信道编码 习题解答

1、第五章 信道编码 习题解答1写出与10011的汉明距离为3的所有码字。解：共有10个：01111，00101，00000，01010，01001，00110，11101，10100，11000，11110。2 已知码字集合的最小码距为，问利用该组码字可以纠正几个错误？可以发现几个错误？请写出一般关系式。解：根据公式： 可发现e个错。 可纠正t个错。得出规律：（1） ，则不能发现错及纠错。（2）为奇数：可纠个码元错或发现个码元错。（3）为偶数：可纠个码元错，或最多发现个码元错。（4）码距越大，纠、检错能力越强。3试计算（8，7）奇偶校验码漏检概率和编码效率。已知码元错误概率为。解：由于较小，可只

2、计算错两个码元（忽略错4或6个码元）的情况：4已知信道的误码率，若采用“五三”定比码，问这时系统的等效（实际）误码率为多少？解：由于较小，可只计算错两个码元的情况5求000000，110110，011101，101011四个汉明码字的汉明距离，并据此求出校正错误用的校验表。解：先求出码字间距离：000000 110110 011101 101011000000 4 4 4110110 4 4 4011101 4 4 4101011 4 4 4汉明距离为4，可纠一位错。由于一个码字共有6个码元，根据公式： 得 即每个码字应有3位监督码元，6-3=3位信息码元。直观地写出各码字：令为监督码元，观察

3、规律则可写出监督方程：从而写出校验子方程：列出校验表：校验子 okx1*x2*x3*x4*x5*x6*s10101100s20011010s301100016写出信息位，且能纠正1个错的汉明码。解：汉明码的信息码元为六个，即：。监督码元数r应符合下式：取满足上式的最小r：，即为(10，6)汉明码。其码字由10个码元构成：。先设计校验表(不是唯一的)：校验子 okx1*x2*x3*x4*x5*x6*x7*x8*x9*x10*s101110001000s201001100100s300101010010s400010110001根据校验表写出校验子方程：写出监督方程，即监督码元与信息码元之间的关系

4、：根据监督方程编码，写出（10，6）汉明码码字(大部分略，同学们可自行完成)：码字号信息码元监督码元10 0 0 0 0 00 0 0 020 0 0 0 0 10 0 1 130 0 0 0 1 00 1 0 140 0 0 0 1 10 1 1 050 0 0 1 0 00 1 1 060 0 0 1 0 10 1 0 1 ： ： ： ：631 1 1 1 1 01 1 0 0641 1 1 1 1 11 1 1 17. 已知纠正一位错的（7，4）汉明码的生成矩阵为：1）请写出其监督矩阵；2）请写出其校验表；3）对信源序列1110，1010，0110，.进行编码；4）对接收端接收到的码字序

5、列0011101，1100100，1011001，进行译码。解：1）监督矩阵：右边33是单位阵，左边34子阵是生成矩阵右边43子阵的转置：2）校验表：每个校验子列向量对应为监督矩阵的列向量，增加一个无差错列向量000。校验子 okx1*x2*x3*x4*x5*x6*x7*s101101100s201011010s3001110013）根据编码：或者用由监督矩阵得到的监督方程编码： 编码得：1110000，1010101，0110110， 4）根据校验子方程（校验子方程是监督方程左右两边异或）：0011101 S=001T x7*错 0011100 00111100100 S=111T x4*错

6、 1101100 11011011001 S=011T x3*错 1001001 1001译码得：0011，1101，1001，8. （7，4）循环码的生成多项式为：1）写出其监督矩阵和生成矩阵；2）对信息码元0110，1001进行编码，分别写出它们的系统码和非系统码； 3）对接收端接收到的系统码字0101111，0011100进行译码。 解：1）生成矩阵：生成多项式系数降幂排列：1101，补零成n位的行向量：1101000，循环移位成k行的矩阵： 监督矩阵：校验多项式系数升幂排列：10111，补零成n位的行向量：1011100，循环移位成r 行的矩阵：2）根据编码：得非系统码字：010111

7、0，1100101 根据多项式除法（长除法见第9题解答）编码得系统码字：0110100，1001011，具体方法如下：0110 m(x) = x2+x xrm(x) = x5+x4 0110100 1001 m(x) = x3+1 xrm(x) = x6+x3 10010113）生成多项式为g(x) = x3+x2+1的（7,4）循环码校验表（获取方法见第9题解答）校验子无错C0*C1*C2*C3*C4*C5*C6*s200011101s100100111s0010011100101111写成多项式，除以生成多项式得余式1， S=001T ，查表知C0*错，即0101111 0101110，去

8、尾部3位监督码元，得信息码元0101 。0011100写成多项式，除以生成多项式得余式x2+x ， S=110T ，查表知C6*错，即0011100 1011100，去尾部3位监督码元，得信息码元1011。9. 已知（7，4）循环码的生成多项式为： 当收到一循环码字为0010011时，根据校验子判断有无错误？哪一位错了？解：对信息码元0001用多项式除法编码得循环码字：0001101。将0001101错成0001100，除以生成多项式得余式1，s2s1s0=001表示C0*错。将0001101错成0001111，除以生成多项式得余式x，s2s1s0=010表示C1*错。将0001101错成00

9、01001，除以生成多项式得余式x2，s2s1s0=100表示C2*错。将0001101错成1001101，除以生成多项式得余式x2+x，s2s1s0=110表示C6*错。写出校验表：校验子无错C0*C1*C2*C3*C4*C5*C6*s200011101s100100111s001001110当收到一循环码字0010011时其对应的多项式为: 。列竖式做多项式除法（以下左式）： 得余式为，s2s1s0=100，表示C2*错，即右起第三位错，正确的码字应为0010111，其对应的多项式为：。将此多项式进行验证（上式右式），余式为0，可见正确。10. 已知（3，1，3）卷积码的监督方程为：或者：已知（3，1，3）卷积码的基本监督矩阵：对信源序列010110进行编码。解：对于（3，1，3）卷积码，若输入信息码元： mi-2 , mi-1, mi, ，则编码后码字：mi-2, pa,i-2, pb,i-2, mi-1, pa,i-1, pb,i-1, mi, pa,i, pb,i, 根据监督方程编码得：000，111，010，110，101，011，（默认初始化状态为0）11. 已知（4，3，3）卷积码的基本监督