答案】D【解析】当x>0时，xsgnx=x=M ;当 x=0 时，xsgnx = 0= x ； 当 x<0时，xsgnx=-x 综上，M = xsgnx,故选【

15、提示】去掉绝对值符号，逐个比较即可【考点】函数表达式的比较0< x< 111x+yW-，xyW一的可行域如下图0MyM1221 S ；OEC一一.1,而七，所以P1<- < P2 ,故选2 S|边形 OCDE2B.1xyW - ”对应的区域，然后求出面积，利用2几何概型公式求出概率，比较大小【考点】几何概型.9 .【答案】D【解析】e1=Ji+£ ,e?=卜+0m2,不妨令e1<e?,化简得_b<" m m> 0）,得v aa ma a mbm< am ,得 b< a .所以当 b> a 时，有 _b> b+

16、 m , IP e1> e2;当 b< a 时，有-bc-btm , a a ma a m即 e1 < e2 ,故选（D）.【提示】分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论【考点】双曲线的性质.10 .【答案】C【解析】如图，集合 A表示如下图所示的所有红心圆点，集合B表示如下图所示的所有红心圆点+所有绿心圆点，集合A* B显然是集合4 x, y） | x< 3, y< 3,x, y Z中除去四个点 （-3,- 3）（ -3,3）（ 3 - 3M 3,3j之外的所有整点（即横坐标与纵坐标都为整数的点），即集合A© B表示如下图所示的所有红心圆点+

17、所有绿心圆点所有黄心圆点，共 45个，故AS B中元素的个数为45故选C.【提示】由题意可得：A=( 0,0),( 01 M 0,-1)( 1,0)(-1,0B=( 0,0)( 0,1),( 0,2 ),(0厂 1)( 0-2)( 1, 0)(1,1"1,211)(1,2), (2,0 ),( 2,1)2,22,1)(2,-2)-1,-2"-1,- 1)1 1,0)(-11),(-1,2)数学试卷第9页（共18页）数学试卷第8页（共18页）数学试卷第9页（共18页）(-2, 2 )(-2,-1 M2,0 ),( -2,1，根据定义可求【考点】集合的基本定义及运算.二、填空题

18、11.【答案】【解析】9 uur uuu uur uuuruur uuur uur uur uuur uur uur由 OA_LAB，得 OAg AB0 .所以 OAgOB OA OA )AB OA g O A A Buuur=OA2 0【提示】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案作出函数图像知，两函数图像的交点有2个，即函数f(x)的零点个数为2.【考点】函数和方程之间的关系.用正弦定理求得h.【考点】平面向量的数量积运算，向量模的求法KV12.【答案】10【解析】作出约束条件表示的可行域如下图所示:|力易知可行域边界三角形的三个顶点坐标分别是(3,1) , (1,3), ( - 1-3,

19、平行移动直线14 .【答案】(I ) 3(n) 6000【解析】(I)由频率分布直方图知，(1.5十2.5十a十2.0十0.8+0.2炉0.1=1 ,解得a=3.(n ) 消费金额在区间10.5,0.9】内的购物者的人数为10000M (3 + 2.0 + 0.8 + 0.2 7 0.1 = 6000 .【提示】(I)频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，先算出频率，在根据频率和为1,算出a的值.(n)先求出消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的频率，再求频数 .【考点】频率分布直方图15 .【答案】100J6【解析】依题意，在 AABC 中，AB=600, /BAC=30，/ACB =

20、 751301= 45口，由正弦定理得一BC=AB一即 BC = 600 ，所以BC=300/2 在 4BCD 中， sin BAC sin ACB sin30 sin 45/CBD =30)CD uBCtan /CBD =300 2ltan30100 6 .【考点】正弦、余弦定理.16 .【答案】(I) (x-1)2+ (y-/2)2=2(n)【解析】(I)由题意设圆心 C1,r) ( r为圆C的半径)，则r2=|l暂+ 12= 2，解得=/2 , 22所以圆C的方程为(x- 1 +( y-72 )=2.(n)令x=0 ,得y = /2± 1 ,所以点B 0/2+1),又点C(1/

21、2),所以直线BC的斜率 为kBC=-1 ,所以圆C在点B处的切线方程为y-(，2+1)= x- 0,即y= x+(/2+ 1 ,令 y=0,得切线在x轴上的截距为_/2_1.【提示】(I)确定圆心与半径，即可求出圆C的标准方程.(n)求出圆C在点B处切线方程，令y=0可得圆C在点C处切线在x轴上的截距.【考点】圆的标准方程，圆的切线方程.17 .【答案】a=2j2-2【解析】当aW0时，f(x) = |x2ax在【0,1上是增函数，所以g( a)= f( 1)= 1a ,此 时 g( a)min =1 ；当0c a< 2时，作出函数f( x)=| x2- ax的大致图像如下：y=3x,

22、求可知当直线过点(3,1)时3x+y取最大值10.【提示】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值.【考点】简单线性规划13.【答案】2【解析】f x =2 sinx sin x - |2x= 2 sinx cox '=sin2 2x 令 f(x)=0,则日Asin 2<=x2,则函数f(x)的零点个数即为函数 y=sin2x与函数y = x2图像的交点个数,【提示】设此山高h(m),在ABCD中，利用仰角的正切表示出 BC ,进而在zABC中利由图易知，f(x)=|x2ax在0弓 上是增函数，在 1,a上是减函数，在1a,11上是增函数学试卷第10

23、页(共18页)数学试卷第11页(共18页)数学试卷第13页(共18页)数，此时，只需比较 f a与f （1 ）的大小即可.2尸（1），得历_a曰一a，得.”,解得a=2j22或a=2 (舍去），且当0 <a <2拒_2时,-<f (1 )；当 272 2<a<2时，f A f(1 ) 26）当0<标2 20 时,a一一一 一 一I- <f (1 )，所以 g a = f 1 )=1 a，此时 3-2V2<g(a)<1 2(ii )当 a =222-2 时,卜f（1）,所以g（a尸f la卜f=32企;(iii )当2门- 2Wa卜f(1),

24、所以 g(a)=f - 22a,此时4因为曲线y = sinx的对称中心为（k /0）,k三Z,令2x+=kn,解得x=，kw Z,6212即y = g（x）图像的对称中心为 It，0 j, kw Z ,其中离原点212二0；,12,.O最近的对称中心为【提示】（I ）（n）由函数【考点】函数19.【答案】由五点作图法即可将数据补充完整,y = Asin（co x+中）的图像变换可得y = Asin® x +邛）的图像变换.写出函数的解析式;g（x）,解得其对称中心即可得解【解析】（I ）因为PD_L底面ABCD ,所以PD_L BC ,由底面ABCD为长方形，有BC_L CD ,而

25、PD ICD 0 ，所以BC_L平面PCD, DEu平 面 PCD,所以BC_L DE ,又因为PD= CD ,点E是PC的中点，所以 DE_L PC ,而 PCI BC= C ,故 DEI 平面 PBC.由BC_L平面PCD , DE_L平面PBC ,可知四面体 EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖月需，其四个面的直角分别是 /BCD,/BCE,/DEC ,/DEB .11（n）由已知得 PD 是阳马 PABCD 的局，所以 Vi=- Sabcd gPD = - BCgCDgPD ;3332应<g(a )<4 ；当a 22时，f ( x)= 9 a min =

26、1 .综上，当a =2"2时,an = 2n -1(1)4bn =2nX在hl上是增函数，所以g（a尸f（1）=a1 ,此时1an =(2n 79)或 9 obn=9g(2产911由(I)知，DE 是鳖月需 D BCE 的电 BC_L CE ,所以 V2 = - SBCEgDE=- BCgCEgDE 3 :6在RtA PDC中，因为PD= CD ,点E是PC的中点，所以DE= CE=®CD ,2(D)工=6g a min =3-2.2.【提示】通过分 a<0, 0V aW2应-2, a >2 J2-2三种情况去函数f（x）表达式中绝对值符号，利用函数的单调性即得

27、结论【考点】函数的最值.三、解答题18.【答案】（I ）见解析.©x +邛0汽2汽3322支x兀12汽375125支613一汽12Asin(切 x +中)05050 ITt !且函数表达式为f (x) =5sin ! 2x-【解析】（I）根据表中已知数据，解得A = 5,o =2/P =数据补全如下表:6z、（n）离原点o最近的对称中心为1 -, 0 j.,126一i n,f (x) =5sin 12x 一 6I,因此 g(x) =5sin2 x +1公7t-=5sin . 2x 十 二666【解析】（I）a1 =1解得1d =22n_3-2n-由题意有,10a1 45d =100a

28、1d = 2an = 2n T2,故dbn9n= 2n2a1 9d =20 即1a1d = 21anj(2n 79)9_ n11上iBCf”V 1V2BCgCEgDE2CDgPD _ 4CEgDE 一 .(n )由 d >1,知 an = 2n1 ,Tn =12 bn = 9g9n2n -1bn = 2 ，故 Cn = n-,3579 2n-1"y -j -y "y 113579 2n-1 yT ="I"十十十十.一十5n一一2一3-4一5一n2222222可得11 1Tn 2222 22【提示】(I )利用前（n）当d>1时，由1 2n-1

29、2n 33 -2门-22n2n2n 32门_110项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可(I )知 Cn2nm ,写出Tn , Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式计算即可【考点】数列的通项及求和，错位相减法20.【提示】(I)证明BC_L平面PCD, DE_L平面PBC,可知四面体 EBCD的四个面都是 直角三角形，即可得出结论 .11(n)由已知，是棱锥 P ABCD 的局，所以 Vi = - Sabcd gPD = - BCgCDgPD ,由(I)知， 3311.Vi,DE 是鳖月需 D- BCE 的高，BC-L CE,所以 = SBCEgDE = - BCgCEgDE

30、,即可求T 的 3 ：6V2值.【考点】线面垂直的判定与性质，体积的计算1 1x _xx _ x21.【答案】(I) f (x)=- (e - e ) , g(x)=-(e+e )，证明见解析.2 2(n)证明见解析.【解析】(I)由f (x) , g(x)的奇偶性及f (x)+g(x)= ex，得一 f (x)+ g(x)=x， 联立解得 f (x)= (ex - e-) , g(x)=(ex+ex).22当 x>0 时，ex>1, 0<ex<1 ,故 f(x)> 0 又由基本不等式，有 g(x)=(ex+又x)> Jexex= 1 ,即g(x)>

31、12x(n)由(I)得 f'(x)=- (ex -x)r=- (ex + -ex)=- (ex+ e)= g(x),2ex2 e 2数学试卷第13页（共18页）数学试卷第14页（共18页）数学试卷第16页（共18页）x .g(x) =_(ex +-)H = -(ex -2) = -(ex -e-) = f (x),2ex2e2x2当 x>0 时，f_(x_：>ag(x)十(1a)等价于 f (x) >axg(x)+(1a)x , xf(x)<bg(x)+(1 b)等价于 f(x) <bxg(x)+(1b)x , x设函数 h(x) = f (x) -cxg

32、(x) -(1 -c)x,由，有 h (x) ug(x) -cg(x) -cxf (x) -(1 -c) =(1-c)g(x) -1-cxf(x).当x>0时，(I)若cW0,由，得h'(x)>0,故h(x)在0,收)上为增函数，从而h(x) >h(0) =0 ,即 f (x) >cxg(x) +(1 -c)x ,故成立.(n)若c之1,由，得h'(x><0，故h(x)在0,y)上为减函数，从而h(x) <h(0) =0,即 f(x) <cxg(x) +(1 -c)x ,故成立.综合，得 ag(x) +(1 -a) < (x) <bg(x) +(1 -b).x【提示】(I)运用奇、偶函数的定义，由函数方程的思想可得 f(x), g(x)的解析式，再由指数函数的单调性和基本不等式，即可证得f (x) >0, g(x) >1.(n)当x >0时，>a ( 0- 穹)+ x1, < a+ 一4"a+ 1 x),没函数xxh(x) = f(x)- cxg(x) -(1 -c)x ,