2020届湖南湖北四校高三下学期4月学情调研联考数学(理)试题(解析版)

1、第1 1页共 2525 页2020 届湖南湖北四校高三下学期 4 月学情调研联考数学(理)试题一、单选题1.1. 已知集合P X R|0 x 4,Q x R|x| 3，则PUQ()A A.3,4B B.( 3,)C C.(,4D D.( 3,4【答案】D D【解析】化简集合 Q,Q,根据集合的并集运算即可 【详解】由题意得，P 0,4,Q ( 3,3), P Q ( 3,4，故选 D.D.【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于容易题 2.2. x x, y y 互为共轭复数，且 x x y y23xyi3xyi 4 4 6i6i 则 X y ()A A . 2 2B B. 1 1C C.2

2、2D D . 4 4【答案】C C【解析】 利用待定系数法求解，设复数x x a a bibi，则其共轭复数 y y a a bibi，然后将 x x,2y y 代入 x x y y 3xyi3xyi 4 4 6i6i 中化简，可求出a,b的值，从而可求出复数 x x, y y 的模. .【详解】2 2 2设 x xa a bibi , y y a a bibi，代入得2a 3 abi 4 6i,所以2a2a24 4,3 a2b26,解得a 1,b1,所以 x x|y2 2 运.故选：C C【点睛】此题考查复数和其共轭复数，复数的运算，复数的模，属于基础题. .3 3 如图所示，三国时代数学家

3、在周脾算经中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明. .图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影)，设直角三角形有一个内角为 3030若向弦图内随机抛掷 200200 颗米粒(大小忽略不计，取 J31.732),则落在小 正方形(阴第2 2页共 2525 页影)内的米粒数大约为()第3 3页共 2525 页【答案】B B【解析】 设大正方体的边长为x，从而求得小正方体的边长为3x1x，设落在小2 2正方形内的米粒数大约为N，利用概率模拟列方程即可求解。【详解】 设大正方体的边长为x，则小正方体的边长为设落在小正方形内的米粒数大约为N,故选：B B【点睛】 本题主要考查了概率模拟的应用，考查

4、计算能力，属于基础题。uuu/uuvuuiv4 4 如图所示，在ABC中，点D在线段BC上，且BD 3DC，若AD AB AC，B B. 2727C C. 5454D D . 6464则Yx21X2N，解得：N 27200【解析】分析：从 A A 点开始沿着三角形的边转到D D，则把的和，把uuurBD写成器的实数倍，从而得到uuuAD1 uuu 3 UULTAB AC，从而确定出44A A . 2020A A . .2第4 4页共 2525 页1B.-3【答案】1,3，最后求得结果44第5 5页共 2525 页结合三角形法则，求得结果【答案】B B偶性与单调性即可作出判断【详解】解：/ f

5、f (x x)为偶函数； f f (- x x)= f f (x x)；1 1;. |- x x- m|m|= |x|x- m|m|；(-x x- m m)2=( x x- m m)2； mxmx= 0 0 ； m m= 0 0 ； f f (x x)=2H - 1 1； b b = f f (log25), c c= f f (2 2)； / / O Ovlog23v 2 2vlog25； acbac0, tanB0,-3-2A3 - 4B.【答案】B B【解析】Q acosB bcosA二由正弦定理，得sinAcosBsinBcosA3sinC,5(A B)si nCsin(A B)3si

6、n AcosB sin BcosA -(sin AcosB5cosAsi nB),整理，得sinAcosB 4sinBcosA，同除以cosAcosE,得tanA4tanB由此可得ta(A B)tanA tanB1 tanAta nB3ta nB21 4tan B31tanB4ta nB第1212页共 2525 页sin x 1 cos( xJsinxsinx,2Qf(x)f(x)在区间5上是增函数，56c25030, x5625当x 2k (kZ),x2k-(kZ)时，f f (x)(x)取得最大值,22而 f(x)f(x)在区间0,上恰好取得一次最大值,22215，解得15,221综上，1

7、2故选：D.D.35. .【点睛】2第1313页共 2525 页本题考查三角函数恒等变换、正弦函数的性质，整体代换是解题的关键，属于中档题. .1111.已知抛物线C:y24x和直线I:X y 10，F是C的焦点，P是I上一点,过P作抛物线C的一条切线与y轴交于Q,贝U PQF外接圆面积的最小值为()B B.2【答案】A A【解析】 设出过点 P P 的切线方程，将切线方程与抛物线方程联立，即可得到切线斜率, 进而得到点 Q Q 坐标，利用斜率乘积为-1-1 可判断出PQF为直角三角形，外接圆的圆心即为斜边的中点，即可求出圆的半径，从而得到圆的面积，即可得到最值【详解】2y将直线 i i 与抛

8、物线联立x y为(1,21,2),又P是|上一点,1 1，故圆的面积为；当点 P P 不为切点时，设点P x0,x01, ,切线斜率为 k,k,则切线方程为4x，得1 0210,即直线 I I 与抛物线相切且切点当点 P P 为切点(1,21,2)时，Q(0,1),F(1,0)Q(0,1),F(1,0)，此时PQF为直角4第1414页共 2525 页取到最小值为一,2综上，面积最小值为 一,2故选：A.A.【点睛】直角三角形 1212 有四根长都为 2 2 的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是（6亍，利用

9、导数即可求解其最大值，进而得到体积的取值范围，得出答【详解】 如图所示，设AB CD a, AC AD BD BC 2, ,过点 A A 作AE CD于 E E，连接BE，则AE *4 BE,yX0k x x0，即kxkxoXo10，将切线方程与抛物线方程联立kx y2ykx04x得X。104kx0 x010，其中V k 1 kx0则kpQ1X0，此时切线方程化简得x X0，此时点 Q Q0,x0，可得kFQxXo， 即PQF为直角三角形,PFPF 中点 M Mx1x2即为外接圆的圆心，则1 x2X01，面积为2L L，当 X X。20时面积本题考查直线与抛物线相切,考查三关键是能确定出三角形

10、为B B (0,C(0,2-33D D (0,作AE在四面体A BCD中，设AB CD a, ACAD BDBC 2, ,过点 A ABE， 求得VA BCD46a?24a4【解CD于 E E,连接BE，得AE4手第1515页共 2525 页又ABa，所以SABE1a4予,24所以VA1BCDa1 a .4孑14a4a32V4612令f a6/ 4 a4a，则f a16a33a5,2解得a1623，【点睛】 本题主要考查了空间几何体的结构特征和体积的计算，以及利用导数求解最值的应用，其中解答中根据几何体的结构特征和体积公式，得到体积的表达式，准确利用导数求解最值是解答的关键，着重考查了分析问题

11、和解答问题的能力，属于中档试题. .二、填空题1313 已知二项式（心的展开式中的常数项为-1601-1601, ,则“_ 【答案】2 2【解析】 在二项展开式的通项公式中，令的幕指数等于，求出的值，即可求得常数项，再根据常数项等于丨/求得实数 的值.【详解】-二项式的展开式中的通项公式为厂-尸令 5 5 2r2r =0=0, ,求得刖，可得常数项为- -160160, , 1717, ,故答案为：【点睛】所以体积的最大值为VA BCD max16 327所以此三棱锥的体积的取值范围是027,故选 A.A.第1616页共 2525 页本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系

12、数的性质，属于基础题.1414 .观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中,m 所满足的等式是_. .【答案】F V E 2【解析】 试题分析：三棱锥：F 5,V6, E 9，得F V E 5 6 92:五棱锥：F 6,V6,E10, ,得F V E 6 6 102;立方体：F 6,V 8,E 12, ,得F V E 6 8 12 2;所以归纳猜想一般凸多面体中，-所满足的等式是：F V E 2，故答案为F V E 2【考点】归纳推理 X1515 .设函数f x e x 1，函数g xmx，若对于任意的 为2,2，总存在X21,2，使得f为g X2，则实数 m m 的取值范围是 _ .【答案】

13、（,】）【解析】由题意可知，f x在2,2上的最小值大于g x在1,2上的最小值，分别求出两个函数的最小值，即可求出m m 的取值范围. .【详解】由题意可知，f x在2,2上的最小值大于g x在1,2上的最小值x多面体面数（旷）三棱锥5 5五棱锥6 6立方体6 6顶点数（厂）棱数（疋）6 69 96 610108 81212第1717页共 2525 页f x xe,当x 2,0时，f x0，此时函数f x单调递减;当x 0,2时，f X 0，此时函数f X单调递增f 0e00 11，即函数f x在2,2上的最小值为-1.-1.函数gxmx为直线，当m0时,g x 0,显然10不符合题意；当m

14、0时,g x在1,2上单调递增，g x的最小值为g 1 m，则m1，与m 0矛盾；当m 0时，g x在1,2上单调递减，g x的最小值为g 2 2m，则1 2m,1即m，符合题意. .21故实数 m m 的取值范围是，丄. .2【点睛】本题考查了不等式恒成立问题与存在解问题，考查了函数的单调性的应用，考查了函数的最值，属于中档题. .1616.ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. .已知ULN uuv2亠八、入sin A:sin B :si nC In 2:ln 4:ln t,且CA CB me2，有下列结论:12 t 8;22m2；93t 4,a In2时，ABC的面积为二15亘

15、乜；84当25t 8时，ABC为钝角三角形. .其中正确的是_ （填写所有正确结论的编号）【答案】【解析】【详解】Q sin A:sin B:sin CIn 2:ln 4:ln t,-Q a:b: eIn 2:ln 4:ln t,故可设a k I n 2,bkl n 42kln2,e k In t,k 0. .Q b a e b a, kln2 e 3kln2,则2 t 8，当25t8时，2 2a be20,故ABC为钝角三角形. .第1818页共 2525 页有不正确 填.【点睛】解三角形中运用正弦定理、 余弦定理和三角形的面积公式进边角互换及运算是常见题 形，要注意三角形内角和为180来减

16、少角的个数，及两边之和大于第三边，两边第差小于第三边来构造不等关系是常用处理技巧.三、解答题是等差数列，并求通项公式;【详解】（1 1）证明:bn1是等差数列，并求数列bn的通项公式；(2(2)设 S Snaa2a?a3a3a4anan1，求实数a为何值时4aSnbn恒成立.【答案】（1 1） 见解析，bnn 2;(2 2)a1n 3【解析】（1 1） 由已知变形为bn 111 1再构造1,从而证明数列bnbn 11 bn1uuv面CAuuvCBabcosC2 , 2 2 2 , 2 2,a b c a b c ab -22ab又CAUIU!2mc，ULVCAuuvCB2c2 2 25k ln

17、 2 c_22cQ kln 2 c3k ln2, 5k218k2| n225k22 当t 4,a In 2时,2 2 25k In 2 c-?5k2In222c25k22c22k21n225k21n2252 c22，ABC的面积为卑亡，故四个结论中，只1717 .已知数列anbn满足：&1bn1,bn 11bn2. .an(2(2)由(1(1)可知 a an1 bn，再写出Sn，4aSnbn恒成立整理为4a& bnan2a 1 n 3a 6 n 80恒成立，分 a a 1 1 ,a 1和a 1三种情况讨论N时恒成立求a的取值范围. .第1919页共 2525 页(1(1) I

18、bmbn1 an1anbn2bn【点睛】本题考查证明由递推公式求通项公式，裂项相消法求和, 问题，意在考查转化与化归，讨论的思想和计算能力，属于中高档习题11818 .在Rt ABC中，ABC 90o,tan ACB已知E,F分别是BC,AC的中点 将CEF沿EF折起，使C到C的位置且二面角C EF B的大小是 6060连接CB,CA，如图:bnbn 1L 1,bnbn12 bnbn1&1bn是以-4-4 为首项,- -为公差的等差数列.- bn11 n(2)- anbn Snaaa?a3anan4aSnbnanI 43a由条件可知3a6 n 80恒成立即可满足条件，设1 1 时,3n

19、 80恒成立,1时,由二次函数的性质知不可能成3a231时，对称轴2 an在1,为单调递减函数.综上知：a1 3a 68 4a 1515a 1时4aSnbn恒成立.1时，4aSnbn恒成立.以及数列和函数结合的综合性第2020页共 2525 页(2 2)求平面AFC与平面BEC所成二面角的大小 【答案】(1 1)证明见解析(2 2) 4545【解析】(1 1)设AC的中点为G，连接FG，设BC的中点为H，连接GH，EH， 从而BEC即为二面角C EF B的平面角，BEC 60，推导出EH BC， 从而EF平面BEC，则AB EH，即EH AB，进而EH平面ABC，推导 四边形EHGF为平行四边

20、形，从而 FGFG / EHEH ,FG平面ABC，由此即可得证 (2 2)以 B B 为原点，在平面BEC中过 B B 作 BEBE 的垂线为 x x 轴，BEBE 为 y y 轴，BABA 为 z z 轴建 立空间直角坐标系，利用向量法求出平面AFC与平面BEC所成二面角的大小 【详解】(1 1)-F是AC的中点， AFCF 设AC的中点为G，连接FG 设BC的中点为H，连接GH,EH 易证：CE EF,BEEF,- BEC即为二面角CEFB的平面角二BEC 60，而E为BC的中点 易知BE EC，二BEC为等边三角形，二EH BC EF C E,EF BE,C E I BE E,二EF平

21、面BEC 而EF/AB,二AB平面BEC,二AB EH，即EH AB. . 由，BC I AB B, EH平面ABC -G,H分别为AC,BC的中点 四边形EHGF为平行四边形 FGFG / EHEH ,FG平面ABC，又FG平面AFC -平面AFC平面ABC 第2121页共 2525 页(2 2)如图，建立空间直角坐标系，设AB 2. .则A 0,0,2,B 0,0,0,F 2,0,1,E 2,0,0,C 1,3,0显然平面BEC的法向量m 0,0,1,ruucu厂uuv设平面AFC的法向量为nx,y,z,AC1,3,2,AF2,0, 1,2x z 0r一二nx . 3y 2z 0,cosm

22、, n由图形观察可知，平面AFC与平面BEC所成的二面角的平面角为锐角平面AFC与平面BEC所成的二面角大小为 4545本题主要考查立体几何中面面垂直的证明以及求解二面角大小，难度一般，通常可采用几何方法和向量方法两种进行求解1919 .在 挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑 战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内，否则派下一个人. .3个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否 则挑战失败 根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图. .y22【点第2222页共 252

23、5 页（1 1） 若甲解密成功所需时间的中位数为47,求a、b的值，并求出甲在1分钟内解密 成功的频率；（2 2）在 挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的9n 1n1概率分别为 巳p一 n 1,2,3，其中P表示第i个出场选手解密成功的1010概率，并且R定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立. .1求该团队挑战成功的概率；2该团队以R从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需 派出的人员数目X的分布列与数学期望 【答案】（1 1）a 0.026，b 0.024，甲在1分钟内解密成功的频率0.9；（2 2）10.99936

24、1;详见解析，E X 1.109. .【解析】（1 1）根据中位数左右两边的矩形面积之和均为0.5可求得a、b的值，并根据频率分布直方图求得甲在1分钟内解密成功的频率；（2 2）由（1 1）得出R 0.9，求出F2、P3的值，由此得出该团队挑战成功的概率为11 P 1 F21 F3；2由题意可得出随机变量X的可能取值有1、2、3，利用独立事件的概率乘法公式计算出随机变量X在不同取值下的概率，据此可得出随机变量X的分布列，结合期望公式可计算出X的数学期望值. .【详解】（1 1）甲解密成功所需时间的中位数为47，0.01 5 0.014 5 5a 0.034 547 450.04 0.5，解得a

25、 0.026，第2323页共 2525 页0.04 3 0.032 5 5b 0.01 10 0.5，解得b 0.024,由频率分布直方图知，甲在1分钟内解密成功的频率是f 1 0.01 10 0.9；第二个出场选手解密成功的概率为第三个出场选手解密成功的概率为所以该团队挑战成功的概率为P 11 R 1 P21 R由可知按R i 1,2,3从小到大的顺序的概率分别R、P2、P3，根据题意知X的取值为1、2、3，则R X 10.9，R X 21 0.90.91 0.091，R X 31 0.91 0.910.009，所以所需派出的人员数目X的分布列为：X123R0.90.0910.009因此，E

26、 X 1 0.9 2 0.091 3 0.009 1.109. .【点睛】91巳0.910.91，10 10291B 0.920.929，10101 0.1 0.09 0.071 0.999361；4V(2(2)由题意及(1 1)可知第一个出场选手解密成功的概率为R 0.9,第2424页共 2525 页本题考查利用频率分布直方图中的中位数求参数，同时也考查概率的计算、 随机变量分第2525页共 2525 页布列以及数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题2C C1: :y4mx(m 0)的准线 1 1 与 x x 轴交于椭圆 C C2：0)的右焦点 F F2，F F1为 C C2的左焦点 椭圆

27、的离心率为e-，抛物2x x 轴上方一点 P P，连接 PFPFi并延长其交 C Ci于点 Q Q，M M 为 C Ci上一动点，且在 P P, Q Q 之间移动. .(1(1)当a乜 取最小值时，求 C C1和 C C2的方程;2 b(2(2)若厶 PFPF1F F2的边长恰好是三个连续的自然数，当最小值时m 1,即可求得抛物线和椭圆的方程;(2(2)用m表示出椭圆的方程，联立方程组得出P P 点的坐标，计算出PF1F2的三边关于m的式子，从而确定实数m的值，求出PQ得距离和M到直线PQ的距离，利用二次函数的性质，求得MPQ面积取最大值，即可求解.【详解】2(1 1)由题意，抛物线G : y

28、 4mx(m 0)的准线方程为l : x m，2020 如图，设抛物线线Ci与椭圆 C C2交于 MPQMPQ 面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MPMP 的方程. .【答案】(1 1)y22 24xZ乂43(2(2)面积最大值为126，此时16MP : y6. .3【解析】(1 1)由题意，c m和e2m，br3m，根据取2 b第2626页共 2525 页2 2椭圆C2:务 占1(a b 0)的右焦点F2(C,0)，所以cm，a b第2727页共 2525 页a 2m，b、3m，所以a二3取最小值时m 1，2 b又由e -a所以抛物线C C1：y24x,又由a 2，b22所以椭圆 C

29、C2的方程为4(2)因为c m，2m,b设椭圆的标准方程为2x4m2P(x, y),Q(Xi,yJ,2x联立方程组右2y2yc 23m216mx 12m0，所以x05m7m于是PF1PF22aPF1F1F26m3又PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数，所以m 3，此时抛物线方程为y212x,R( 3,0),P( 22.6),则直线 PQPQ 的方很为y 2 6( x 3)，联立y?”6(x3)y212x,得x19或X22(舍去)，于是Q9兀所以|PQ|22 9 (2二3 6)225-，2设M ,t2(t ( 3：6,2 6)到直线PQ的距离为d，则d空30752所以此时dmax30MPQ的面

30、积最大值为2525、6412566，MPMP :yx 26. .2m2m或x6m(舍去)，代入抛物线方程得y03辽m，即3第2828页共 2525 页【点睛】本题主要考查椭圆和抛物线的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，解答此类题目，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的 关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查 考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.的取值范围.2121 .已知函数(1)若直线xf x - aIn X，其中a为常数.e2y -x是曲线 y ye的一条切线，求实数a的值;(2(2)当

31、a1时，若函数In x ,/b在1,上有两个零点.求实数b【答案】(1)(1)a 1(2)(2)b第2929页共 2525 页【解析】(1 1)由题意得2 Xoex0a e，解方程组即可得结果;Inx(2(2)函数g, In x y Inxx利用导数可得函数u3o3h e 33e【详解】In xb在1,上有两个零点等价于，函数x-的图象与直线ey b有两个交点,设h(x) In xIn xx /-(x 0),eh(x)在x e处取得极大值e21，从而可得结果. .e(1(1)函数 f f (x)(x)的定义域为(0,),f (x)曲线y f (x)在点xo,yo处的切线方程为h(e)11，结合

32、h(1) ex2x. .ex aeex，1e由题意得2xexo解得a 1,沧e. .所以a的值为 1.1.x(2)当a 1时，f (x)eIn x,贝y f (x)xeex，由f (x)0，得x e,由f(x)0，得0 x e，则f f (x)(x)有最小值为f(e) 0,第3030页共 2525 页即f(X)0,所以g(x)Xln xln xb,(X0),eX由已知可得函数yln x -In xX的图象与直线yb有两个交点，Xeln xX设h(x)ln x-(x0)Xe1 1ln x 1exe elnx x2则h (x) 2 2，XXeex2eexe 2x2令(x)ex eeln x x(x

33、)e2xXX由ex e2x20, 可知(X)0,所以(x)在(0,)上为减函数,由(e)0，得0 x e时，(x)0，当x e时，(X)0,即当0 x e时，h(x) 0，当X e时，h(x) 0,则函数h(x)在(0,e)上为增函数，在(e,)上为减函数，1所以，函数h(x)在x e处取得极大值h(e)e133221又h-,he33e24e21eee11所以，当函数g(x)在1,)上有两个零点时，b的取值范围是-，b -，ee【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数研究函数的零点，属于难题 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)(1)已知切点A x0,

34、f x0求斜率k, ,即求该点处的导数k f x0； (2)(2)己知斜率k求切点A X1,f * ,即解方程f为k； (3)(3)巳知切线过某点M为十 为( (不是切点) )求切点，设出切点x!X。A x, f x,利用kf x1f xx0求解. .2222 .在平面直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为X12 t，(t为参数)，曲线y 1 t第3131页共 2525 页G：y .1x2. .以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴立极坐标系，曲线C2的极坐标第3232页共 2525 页方程为4j2sin一 . .4(I)若直线I与x,y轴的交点分别为A,B，点P在Ci上，求BABp的取值范围；(n)若直线I与C2交于M,N两点，点Q的直角坐标为2,1，求|QM|QN|的值 【答案】(I )