数值分析计算方法超级总结

1、工程硕士数值分析总复习题（2011年用）由教材中的习题、例题和历届考试题选编而成,供教师讲解和学生复习用一. 解答下列问题: 1）下列所取近似值有多少位有效数字( 注意根据什么? ):,取= 2.71828b) 数学家祖冲之取 作为的近似值.c) 经过四舍五入得出的近似值12345，-0.001, 90.55000, 它们的有效 数字位数分别为 位, 位, 位。2) 简述下名词: a) 截断误差 (不超过60字) b) 舍入误差 (不超过60字)c) 算法数值稳定性 (不超过60字)3) 试推导( 按定义或利用近似公式 ): 计算时的相对误差约等于的相对误差的3倍。 4) 计算球体积 时,为使

2、其相对误差不超过 0.3% ,求半径的相对 误差的允许范围。5） 计算下式 时,为了减少乘除法次数, 通常采用什么算法? 将算式加工成什么形式? 6) 递推公式 如果取 ( 三位有效数字 ) 作近似计算， 问计算到时误差为初始误差的多少倍？ 这个计算过程数值稳定吗 ？ 二. 插值问题:1) 设函数在五个互异节点 上对应的函数值为 ，根据定理，必存在唯一的次数 （A） 的插值多项式，满足插值条件 ( B ) . 对此，为了构造Lagrange插值多项式,由5个节点作 ( C ) 个、次数均为 ( D ) 次的插值基函数= _（E） ， 从而得Lagrange插值多项式= （F） ,而插值余项 =

3、 （G） 。2 ) 试用三种方法求过三个离散点：A（0，1） 、B（1，2） 、C（2，3） 的插值多项式。3） 求函数 在 0 , 1 上的近似一次插值多项式。4 ) 由函数值表: : 1 2 3 : 0.367879441 , 0.135335283 , 0.049787068 求的近似值.5) 利用插值方法推导 三. 拟合问题: 1) 对离散实验数据做最小二乘拟合的两个主要步骤是 ( A ) 和 ( B ) . 2) 对同一个量的多个近似值, 常取其算术平均作为该量的近似值, 这种做法的意义是什么? 3) 设有实验数据如下： 1.36 1.73 1.95 2.28 14.094 16.8

4、44 18.475 20.963 按最小二乘法求其拟合曲线。 4) 已知某试验过程中函数依赖于的试验数据如下： ： 4 ： 0.8 1.5 1.8 2.0 试按最小二乘法拟合出一个形如 的经验公式。5 ) 设有实验数据如下： 1 2 3 4 4 10 18 26 按最小二乘法拟合出一个形如 的经验公式 。 四. 数值求积: 1) 写出数值求积公式的一般形式, 指出其特点, 并说明它对计算机的计算有什么意义?2) 简述数值求积公式的 ”代数精度” 的概念 3) 插值型求积公式 中,每个系数可用公式= ( A ) 计算,它们之和 = ( B ) , 其代数精度 ( C ) .又Newton-Cot

5、es公式的一般形式为 ( D ) , 其主要特点是 ( E ) , 其Cotes系数之和 = ( F ) , 其代数精度 ( G ) ; 4) 考察数值求积公式 ,直接指出: 它是什么类型的公式? 为使其精度尽可能高,应取什么确值? 它是不是Gauss型公式? 5 ) 求的近似值, 试写出使用11个等分点函数值的求积公式( 要求只列出数值公式,不需要求出具体结果 )。6 ) 利用复化Simpson公式求积分 的近似值 （只需列出算式） 。 7) 利用现成函数表，分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算积分 五. 解线性代数方程组的直接法: 1） Gauss消去过程中引入选主元技巧的目的是

6、下列中的哪一项或哪几项？A提高计算速度； B提高计算精度； C简化计算公式； D提高计算公式的数值稳定性； E节省存储空间。 2） 采用“列主元Gauss消去法” 解下列方程组： a) 用 ”列主元Gauss消去过程” 将方程组约化成上三角方程组;b) 用 ”回代过程” 依次列式计算出方程组的解。 3) 设方程组 现采用“列主元Gauss消去法”求解，试回答： a） 所用列主元Gauss消去法包括哪两个过程？b） 要用几步消元？c） 每一步消元计算之前需做哪些工作（用简短、准确的文字叙述）?d） 现经第步消元结果, 上述方程组已被约化为请你继续做消元计算, 直至约化成上三角方程组。e）对所得上

7、三角方程组依次列式计算出方程组的解。 六. 解线性代数方程组的迭代法: 1) 解线性代数方程组 的基本型迭代公式 其中称为什么? 又称为什么? 如果迭代序列有极限（即迭代公式收敛），则极限是什么？2） 设解线性代数方程组（其中非奇异，）的迭代公式为 则其迭代矩阵是什么? 此迭代公式对任意的初始向量收敛的充分必要条件是什么？ 又此迭代公式对任意的初始向量收敛的一个充分条件是什么？ 3) 设线性方程组 ， 试构造解此方程组的Jacobi迭代公式和GS迭代公式； 试问所作的两种迭代公式是否收敛,为什么? 试用初值 计算GS迭代公式的前三个值. 4 ) 设方程组 试构造解此方程组的收敛的Jacobi迭

8、代公式和收敛的Guass-Seidel迭代公式, 并说明两者收敛的根据; 求出这两种迭代的迭代矩阵. 5) 设线性方程组 请按便于计算的收敛充分条件, 求使J法和GS法均收敛的 的取值范围.七一元方程求根: 1) 写出求方程 在 1，2 中的近似根的一个收敛的不动点迭代公式，并证明其收敛性。2) 已知方程 的有根区间 3，4 .试写出求该方程在 3 , 4 中的根的一个不动点迭代公式; 证明所给出的迭代公式是收敛的。试设计其计算机算法. 3) 用Newton迭代法求方程 在 附近的根,试写其Newton迭代公式; 并说明其收敛情况。4) 试写出求 的Newton迭代公式，并说明其收敛情况。八.

9、 常微分方程初值问题:1） 常微分方程定解问题分为初值问题和 ( A ) 问题.初值问题是指由 （B） 和 （C） 两部分联立起来构成的问题。研究常微分方程初值问题时， 通常针对基本形式 （D） 进行研究。设函数是某初值问题的解析解， 则该初值问题在处的解为 ( E ) 而数值解(通常记)为 （F） ,它们的关系是 ( G ) .若记是初值问题在点处的解， 是由某数值方法得出的处的数值解，则该数值方法在处的局部截断误差是指 （H） .2） 设初值问题 试用Euler方法取，求解上述初值问题的数值解。 3 ) 设初值问题 试用梯形方法求其解在两点 处的值的近似值。4） 设初值问题 试用改进的Eu

10、ler方法，并取，设计一个求解上述初值问题数值解的求解方案 （或称计算机算法描述; 不必求出解的具体数值） 。5 ) 设初值问题 试用4阶经典R-K方法，并取，设计一个求解上述初值问题数值解的求解方案 （或称计算机算法描述; 不必求出解的具体数值） 。九、下列各小题任选其中已学过的小题作练习： 1） 设, 求， , ； 设 ，求 ， ， , 。 2 ) 用较简捷的方法分别求下列的插值多项式和,并写出其余项公式:a) b) 3 ) 用插值方法求在处与相切 ,在处与相交的二次多项式 ,并推导插值余项的估计式为 4 ) 试用最小二乘法原理求下列超定方程组的近似解: 5 ) 要计算函数 在 = 0.2, 0.4, 0.6 三处的近似值，试用解初值问题的数值方法,设计其计算方案 （要求采用二阶精度的计算公式）. 6) 用追赶法解三对角方程组： 7) 对方程组拟用迭代法 求解, 试确定 的取值范围,使得上述迭代公式收敛.8) 对迭代函数，试求使迭代公式，局部收敛于的的取值范围。9) 试给出求 的Newton 迭代公式, 使得迭代公式没有开方和除法运算. 10) 由迭代公式， 产生的序列对任何初值均二阶收敛于什么？解释