北师大数学九上1花边有多宽教案2课时

1、2.1花边有多宽 方程是刻画现实世界的一个有效数学模型，随着数学应用的日趋广泛，方程的工具作用显得愈发重要.一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要的地位 本节“花边有多宽”是一元二次方程的基础，是通过丰富的实例，让学生建立一元二次方程，并通过观察归纳出一元二次方程的概念，进而通过夹逼思想估算方程的解 本节的重、难点是一元二次方程的概念及其近似解2.1花边有多宽(一)教学目标 (一)教学知识点 1一元二次方程的概念 2一元二次方程的有关概念 (二)能力训练要求 1经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型 2理解一元二次方程的概念

2、 (三)情感与价值观要求 从生活实际中抽象出数学问题，让学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识教学重点 一元二次方程的概念a0教学难点 一元二次方程的概念:a0教学方法 启发诱导式教具准备 投影片四张 第一张：花边有多宽(记作投影片§211 A) 第二张：数学问题(记作投影片§211 B) 第三张：实际问题(记作投影片§211 C) 第四张：想一想(记作投影片§211 D)教学过程 创设现实情景、引入新课 师前面我们学过黄金分割，知道黄金比是多少吗? 生黄金比是0.618 师很好，你知道黄金比为什么是0618吗? 师好，经

3、济时代的今天，你能根据商品的销售利润作出一定的决策吗?你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗? 从今天开始，我们来学习能解决这些问题的知识：第二章：一元二次方程 与一次方程和分式方程一样，一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型 下面我们来学习第一节：花边有多宽 讲授新课 师我们来看一个实际问题 (出示投影片§211 A)；大家来讨论讨论一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5 m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽?生我们可以利用列方程来求解 师很好，那如何列方程来求解实际问题呢?想一想，前面我们学习的列一元一次方程的思路和方法 生要从题

4、中，找出已知量、未知量及问题中所涉及的等量关系 这个题已知：这块地毯的长为8 m，宽为5 m，它中央长方形图案的面积为18m2 这个题所要求的是；地毯的花边有多宽 本题是以面积为等量关系 师这位同学分析得很好，下面我们共同来利用这些数量关系列出方程 师生共析如果设花边的宽为x m，那么地毯中央长方形图案的长为(8-2x)m，宽为(5-2x)m，根据题意，可得方程 (8-2x)(5-2x)18 注意： 1利用列方程解实际问题时，关键是要找到等量关系，如本题中的面积等于长乘以宽 2用一个含有未知数的代数式表示一个量，并且这个量有单位时，需要把这个代数式用括号括起来，如本题中的地毯中央长方形图案的长

5、、宽等 师好，下面我们来看一个数学问题(出示投影片§ 211 B)：观察下面等式102+112+122132+142你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗? 生这个题我们也可以利用数量关系列方程 师很好，如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面的四个数该如何表示呢? 生甲因为任何两个连续整数的差为1.所以，如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为x+1，x+2，x+3，x+4 生乙根据题意，则可得到方程 x2+(x+1)2+(x+2)2 =(x+3)2+(x+4)2 生丙老师，我觉得这个题也可以设中间的那个数为x，那么其余四个

6、数依次为x-2，x-1，x+1，x+2，由此也可得方程 (x-2)2+(x-1)2+x2 (x+1)2+(x+2)2 这样行吗? 师丙同学的思路很好， 这个问题可以有不同的设未知数的方法，同学们可灵活设未知数，即可设这五个数中的任意一个，其他四个数可随之变化 下面我们来看一个实际问题(出示投影片§211 C)：如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米? 师同学们分组讨论，列出方程 生甲墙与地面是垂直的，因而墙、地面和梯子构成了直角三角形已知梯子的长为10 m，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，所以

7、由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙有6 m 生乙设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙(6+x)m，根据题意，利用勾股定理，可得方程 (x+6)2+(8-1)2102， 即(x+6)2+72102 师同学们讨论得很完整，接下来想一想，议一议(出示投影片§ 211 D)：由上面三个问题，我们可以得到三个方程：(8-2x)(5-2x)18，x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2，(x+6)2+72102 这三个方程有什么共同特点? 生甲这三个方程的每个方程的左、右两边都是整式 生乙我把这三个方程进行了化简，即 (1)(8-2x)(5-2x)18， 40-26x+

8、4x218， 4x2-26x+220 (2)x2+(x+1)2+(x+2)2 (x+3)2+(x+4)2， x2+x2+2x+1+x2+4x+4 =x2+6x+9+x2+8x+16， x2-8x-200 (3)(x+6)2+72=102， x2+12x+36+49=100， x2+12x-15=0 由此可以知道：这三个方程可以化简为三项的和 生丙把这三个方程经过化简后，最高次数是二次 生丁这三个方程的每一个方程中只含有一个未知数 师同学们总结得很好上面的三个方程都是只含有一个未知数x的整式方程,等号两边都是关于未知数的整式的方程，称为整式方程，如：我们学习过的一元一次方程，二元一次方程等都是整

9、式方程这三个方程还都可以化为ax2+bx+c0(a、b、c为常数，a0)的形式，这样的方程我们叫做一元二次方程(quadratic equatton with one unknown)，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 注意： 1一元二次方程必须同时满足以下三点； (1)方程是整式方程 (2)它只含有一个未知数 (3)未知数的最高次数是2，即化简为ax2+bx+c=0时，a0 2任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0(a0)的形式,其中a0是定义的一部分，不可漏掉，否则就不是一元二次方程了 因为任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax

10、2+bx+c=0a0的形式，所以我们把ax2+bx+cO(a、b、c为常数，a0)称为一元二次方程的一般形式,其中ax2、bx、c分别称为二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数 注意： (1)当a0，b0时，方程就是一元一次方程，当一个方程是一元二次方程时，则隐含K了条件：a0. (2)要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式 应用、深化 课本P43随堂练习 1从前有一天，二个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了你知道竹竿有

11、多长吗? 请根据这一问题列出方程 解：设竹竿长为x尺，则门框宽为(x-4)尺，门框高为(x-2)尺，根据题意，得x2(x-4)2+(x-2)2， 即x2-12x+20=0 2把方程(3x+2)24(x-3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：方程(3x+2)24(x-3)2的一般形式是5x2+36x-320 方程的二次项系数是5，一次项系数是36，常数项是-32 课时小结 本节课我们由讨论“花边有多宽”得出一元二次方程的概念 1一元二次方程属于“整式方程”，其次，它只含有一个未知数，并且都可以化为 ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a0)的形式

12、2一元二次方程的一般形式为ax2+bx+cO(a0)，一元二次方程的项及系数都是根据它的一般形式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的 3在实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性 .课后作业 (一)课本P44习题21 1、2 (二)1预习内容：P44-P46 2预习提纲 探索一元二次方程的解或近似解， 活动与探究 1当d、b、c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c0是一元二次方程?这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?当a、b、c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c0是一元一次方程? 过程让学生通过讨论、总结，知

13、道：对于方程ax2+bx+c0，当a0时是一元二次方程；当a0且b0时，方程为bx+c=0，是一元一次方程 结果 当a1时，方程(a-1)x2-bx+c0是一元二次方程，这时，方程的二次项系数是a-1，一次项系数是-b 当a=1且b0时，方程是一元一次方程板书设计2.1花边有多宽(一)一、1设花边的宽为x m，那么地毯中央长方形图案的长为(8-2x)m，宽为(5-2x)m根据题意，可得(8-2x)(5-2x)182设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为x+1、x+2、x+3、x+4根据题意，可得x2+(x+1)2+(x+2)2(x+3)2+(x+4)23设梯子底端滑动x m

14、，那么滑动后梯子底端距墙(x+6)m根据题意，可得(x+6)2+72102二、议一议三个方程的共同特点：(1)只含有一个未知数(2)整式方程(3)可化为ax2+bx+c0三、1一元二次方程的定义2一元二次方程的一般形式；ax2+bx+c0(a0)ax2是二次项，a是系数bx是一次项，b是系数c是常数项四、练习五、小结六、课后作业2.1花边有多宽(二) 教学目标 (一)教学知识点 1探索一元二次方程的解或近似解 2培养学生的估算意识和能力 (二)能力训练要求 1经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力 (三)情感与价值观要求 通过师生的共同活动，激发学生探求知识的欲望，从而加

15、强学生估算意识和能力的培养教学重点 探索一元二次方程的解或近似解教学难点 培养学生的估算意识和能力教学方法 分组讨论法教具准备 投影片五张 第一张：花边有多宽(记作投影片§212 A) 第二张：议一议(记作投影片§212 B) 第三张：上节课的问题(记作投影片§ 212 C) 第四张：做一做(记作投影片§ 212 D) 第五张：小亮的求解过程(记作投影片 §212 E) 教学过程 I创设现实情景，引入新课 师前面我们通过实例建立了一元二次方程，并通过观察归纳出一元二次方程的有关概念，大家来回忆一下 生甲把只含有一个未知数并且都可以化为ax2+b

16、x+c0(a、b、c为常数，a0)的整式方程叫做一元二次方程 生乙一元二次方程的一般形式是ax2+bx+cO(a、b、c为常数，a0). 其中ax2称为二次项，bx称为一次项，c为常数项；a和b分别称为二次项系数和一次项系数 师很好，现在我们来看上节课的问题：花边有多宽(出示投影片§ 212 A)一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如下图所示，它的长为8 m，宽为5 m，如果地毯中央长方形图案的面积为18 m2，那么花边有多宽? 师生共析我们设花边的宽度为x，m，那么地毯中央长方形图案的长为(8-2x)m，宽为(5-2x)m根据题意，就得到方程 (8-2x)(5-2x)18 师大家想一

17、下：能求出这个方程中的未知数x吗? 师这节课我们继续来探讨“花边有多宽” 讲授新课 师要求地毯的花边有多宽，由前面我们知道：地毯花边的宽x(m)满足方程 (8-2x)(5-2x)18 可以把它化为2x2-13x+11=0 由此可知：只要求出2x2-13x+110的解，那么地毯花边的宽度即可求出 如何求呢? 生可以选取一些值代入方程，看能否有使得方程左、右两边的值都相等的数值如果有，则可求出花边的宽度 师噢，那如何选取数值呢?大家来分组讨论讨论(出示投影片§212 B)1x可能小于0吗?说说你的理由2x可能大于4吗?可能大于25吗?说说你的理由，并与同伴进行交流3x的值应选在什么范围之

18、内?4完成下表：x00.511.522.52x2-13x+115你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗? 还有其他求解方法吗?与同伴进行交流 生甲因为x表示地毯的宽度，所以不可能取小于0的数 生乙x既不可能大于4，也不可能大于25因为如果x大于4，那么地毯的长度8-2x就小于0，如果x大于25时，那么地毯的宽度同样是小于0 生丙x的值应选在0和25之间 生丁表中的值为： 当x0时，2x2-13x+1111(依次类推)，即x00.511.522.52x2-13x+11114.750-4-7-9 生戊由上面的讨论可以知道：当x=1时，2x2-13x+110，正好与右边的值相等所以由此可知：x1是方程2

19、x2-13x+11=0的解，从而得知；地毯花边的宽为1 m 生己我没有把原方程化为一般形式，而是把18分解为6× 8然后凑数：8-2x6，5-2x3，两个一元一次方程的解正好为同解，x1 这样，地毯花边的宽度就可以求出来，即它为1 m 师同学们讨论得真棒，接下来大家来看上节课的另一实际问题，(出示投影片§ 212 C)如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米? 师上节课我们通过设未知数得到满足条件的方程，即梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x+6)2+72=102 把这个方程化为一般形式

20、为 x2+12x-150 那么你知道梯子底端滑动的距离是多少吗?即你能求出x吗?同学们来做一做(出示投影片§ 212 D)1小明认为底端也滑动了1 m，他的说法正确吗?为什么?2底端滑动的距离可能是2 m吗?可能是3 m吗?为什么?3你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?4x的整数部分是几?十分位是几?生甲小明认为底端也滑动了1 m，他的说法不正确因为当x1时，x2+12x-15-20，即x1不满足方程，所以他的说法不正确 生乙底端滑动的距离既不可能是2 m，也不可能是3 m因为当x2时，x2+12x-15=130，当x=3时，x2+12x-15=300，即x2，x3都不满足方程，所

21、以都不可能 生丙因为梯子滑动的距离是正值，所以我选取了一些值，列表如下：x01234x2+12x-15-15-2133049 由表中可知，当x1，x2时，x2+12x-15的值分别为-2，13，而0介于负数和正数之间，所以我猜测；的大致范围是在1和2之间 生丁由刚才的讨论可知：x的大致范围是在1和2之间，所以x的整数部分是1我在1和2之间取了一些值，如下表：x1.7x2+12x-15-0.590.842.293.765.256.768.29 由表中可知：x在11和12之间，所以x的十分位是1 师同学们回答得很好，下面来看小亮的求解过程(出示投影片§

22、212 E) 小亮把他的求解过程整理如下：x00.511.52x2+12x-15-15-8.75-25.2513所以1<x<15进一步计算：x1.4x2+12x-15-0.590.842.293.76所以11<x<12因此J的整数部分是1，十分位是1你们的结果怎样呢?生齐声与他的一样 师很好，对于这两个问题的具体解决，我们是先根据实际问题确定了其解的大致范围，然后通过具体计算进行两边“夹逼”，逐步获得了问题的解或近似解 “夹逼”思想是数学中近似计算的重要思想，大家应了解 接下来，我们来解决上节课的第2个问题，以巩固本节课所学的知识 课堂练习 课本P46随堂练习 1五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你能求出这五个整数分别是多少吗? 解：设五个连续整数中的第一个数为x，则根据题意，可得方程 x2+(x+1)2+(x+2)2k.Com (x+3)2+(x+4)2 把它化为一般形式：x2-8x-200 可列表如下：x-