特级教师王盛裕老师数学竞赛讲座汇编

1、数学竞赛辅导讲座一数1、 计算：2、 如果，那么n=_3、 军训基地购买苹果慰问学员，已知苹果总数用八进制表示为，七进制表示为，那么苹果总数用十进制表示为_4、 已知实数a满足，那么a-20062的值是（ ）A、2006B、2007C、2008D、20095、设分数不是最简分数，那么正整数n的最小值可以是（ ）A、84B、68C、45D、1156、数272-1能被500与600之间的若干整数整除，试找出三个这样的整数，它们是_7、n是自然数，19n+14与10n+3都是某个不等于1的自然数d的倍数，则d=_8、设，则3a3+12a2-6a-12=（ ）A、24B、25C、D、9、已知a、b是正

2、整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a，b）共有_对10、设n是大于1909的正整数，使得为完全平方数的n的个数有（）个A、3B、4C、5D、611、设an表示数n4的末位数，则a1+a2+a2008=_12、如果对于某一特定范围内x的任意允许值，p=|1-2x|+|1-3x|+|1-10x|为定值，则定值为（ ）A、2B、3C、4D、513、若，则x=_14、试求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-2009|的最小值15、已知p、q均为素数，且满足5p2+3q=59，则以p+3，1-p+q，2p+q-4为边长的三角形是（ ）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等腰三角形16

3、、若x1、x2 、x3 、x4 、x5为互不相等的正奇数，满足(2005-x1)(2005-x2)(2005-x3)(2005-x4)(2005-x5)=242，则x12+x22+x32+x42+x52的末尾数字是（ ）A、1B、3C、5D、717、在数1、2、3、2008、2009前面任意添加上“+”或“-”进行计算，所得可能的最小非负数是_18、设a、b、c为实数，x、y、z中至少有一个值（ ）A、大于0B、等于0C、不大于0D、小于019、今天是星期日，若明天算第1天，则第13+23+20093天是星期_20、当x分别取时，计算代数式值，将所得的结果相加，其和等于（ ）A、-1B、1C、

4、0D、200921、已知四个互不相等的正数x、y、m、n中，x最小，n最大，且x：y=m：n，试比较x+n与y+m的大小，并证明你的结论22、计算：23、设x>0，y>0，且，求的值24、求的最小值25、设a、b、c为两两不相等的有理数，求证为有理数26、已知，且0<x<y，那么满足上述等式的整数对(x，y)的个数有多少？27、设，如果用记号S表示不超过S的最大整数，试求S28、已知x、y是整数，并且13|(9x+10y)，求证：13|(4x+3y)29、若a、b是整数，且7|(a+b)，7|(2a-b)，求证：7|(5a+2b)30、正整数p、q都大于1，且都是整数，

5、求p+q31、当n是正整数时，n4-6n2+25是质数还是合数？证明你的结论32、已知a是自然数，问a4-3a2+9是质数还是合数？证明你的结论33、试求出一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同34、设a、b、c、d是正整数，并且a2+b2=c2+d2，证明a+b+c+d一定是合数35、你能找到三个正整数a、b、c，使得关系式(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388成立吗？如果能找到，请举一例；如果找不到，请说明理由36、一个正整数a，若将其数字重新排列，可得到一个新的正整数b，如果a恰好是b的3倍，我们称a是一个“希望数”（1）请你

6、举例：“希望数”一定存在；（2）请你证明：如果a、b都是“希望数”，则ab一定是729的倍数37、将自然数1、2、3、21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于3338、设，a是x的小数部分，b是-x的小数部分，求的值39、设a、b都是整数，求证：a，b，a2+b2，a2-b2中一定有一个被5整除40、若一个数能够表示成(x，y是整数)的形式，则称该数为“好数”（1）试判断29是否为好数；（2）写出80，81，100中的好数；（3）如果m，n都是好数，证明mn也是好数41、有三堆小石子的个数分别是19、8、9，现在进行如下的操作：每次从三堆中的任意两堆中取出

7、1个石子，然后把这两个石子都加到另一堆中，试问能否进过若干次这样的操作后，使得（1）三堆的石子数分别是2、12、22？（2）三堆的石子数都是12？如能达到要求，请用最小的操作次数完成它，如不能达到，请说明理由注：每次操作可用如下方式表示，比如从第一、二堆中各取出一个石子，加到第三堆上，可表示为（19，8，9）（18，7，11）等等42、求证为无理数43、已知p为大于3的质数，证明p的平方被24除的余数是144、已知M是一个四位的完全平方数，若将M的千位数字减少3而各位数字增加3可以得到另一个完全平方数，则M=_45、在“123456789”的小方格中填上“+”或“-”号，如果可以使其代数和为n

8、，就称n是“可被表出的数”，否则，就称n是“不可被表出的数”（如1是可被表出的数，这是因为1+2-3-4+5+6-7-8+9是1的一种可被表出的方法）（1）求证：7是可被表出的数，而8是不可被表出的数；（2）求25可被表出的不同方法种数数学竞赛辅导讲座二式1、 已知x为实数，则的最大值是_2、 已知a+b+c=11与，则的值是_3、 已知实数a，b，c满足(a+b)(b+c)(c+a)=0，且abc<0，则代数式的值是_4、 已知a，b为实数，且ab=1，a1，设，则M-N=_5、 a，b，c不全为0，满足a+b+c=0，a3+b3+c3=0，称使得an+bn+cn=0恒成立的正整数n为

9、“好数”，则不超过2007的正整数中好数的个数为（ ）A、2B、1004C、2006D、20076、设，则=_7、设a，b，c的积为负数，和为正数，且，则的值为（ ）A、0B、1C、2D、-18、若|x-a|=a-|x|(x0，a0)，则=（ ）A、2aB、2xC、-2aD、-2x9、若a，b为实数，满足，则的值为（ ）A、-1B、0C、D、-2x10、设a，b，c为互不相同的有理数，满足，则满足条件的a，b，c共有（ ）组A、0B、1C、2D、411、已知，则=_12、化简：的结果是（ ）A、1B、C、2D、4/13、分式的最小值是（ ）A、-5B、-3C、5D、314、非零实数a，b，c，

10、x，y，z满足关系式，则=_15、已知x，y，z为实数，若，则xy+yz+zx的最小值为（ ）A、B、+C、-D、-16、若，则=_17、若实数x，y满足，则=_18、设x，y为实数，代数式的最小值为_19、已知实数a，b，c满足，则的值等于_20、分解下列因式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）21、使为完全平方数的正整数m的个数为_22、若实数a满足，则=_23、已知实数x，y满足，则的值为（ ）A、-2008B、2008C、-1D、124、设，则=_25、设a，b，c，d都是正整数且，求d-b的值26、若，求的值27、若，试求ab+cd的值28、已知x>y>z&

11、gt;0，求合适等式xyz+xy+yz+zx+x+y+z=1989的整数x，y，z的值29、已知一组数据4，-2，0，2，x的极差是10，求x的值30、设都是正整数，且满足，求的最大值31、实数a，b满足，求的最大值32、计算：33、当x变化时，求分式的最小值34、已知，求的值35、求证：（1）一个自然数的平方被7除的余数只能是0，1，4，2；（2）对任意正整数n，不被7整除36、为实数，求证：37、已知a，b，c均为正整数，且满足，有a为质数，求证：（1）b与c这两个数的乘积为偶数；（2）2(a+b+1)是完全平方数38、设a，b，c均是不等于0的实数，且满足及，证明：39、设实数x，y满足

12、，求x+y的值40、已知a，b，c为实数，证明这四个代数式的值中至少有一个不小于的值，也至少有一个不大于的值41、设实数x，y，z同时满足，试求的值42、试求满足条件的整数对（x，y）43、如果实数a，b满足条件，a+b的值是多少？44、已知a，b，c为正数，满足下列条件说明：以为三边长的三角形可构成以个直角三角形数学竞赛辅导讲座三方程1、方程|3x|+|x-2|=4的解的个数是（ ）A、0B、1C、2D、32、以关于x，y的方程组的解为坐标的点（x，y）在第三象限，则符合条件的实数m的范围是（ ）A、m>B、m<-2C、-2<m<D、-<m<93、已知实数

13、a>0，b>0，满足，则a+b的值是_4、关于x的方程的解为_5、已知p是质数，且方程的两个根都是整数，则p=_6、方程的整数解（x，y）的个数是（ ）A、0B、1C、3D、无数多个7、若a，b都是整数，方程的两相异根都是质数，则3a+b的值是（ ）A、100B、400C、700D、10008、对于实数x，符合x表示不大于x的最大整数，例如3.14=3，-7.59=-8，则关于x的方程的整数解有（ ）个A、4B、3C、2D、19、已知a，b，c，d，e，f满足，则(a+c+e)-(b+d+f)的值为_10、方程有三个不相等的实根，则k的取值范围是（ ）A、-<k<0B、

14、0<k<C、k>-D、k<11、若整数m使得方程的根为非零整数，这样的整数m的个数为_12、设x1，x2是方程的两根，则=（ ）A、-29B、-19C、-15D、-913、方程的非负整数解（x，y）的组数为（ ）A、0B、1C、2D、314、方程的所有实数解为_15、对于实数u，v，定义一种运算“*”为：u*v=uv+v，若关于x的方程x*(a*x)=- 有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是_16、小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，假设每辆18路公交车行驶速度一样，而且18路公交车总站每隔固定

15、的时间发一辆车，那么发车间隔为几分钟？17、不定方程5x-14y=11的最小正整数解是_18、方程的解的个数是（ ）A、1B、2C、3D、419、已知t是实数，若a，b是关于x 的一元二次方程，的两个非负实根，则的最小值是_20、已知m，n是二次方程的两根，那么等于（ ）A、1B、2C、3D、421、若实数x，y，z满足方程组，则（ ）A、x+2y+3z=0B、7x+5y+2z=0C、9x+6y+3z=0D、10x+7y+z=022、已知实数a，b，c，d，且ab，cd，若关系式同时成立，则6a+2b+3c+2d=_23、方程组的正整数解（x，y，z）为_24、方程的所有不同的整数解共有_组2

16、5、把三个连续的正整数a，b，c按任意次序（次序不同视为不同组）填入x2+x+=0的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项，使得方程至少有一个整数根的a，b，c有（ ）A、不存在B、有一组C、有两组D、多于两组26、已知a，b，c为正数，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的根的情况是（ ）A、没有实根B、有两个相等的实根C、有两个不等实根D、根的情况不确定27、求方程的正整数解28、设x，y，z是都不为零的相异实数，且满足等式，试证明：此等式的值不可能是实数29、解方程：30、满足方程的所有质数解（即x，y都是质数的解）是_31、若，求证：32、已知a>

17、0，且b>a+c，证明方程必有两个不同的实根33、解下列方程：（1）（2）（3）（4）（5）（6）34、设a为整数，使得关于x的方程至少有一个有理根，试求方程所有可能的有理根35、已知正整数a，b，c满足a<b<c，且ab+bc+ca=abc，求所有可能符合条件的a，b，c36、当a，b为何值时，方程有实根37、m为有理数，试确定方程的根为有理数38、当时，试证方程和中至少有一个方程有实根39、周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？40、若关于x的方程只有一个解，求k的值41、把最大正整数是31的连续31个正整数分成A，B两组

18、，且10在A组，如果把10从A组移到B组中，则A组中的各数的平均数增加，B组中各数的平均数也增加，问A组中原有多少个数？42、已知a>2，b>2，试判断关于x的方程与方程有没有公共根，并说明理由43、求所有的实数k，使得关于x的方程的根都是整数44、设a，b，c为互不相等的非零实数，求证三个方程不可能有两个相等实根45、设是整系数二次方程的判别式，（1）4，5，6，7，8五个数值中，哪几个能作为判别式的值？分别写出一个相应的二次方程；（2）请你从中导出一般规律一切整数中怎样的整数值不能作为的值，并给出理由数学竞赛辅导讲座四不等式1、 不等式对一切实数x都成立，则实数a的最大值为_2

19、、 满足的整数x的个数是（ ）A、4B、5C、6D、73、已知-1<2x-1<1，则的取值范围是_4、已知关于x的不等式(2m-n)x-m-5n>0的解集为x<，那么关于x的不等式mx>n(m0)的解集为_5、使关于x的不等式成立的x的最大值是-1，则a的值是_6、关于x的不等式|2x-1|<6的所有非负整数解的和为_7、若整数x，y，z满足不等式组，则x，y，z的大小关系是（ ）A、x<y<zB、y<z<xC、z<x<yD、不能确定8、若a，c，d是整数，b是正整数，且满足a+b=c，b+c=d，c+d=a，那么a+b+

20、c+d的最大值为（ ）A、-1B、-5C、0D、19、若a，b，c，d为乘积是1的四个正数，则代数式的最小值是（ ）A、0B、4C、8D、1010、设实数x满足，求2|x-1|+|x+4|的最小值11、求证：（x为实数）12、已知，对于满足条件0x1的一切实数x，不等式a(1-x)(1-x-ax)-bx(b-x-bx)0恒成立，当乘积ab取最小值时，求a，b的值13、设x，y为实数，若，求k的取值范围14、解关于x的不等式组15、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点，试在二次函数的图像上找出满足y|x|的所有整点（x，y），并说明理由16、已知0<a<1，0<b&

21、lt;1，0<c<1，求证：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不可能同时大于数学竞赛辅导讲座五函数1、在平面直角坐标系中有点A（-2，2）、B（3，2），C是坐标轴上的一点，若ABC是直角三角形，则符合条件的点C有（ ）个A、1B、2C、4D、62、已知一次函数y=kx+b，kb<0，则这样的一次函数的图象必经过的公共象限有_个，即第_象限3、若反比例函数y=的图像与一次函数y=ax+b的图像交于点A（-2，m）、B（5，n），则3a+b=_4、已知二次函数的图像与x轴的两个不同交点到原点的距离之和不超过5，则a的取值范围是_5、已知点A、B分别在一次函数y=x，y=8

22、x的图像上，其横坐标分别为a，b（a>0，b>0），若直线AB为一次函数y=kx+m的图像，则当是整数时，满足条件的整数k的值共有（ ）A、1个B、2个C、3个D、4个6、一次函数与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作正方形ABCD，在第二象限内有一点P（a，），满足SABP=S正方形ABCD，则a=_7、已知（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（ ）A、-3B、3C、-D、-8、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数的图像与x轴有两个不同交点的概率是（ ）A、B、C

23、、D、9、过点P（-1，3）作直线，使它与坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以做（ ）A、4条B、3条C、2条D、1条10、若关于x的函数的图像与坐标轴有两个交点，则a的值为_11、二次函数的图像经过（-1，2）且与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2（-2<x1<-1，0<x2<1），给出下列结论：abc>0，4a-2b+c<0，2a-b<0，b2+8a>4ac，其中正确的有（ ）个A、1B、2C、3D、412、过原点的直线与反比例函数y=- 的图像交于A，C，自点A，C分别作x轴的垂线，垂足分别为B，D，则四边形ABCD的面积等于_13、

24、设抛物线与x轴有两个不同的交点（x1，0）、（x2，0），则下列结论中一定成立的是（ ）A、B、C、D、14、一次函数y=kx+b的图像过点P（1，4），且分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B，O为坐标原点，ABC的面积最小时，k，b的值分别是（ ）A、-4，8B、-4，4C、-2，4D、-2，-215、已知函数（a，c为实数），若-4f(1)-1，-1f(2)2，则f(8)的最大值是_16、如果函数y=b的图像与函数的图像恰有三个交点，则b的可能值为_17、若函数的最大值关于t的表达式ymax=_18、已知abc<0，则在图中的四个选项中，表示的图像可能是（ ）OxyOxyOxyOxy

25、A B C DxyC1C2OPBADE19、如图，两个反比例函数和（k1>k2>0）在第一象限内的图像依次是曲线C1和C2，设点P在C1上，PEx轴于点E，交C2与点A，PDy轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（ ）A、k1+k2B、k1-k2C、k1k2D、20、在平面直角坐标系中，已知点（1，1）在坐标轴上找一点P，使AOP为等腰三角形，求P点坐标21、设抛物线的图像与x轴只有一个交点（1）求a的值；（2）求22、已知直线y=b（b为实数）与函数的图像至少有三个公共点，则实数b的取值范围23、已知一次函数y=Ax+B与反比例函数y=的图像交于点M（2，3），N（-

26、4，m）（1）求一次函数y=Ax+B与反比例函数y=的解析式；（2）求OMN的面积24、已知二次函数的图像与x轴交于点A，B，它的顶点在以AB为直径的圆上（1）证明：A，B是x轴上两个不同的交点；（2）求二次函数的解析式；（3）设以AB为直径的圆与y轴交于点C，D，求弦CD的长25、求满足下列条件的正整数n的所有可能值：对这样的n，能找到实数a，b，使得函数对任意整数x，f(x)都是整数26、如图，已知点M（0，1），N（0，-1），P是抛物线上的一个动点（1）判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1的位置关系；NxyOMQP（2）设直线PM与抛物线的另一个交点为Q，连结NP，NQ，求证

27、：PNM=QNM27、已知二次函数的图像与x轴的交点分别为A，B，与y轴的交点为C，设ABC的外接圆的圆心为P（1）证明P与y轴的另一个交点为定点；（2）如果AB恰好为P的直径且SABC=2，求b和c的值28、已知抛物线上有一点M（x0，y0）位于x轴的下方（1）求证：已知抛物线与x轴必有两个交点A（x1，0），B（x2，0），其中x1<x2；（2）求证x1<x0<x2；（3）若点M为（1，-2）时，求整数x1，x2的值数学竞赛辅导讲座六三角形1、设ABC的三边分别为a，b，c且，则ABC一定是（ ）A、直角三角形B、等边三角形C、等腰三角形D、钝角三角形2、ABC的边a，b

28、，c满足条件，则b边所对的B的大小是（ ）A、锐角B、直角C、钝角D、锐角、直角、钝角都有可能3、在锐角ABC中，三个内角的读数都是质数，且最短边的长是1，则满足条件的互不全等的三角形的个数为（ ）A、1B、2C、3D、多于34、7条长度均为整数的线段，满足，且这7条线段中的任意三条都不能构成三角形，若a1=1，a7=21，则a6=（ ）A、18B、13C、8D、55、是一个正九边形，则等于（ ）A、B、C、(a+b)D、a+b6、在RtABC中，C=90°，BC<AC，且，则A=（ ）A、15°B、18°C、20°D、25°7、如图，B

29、是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线l上取一点P，使得APB=30°，则这样的点P有（ ）A、3个B、2个C、1个D、不存在8、在ABC中，AB=AC=2，BC边上有100个不同的点，记，则=（ ）A、100B、200C、300D、4009、如图，在线段AE同侧作两个等边ABC，CDE（ACE<120°），P，M分别是线段BE和AD的中点，则PCM是（ ）A、钝角三角形B、直角三角形C、等边三角形D、非等腰三角形10、在ABC中，C=3A，a=27，c=48，则b等于（ ）A、33B、35C、37D、不确定11、在ABC中，AB=5，A

30、C=12，BC=13，D，E在边BC上，满足BD=1，CE=8，则DAE的度数为_12、在RtABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在CA、CB上，满足DFE=90°，若AD=3，BE=4，则线段DE的长度为_13、如图，在正ABC中，D、E分别在BC，CA上，使CD=AE，AD与BE交于点P，BQAD于点Q，则=_14、设P是边长为12的正ABC内一点，过P分别作三条边BC、CA、AB的垂线，垂足为别为D、E、F，已知PD:PE:PF=1:2:3，那么四边形BDPF的面积是_15、如图，已知BAD=DAC=9°，ADAE，且AB+AC=BE，则B=_16、如图，在三角形

31、ABC中，BAC=45°，ADBC于点D，若BD=3，CD=2，则SABC=_17、在ABC中，AB=7，AC=11，M是BC边的中点，AD是BAC的平分线，MFAD，则FC的长是_18、在ABC中，CAB=70°，CAB和ACB的平分线交于点I，若AC+AI=BC，则ACB=_°19、在钝角ABC中，A<B<C，A、C的外角平分线交对边延长线与D、E，且AD=AC=CE，则BAC的大小是_20、在底角等于80°的等腰ABC的两腰AB，AC上分别取点D、E使得BDC=50°，BEC=40°，则ADE=_21、已知在ABC中

32、，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF22、如图，以ABC的AB、AC为斜边想形外作直角三角形ABD和ACE且使1=2，M是BC的中点，求证：BD=ME23、已知在ABC中，A>90°，ADBC，求证AC+AB<AD+BC24、在等腰三角形ABC一腰AB上取一点D，在另一腰AC的延长线上去CE=BD，连DE，求证：DE>BC25、锐角ABC中，BC<AB，AH是BC边上的高，BM是AC边上的高，AH=BM，求证：MBC=30°26、如图，ABC是边长为1的等边三角形，BDC是顶角BDC=120&#

33、176;的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN，形成一个三角形，求证：AMN的周长等于227、如图，ABC中，ACB=90°，D为AB上一点，作DEBC于E，若BE=AC，BD=0.5，DE+BC=1，求证：ABC=30°28、如图，ABD=ACD=60°，ADB=90BDC，求证：ABC是等腰三角形29、如图，在ABC中，已知A=90°，AB=AC，D为AC中点，AEBD，延长AE交BC于F，求证：ADB=CDF30、如果P是等边三角形ABC内一点，PA=2，PB=2，PC=4，求正ABC的边长

34、31、如图，已知D、E、F分别是锐角ABC的三边BC、CA、AB上的点，且AD、BE、CF相交于点P，AP=BP=CP=6，设PD=x，PE=y，PF=z，若xy+yz+zx=28，求xyz的大小数学竞赛辅导讲座七四边形1、在菱形ABCD中，ABC=60°，AB=1，E为BC中点，对角线BD上的动点P到E、C两点距离之和的最小值为（ ）A、B、C、D、2、如图，在凸四边形ABCD中，E、F分别是AB、DC的中点，AF、DE交于点G，BF、CE交于点H，四边形EGFH的面积为10，则ADG与BCH的面积和为（ ）A、B、10C、15D、203、矩形ABCD的边长AB=4，BC=8，将矩

35、形折叠使点C与点A重合，则折痕EF的长为（ ）A、3B、2C、D、4、如图，在梯形ABCD中，D=90°，M是AB中点，若CM=6.5，BC+DC+DA=17，则梯形ABCD的面积为（ ）A、20B、30C、40D、505、在菱形ABCD中，ABC=120°，F是DC的中点，AF的延长线交BC于点E，则直线BF与直线DE所夹的锐角的度数为（ ）A、30°B、40°C、50°D、60°6、如图，点A在平行四边形的对角线上，试判断S1，S2之间的大小关系（ ）A、S1=S2B、S1>S2C、S1<S2D、无法确定7、如图，已知

36、直线l1l2l3l4，相邻两条平行线间的距离都等于h，若正方形的四个顶点分别在四条直线上，则它的面积等于（ ）A、4h2B、5h2C、4h2D、5h28、如图，已知A=B，AA1、PP1、BB1均垂直于A1B1，AA1=17，PP1=16，BB1=20，A1B1=12，则AP+PB=（ ）A、12B、13C、14D、159在菱形ABCD中，AEBC于点E，若cosB=，EC=2，P是AB上的一个动点，则线段PE长度的最小值是_10、在四边形ABCD（如图）中，A=BCD=90°，BC=CD，E是AD延长线上一点，若DE=AB=3，CE=4，则AD的长是_11、在梯形ABCD中，ABC

37、D，其底角DAB=36°，CBA=54°，M、N分别为边AB、CD的中点，若这个梯形的下底AB比其上底CD长2008，则线段MN=_12、用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面，设正多边形的变数分别为x、y、z，则=_13、如图，在梯形ABCD中，ABDC，AB=AC，DA=DB，ADB=90°，则ACD的度数等于_14、矩形ABCD内一点P到A、B、C、D的长分别为3，4，5，则PD的长为_15、如图，ABC中，BAC=120°，以AB、AC为边分别向形外做正三角形ABD和正三角形ACE，M为AD的中点，N为AE的中点，P

38、为BC的中点，则MPN=_°16、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于F，M、N分别是AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于P、Q，且FPQ=FQP，BD=10，则AC=_17、如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点（可与点B或点C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B、C、D，求BB+CC+DD的最大值和最小值18、如图，正方形ABCD被与两条边平行的线段EF、GH分割成四个小矩形，P是EF和GH的交点，若矩形PFCH的面积恰好是举行AGPE面积的2倍，试确定HAF的大小，并证明你的结论19、（1）如图(a)，已知四边形ABCD中，AB=

39、AD，BAD=60°，BCD=120°，证明：BD+DC=AC；（2）如图(b)，四边形ABCD中，AB=BC，ABC=60°，P为四边形ABCD内一点，且APD=120°，证明：PA+PC+PDBD （a） （b）20、在等腰梯形ABCD中，ABCD，ABC=60°，AC平分DAB，E、F分别是对角线AC、BD的中点，且EF=a，求梯形面积21、分别以ABC的边AC和BC为一边，在ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到边AB的距离是AB的一半22、如图，等腰梯形ABCD中，CDAB，对角线AC、BD相交于点O，AC

40、D=60°，点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点，（1）求证：PQS是正三角形；（2）若AB=5，CD=3，求PQS的面积；（3）若PQS的面积与AOD面积的比是7：8，求梯形上下两底的比CD：AB23、正方形ABCD的边长为1，点F在线段CD上运动，AE平分BAF交边BC于点E，（1）求证：AF=DF+BE；（2）设DF=x（0x1），ADF和ABE的面积的和S是否存在最大值？若存在，求此时x的值及S；若不存在，请说明理由24、在凹四边形ABCD中，它的三个内角A、B、C均为45°，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，证明：四边形EFGH是正方形25、

41、如图，在梯形ABCD中，ADBC，ACBD，AC=5，DBC=30°，（1）求对角线BD的长度；（2）求梯形ABCD的面积数学竞赛辅导讲座八相似形1、在正三角形ABC的边BC、AC上分别有点E、F，且满足BE=CF=a，EC=FA=b（a>b），当BF平分AE时，则的值为（ ）A、B、C、D、2、设AD、BE、CF为ABC的三条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则线段BE的长为（ ）A、B、4C、D、3、O是ABC的外心，ODBC，OEAC，OFAB，则OD：OE：OF=（ ）A、a：b：c B、：C、CosA：CosB：CosC D、SinA：SinB：SinC4、如图，A

42、BC是边长为6cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分面积为（ ）A、4B、2C、3D、45、在等腰直角三角形ABC的斜边AB上取两点M、N，使MCN=45°，记AM=m，MN=x，BN=n，则以x、m、n为边长的三角形形状是（ ）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、随x、m、n的变化而变化6、ABC中，D、F分别在AC、BC上，且ABAC，AFBC，BD=DC=FC=1，则AC=（ ）A、B、C、D、7、RtABC中，C=Rt，CD是斜边AB上的高，在BC和CA上分别取点E和F，使EFD和ABC相似，这样的FED有（ ）个A、1B、2C

43、、3D、多于38、设锐角ABC的三条高AD、BE、CF相交于H，若BC=a，AC=b，AB=c，则AH·AC+BH·BE+CH·CF的值是（ ）A、B、C、D、9、设D是ABC的边AB上的一点，作DEBC交AC于点E，作DFAC交BC于点F，已知ADE，DBF的面积为m和n，则四边形DECF的面积为_10、如图，ABCD的对角线相交于O，在AB的延长线上任取一点E，连结OE，交BC于F，若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=_11、已知ABC为锐角三角形，其最大边AC上有一点P（P与A、C不重合），过P作直线l，使l截ABC所得的三角形与原三角形相似，则这样的直

44、线可以作_条12、正方形ABCD边长为1，M、N为BD所在直线上两点，且AM=，MAN=135°，则四边形AMCN的面积为_13、如图，已知ABC的面积为1，D为BC的中点，E、F分别在AC、AB上，且SBDF=，SCDE=，则SDEF=_14、ABC中，C=90°，D、E分别为BC上的两点，且ABC=ADC=AEC，若BD=11，DE=5，则AC=_15、如图，已知边长为的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形，其中a、b、c是整数，且b不能被任何质数的平方整除，则=_16、如图，ABC中，AB=2，AC=，A=BCD=45°，则BC的长为_，BDC的面积为_1

45、7、设CD是RtABC斜边AB上的高，I1、I2分别是ADC、BDC的内心，AC=3，BC=4，求I1I218、如图，在ABC，D、E分别是AC、BC的中点，BF=AB，BD与FC相交于G，（1）求证：EGAC；（2）求的比值19、已知线段AB，只用圆规把线段AB二等分20、分别以锐角ABC的三边为边向外作正ABC、正BCE、正CAF，三个正三角形的中心分别为O1、O2、O3，求证：O1O2O3是正三角形21、如图，在ABCD中，P1、P2、Pn-1分别是BD的n等分点，连结AP2并延长交BC于点E，连结APn-2并延长交CD于点F，（1）求证：EFBD；（2）若ABCD的面积为S，且SAEF

46、=S，求n的值22、是否存在一个边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角是另一个内角的2倍的ABC？证明你的结论23、如图，在直角梯形ABCD，ABC=BAD=90°，AB=16，对角线AC与BD交于点E，过E作EFAB于点F，O为AB中点，且EF+EO=8，求AD+BC的值24、已知点D在ABC的边BC上，且与B、C不重合，过D作AC的平行线DE交AB于E，作AB的平行线DF交AC于点F，又已知BC=5，设ABC的面积为S，若四边形AEDF的面积为S，求BD的长；若AC=AB，且DF经过ABC的重心G，求EF两点间的距离25、如图，O是四边形ABCD对角线交点，已知BAD+BCA=180°，AB=5，AC=4，AD=3，=，求BC数学竞赛辅导讲座九圆1、如图，已知P是边长为a的正方形ABCD内一点，PBC是等边三角形，则PAD的外接圆半径是（ ）A、aB、aC、aD、a2、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则SinCBE=（ ）A、B、C、D、3、如图，圆心在原点，半径为2的圆内有一点P（，），过P点作弦AB与劣弧组成一个弓形，则该弓形面积的最小值为（ ）A、-1B、-2C、-1D、-4、如图，在平