空投物资问题

1、空投物资问题摘 要：本文针对向对灾区空投物资问题做了定性分析，建立微分方程与线性规划的优化模型来解决这个问题，并利用Matlab软件与Lingo软件做了适当的数据处理，得出了在阻力系数不变的情况下，选择怎样的降落伞能使救灾物资安全着陆且花费最小，结合问题所给出的数据进行求解得出选择半径为3米的降落伞6个就可以完成kg的救灾物资安全着陆（即：着陆时的速度小于等于）的任务而且使花费最小，最小花费4929元。关键词：定性分析；线性规划；优化；花费最小；安全着陆1. 问题重述在生活中我们会经常遇到用飞机来向灾区投救灾物资的情况，然而在空投的时候我们就需要考虑降落伞的选择。现在某灾区需要用飞机空投kg的

2、救灾物资。需要选择一些降落伞，以保证在高度为米、降落伞落地时的速度不超过米/秒的情况下，使得空投任务得以圆满完成。现已知降落伞面为半径r的半球面，用每根长为L共16根绳索连接的载重m仅位于球心正下方球面处如图（2）。每个降落伞的价格由三部分组成：伞面费用由伞的半径r决定，见表（2.1）。绳索费用由绳索总长度及单价元/米决定。固定费用为200元。同时可以认为降落伞在降落过程中受到的空气阻力与降落速度和伞面积成正比。为了确定阻力系数用半径米。载重kg的降落伞以米高度作试验测得各时刻的高度见表（3）。试根据以上的条件为其确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞的半径多大（在表（2）中选择），在满足

3、空投的需求下，使总的费用最底。表222.533.54651703506601000 + 图2 表3 0369121518212427305004704253723172642151601085512. 问题分析针对用飞机来向灾区投救灾物资问题，来进行分析，要使物资安全着陆，又要使总共的花费最少，而大气又是不均匀的（既阻力不确定），我们假设在阻力系数一定时，选择列举法一一得出阻力系数，求其平均值，再由速度和时间的关系以及得到的阻力系数，在最终落地速度小于与等于的情况下进而求得每个伞的最大载重量。最后用线性规划，以总费用作为目标函数，物资总量作为约束条件，用LINDO软件即可求得，在最少花费的情况

4、下的降落伞的最优选择方案。3. 模型假设（1） 假设空气阻力系数为常数。（2） 假设救灾物资可以随意分割。（3） 假设救灾物资不受风等其它作用的影响，只受重力和阻力。（4） 假设物资的投递是自由落体而不是平抛。（5） 降落伞的质量和绳索的质量可以忽略不计。4. 符号说明：重力加速度 ：物资所受的阻力 ：空气阻力系数 ：物资下落时的加速度 ：物资下降所用的时间 ：投放的物资质量 ：降落伞的半径 ：物资的下降速度 ：降落伞绳子的长度 ：降落伞的表面积 ：伞面费 ：总费用 ：绳索费 ：物资下降的高度：固定费用 ：物资所受的重力：所用每种伞的个数 ：积分常数项 5. 模型建立对物体在空中建立牛顿第二定

5、律方程：因为加速度是速度的一阶导数，而阻力与降落速度和伞的面积成正比。设阻力系数为，又因为，则(1)式可写为 对关于积分得，关于的函数 速度为路程的一阶导数即： 对再次积分得：（即可求出路程与时间的函数表达式）因为得。则(4)式变为： 结合表3得到表5.1的数据，借用Matlab软件，解得阻力系数（多组求平均值），为在竖直方向所下落的距离。 表5.103691215182124273003075128183236285340392445499结合(5)式得到值的表格。 表5.20369121518212427302.2762.9662.9282.8912.9052.9562.9352.9442

6、.9442.938依照上表分析得出：组数据波动较大，可能由于降落伞在起初还未完全打开，阻力系数还未稳定，所以从第7组开始，求的平均值，作为阻力系数。 因为(3)式中，均为未知量，是的函数，则相应的可将未知量作为的函数，即对关于求导得到因为，都非负，所以即 又为关于的减函数，则，为关于的增函数。取为定值，代入，由于为关于的增函数，则取，还是有，所以，则，是关于的增函数。相对而言也可以认为是关于的增函数，那考虑到，速度到达所允许范围内最大时，大到降落伞所承载的最大值，即此时，速度一定，不再发生变化，取即： 则由（8）式得出 用Matlab软件一一求得伞半径不同时所对应承载的最大物资重量列表5.3：

7、表 5.3伞的半径22.533.54最大载重重150.981235.892339.684462.348603.883要总费用最少，根据线形规划知识，设选择半径为的伞个，的个，的个，的个 ，的个，总费用，绳索的长度。又由基本费用得到每种伞的花费表5.4： 表5.422.533.54651703506601000181.02226.27271.53316.78362.04200200200200200446.02596.27821.531176.681562则目标函数：约束条件： 且都为整数。用LINDO软件求得： 选择半径为的伞6个，能够使总费用最低，最低费用为4929元。6. 模型检验对于本文

8、的优化模型，先对阻力系数进行检验，由于刚开始时（刚投下物资时）伞可能没有完全打开，阻力系数较小，还不稳定。当全部都打开，受力均匀时；值会趋于稳定，又因为阻力会随着速度的增加而增大。符合，又因为阻力会随速度的大小而变化，当阻力等于重力时，速度趋于定值，不再变化，所以用最大速度计算符合要求，由于伞面积增大，它们载重量也会随之增大，根据所得的数据可得计算结果比较合理。通过检验证明优化模型是较为合理的。7.模型评价本文对于飞机空投物资做了研究，建立了微分方程及线形优化模型求解：优点：运用平均值法借助matlab软件求阻力系数，既可以提高计算结果的可靠性又可以减少误差，还使计算结果简化。在求解伞的最大载

9、重量时，创新的运用了作为的函数，从而求得，在速度允许的最大范围内，也是质量允许的最大值，进而将代入求得允许的最大载重。缺点：由于大物体一般是不容易分割的，所以对于无法分割的大物体可以利用质量与极限速度求得其需要的降落伞的大小，因此只需变换侧重点，本文依然是比较好的模型。8.模型推广 生活中有很多与之相关的问题，例如，战争中用大型运输机空降作战设备与武器，既要保证物品安全到达，又要经济，就可以用此模型进行计算，以做好战前准备，或应急救援准备。 也可运用到在载人航天事业中，在太空舱返回时要降低速度，否则由于太空舱的落地速度过高会导致舱体损坏和人员伤亡，选择适当的减速伞可以避免这种损失，对于发射时的

10、太空舱，根据其质量算出适合的伞面积，是非常关键的。9.参考文献 1 LINDO.doc LINDO使用手册2 阮晓青 周义仓 数学建模引论 高等教育出版社 2007年5月1日出版附录：程序min 446x1+596.3x2+821.5x3+1176.8x4+1562x5st151x1+236x2+340x3+463x4+605x5>2000endgin x1gin x2gin x3gin x4gin x5运行结果LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE VALUE = 4832.35303 FIX ALL VARS.( 3) WITH RC > 0.

11、000000E+00 SET X2 TO <= 1 AT 1, BND= -4879. TWIN= -4885. 8 SET X3 TO >= 6 AT 2, BND= -4929. TWIN=-0.1000E+31 12 NEW INTEGER SOLUTION OF 4929.00000 AT BRANCH 2 PIVOT 12 BOUND ON OPTIMUM: 4865.508 DELETE X3 AT LEVEL 2 FLIP X2 TO >= 2 AT 1 WITH BND= -4884.5176 SET X3 TO <= 4 AT 2, BND= -490

12、3. TWIN= -5300. 15 SET X3 TO >= 4 AT 3, BND= -4903. TWIN=-0.1000E+31 15 SET X2 TO >= 3 AT 4, BND= -5075. TWIN=-0.1000E+31 16 DELETE X2 AT LEVEL 4 DELETE X3 AT LEVEL 3 DELETE X3 AT LEVEL 2 DELETE X2 AT LEVEL 1 RELEASE FIXED VARIABLES FIX ALL VARS.( 3) WITH RC > 23.0471 SET X3 TO <= 4 AT 1

13、, BND= -4913. TWIN= -5284. 25 SET X3 TO >= 4 AT 2, BND= -4913. TWIN=-0.1000E+31 25 SET X4 TO >= 2 AT 3, BND= -5640. TWIN=-0.1000E+31 27 DELETE X4 AT LEVEL 3 DELETE X3 AT LEVEL 2 DELETE X3 AT LEVEL 1 RELEASE FIXED VARIABLES FIX ALL VARS.( 1) WITH RC > 16.5412 SET X4 TO >= 1 AT 1, BND= -49

14、17. TWIN= -4930. 44 SET X1 TO <= 0 AT 2, BND= -4917. TWIN=-0.1000E+31 44 SET X4 TO <= 1 AT 3, BND= -4917. TWIN=-0.1000E+31 44 SET X3 TO >= 4 AT 4, BND= -5059. TWIN= -4948. 46 DELETE X3 AT LEVEL 4 DELETE X4 AT LEVEL 3 DELETE X1 AT LEVEL 2 DELETE X4 AT LEVEL 1 ENUMERATION COMPLETE. BRANCHES=

15、8 PIVOTS= 46 LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND RE-INSTALLING BEST SOLUTION. OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 4929.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 446.000000 X2 0.000000 596.299988 X3 6.000000 821.500000 X4 0.000000 1176.800049 X5 0.000000 1562.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2)

16、40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 46 BRANCHES= 8 DETERM.= 1.000E 0ans =>> solve('1560/k+275.8/k2*exp(-5.655*k)-275.8/k2=499','k')ans =>> solve('156/k+275.8/k2*exp(-0.5655*k)-275.8/k2=30','k')>> solve('312.2/k+275.8/k2*exp(-1.131*k)-275.8/k2=75&#

17、39;,'k')ans =>> solve('468.3/k+275.8/k2*exp(-1.696*k)-275.8/k2=128','k')ans =2.9277808750504372442224027783673>> solve('624.4/k+275.8/k2*exp(-2.4595*k)-275.8/k2=183','k')ans =>> solve('780.5/k+275.8/k2*exp(-2.827*k)-275.8/k2=236','k')ans =>> solve('935.83/k+275.8/k2*exp(-3.393*k)-275.8/k2=285','k')ans =>> solve('10