直线与平面平行的判定和性质经典练习及详细答案

1、直线、平面平行的判定及其性质1. 下列命题中，正确命题的是 .若直线l上有无数个点不在平面内，则l;若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行；如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点.2. 下列条件中，不能判断两个平面平行的是 （填序号）.一个平面内的一条直线平行于另一个平面一个平面内的两条直线平行于另一个平面一个平面内有无数条直线平行于另一个平面一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 答案 3. 对于平面和共面的直线m、n，下列命题中假命题是 （填序号）.若m，mn，则n若m，n，则m

2、n若m，n，则mn若m、n与所成的角相等，则mn 答案 4. 已知直线a,b,平面，则以下三个命题：若ab,b,则a;若ab,a,则b;若a,b,则ab.其中真命题的个数是 . 答案 05. 直线a/平面M,直线bM,那么a/b是b/M的 条件.A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.不充分也不必要6. 能保证直线a与平面平行的条件是A. B.C. D.且7. 如果直线a平行于平面,则 A.平面内有且只有一直线与a平行 B.平面内无数条直线与a平行C.平面内不存在与a平行的直线 D.平面内的任意直线与直线a都平行8. 如果两直线ab,且a平面,则b与的位置关系 A.相交 B. C.

3、D.或9. 下列命题正确的个数是 10. （1）若直线l上有无数个点不在平面内,则l（2）若直线l与平面平行,则l与平面内的任意一直线平行（3）两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行（4）若一直线a和平面内一直线b平行,则aA.0个 B.1个 C.2个 D.3个11. b是平面外的一条直线，下列条件中可得出b是A.b与内的一条直线不相交 B.b与内的两条直线不相交C.b与内的无数条直线不相交 D.b与内的所有直线不相交12. 已知两条相交直线a、b，a平面，则b与的位置关系A.b B.b与相交 C.b D.b或b与相交13. 如图所示，已知S是正三角形ABC所在平面外

4、的一点，且SA=SB=SC，SG为SAB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.解 SG平面DEF，证明如下：方法一：三角形中位线 连接CG交DE于点H，如图所示.DE是ABC的中位线，DEAB.在ACG中，D是AC的中点，且DHAG.H为CG的中点.FH是SCG的中位线，FHSG.又SG平面DEF，FH平面DEF，SG平面DEF.方法二： 平面平行的性质EF为SBC的中位线，EFSB.EF平面SAB，SB平面SAB，EF平面SAB.同理可证，DF平面SAB，EFDF=F，平面SAB平面DEF，又SG平面SAB，SG平面DEF.14. 如图

5、所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点.求证：（1）BFHD1；（2）EG平面BB1D1D；（3）平面BDF平面B1D1H.证明 平行四边形的性质，平行线的传递性（1）如图所示，取BB1的中点M，易证四边形HMC1D1是平行四边形，HD1MC1.又MC1BF，BFHD1.（2）取BD的中点O，连接EO，D1O，则OE DC，又D1G DC，OE D1G，四边形OEGD1是平行四边形，GED1O.又D1O平面BB1D1D，EG平面BB1D1D.（3）由（1）知D1HBF，又BDB1D1，B1D1、HD1平面HB1D1，BF、BD平面BD

6、F，且B1D1HD1=D1，DBBF=B，平面BDF平面B1D1H.15. 如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点.求证：MN平面AA1C1C.证明 方法一：平行四边形的性质设A1C1中点为F，连接NF，FC，N为A1B1中点，NFB1C1，且NF=B1C1，又由棱柱性质知B1C1 BC，又M是BC的中点，NF MC，四边形NFCM为平行四边形.MNCF，又CF平面AA1C1，MN平面AA1C1，MN平面AA1C1C.方法二：三角形中位线的性质连接AM交C1C于点P，连接A1P，M是BC的中点，且MCB1C1，M是B1P的中点，又N为A1B1中点，MNA1P，

7、又A1P 平面AA1C1，MN平面AA1C1，MN平面AA1C1C.方法三：平面平行的性质设B1C1中点为Q，连接NQ，MQ，M、Q是BC、B1C1的中点，MQ CC1，又CC1平面AA1C1C， MQ 平面AA1C1C，MQ平面AA1C1C .N、Q是A1B1、B1C1的中点，NQA1C1，又A1C1平面AA1C1C，NQ 平面AA1C1C，NQ平面AA1C1C .又MQNQ=B，平面MNQ平面AA1C1C，又MN平面MNQMN平面AA1C1C.16. 如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E=C1F.求证：EF平面ABCD.方法一：平

8、行四边形的性质过E作ESBB1交AB于S，过F作FTBB1交BC于T，连接ST，则，且B1E=C1F，B1A=C1B，AE=BF，ES=FT又ESB1BFT，四边形EFTS为平行四边形.EFST，又ST平面ABCD，EF平面ABCD，EF平面ABCD.方法二：相似三角形的性质连接B1F交BC于点Q，连接AQ，B1C1BC，B1E=C1F，B1A=C1B，EFAQ，又AQ 平面ABCD，EF平面ABCD，EF平面ABCD.方法三：平面平行的性质过E作EGAB交BB1于G，连接GF，则，B1E=C1F，B1A=C1B，FGB1C1BC，又EGFG=G，ABBC=B，平面EFG平面ABCD，而EF平

9、面EFG，EF平面ABCD.17. 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ平面PAO？解 面面平行的判定当Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO.Q为CC1的中点，P为DD1的中点，QBPA.P、O为DD1、DB的中点，D1BPO.又POPA=P，D1BQB=B，D1B平面PAO，QB平面PAO，平面D1BQ平面PAO.直线与平面平行的性质定理18. 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形.（1）求证：AB平面EFGH，CD平面EFGH.（2）若AB

10、=4，CD=6，求四边形EFGH周长的取值范围.（1）证明 四边形EFGH为平行四边形，EFHG.HG平面ABD，EF平面ABD.EF平面ABC，平面ABD平面ABC=AB，EFAB.AB平面EFGH.同理可证，CD平面EFGH. (2)解 设EF=x（0x4），由于四边形EFGH为平行四边形，.则=1-.从而FG=6-.四边形EFGH的周长l=2(x+6-)=12-x.又0x4,则有8l12,四边形EFGH周长的取值范围是（8，12）.19. 如图所示，平面平面，点A，C，点B，D,点E，F分别在线段AB，CD上，且AEEB=CFFD.（1）求证：EF;（2）若E，F分别是AB，CD的中点，

11、AC=4，BD=6，且AC，BD所成的角为60，求EF的长.（1）证明 两个平行平面同时与第三个平面相交，则交线平行；平行线分线段成比例方法 当AB，CD在同一平面内时，由，平面平面ABDC=AC，平面平面ABDC=BD，ACBD，AEEB=CFFD，EFBD，又EF,BD,EF.方法 当AB与CD异面时，设平面ACD=DH，且DH=AC.，平面ACDH=AC，ACDH，四边形ACDH是平行四边形，在AH上取一点G，使AGGH=CFFD，又AEEB=CFFD，GFHD，EGBH，又EGGF=G，平面EFG平面.EF平面EFG，EF.综上，EF.（2）解三角形中位线 如图所示，连接AD，取AD的

12、中点M，连接ME，MF.E，F分别为AB，CD的中点，MEBD，MFAC，且ME=BD=3，MF=AC=2，EMF为AC与BD所成的角（或其补角），EMF=60或120，在EFM中由余弦定理得，EF=，即EF=或EF=.20. 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ.求证：PQ平面BCE.证明 方法一：平行四边形的性质 如图所示，作PMAB交BE于M，作QNAB交BC于N，连接MN.正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，AE=BD.又AP=DQ，PE=QB，又PMABQN，PM QN，四边形PMNQ为平行四边形，PQMN.又MN平面B

13、CE，PQ平面BCE，PQ平面BCE.方法二：相似三角形的性质如图所示，连接AQ，并延长交BC于K，连接EK，AE=BD，AP=DQ，PE=BQ，=又ADBK，=由得=，PQEK.又PQ平面BCE，EK平面BCE，PQ平面BCE.方法三：平面平行的性质 如图所示，在平面ABEF内，过点P作PMBE，交AB于点M，连接QM.PMBE，PM平面BCE，即PM平面BCE，=又AP=DQ，PE=BQ，=由得=，MQAD，MQBC，又MQ平面BCE，MQ平面BCE.又PMMQ=M，平面PMQ平面BCE，PQ平面PMQ，PQ平面BCE.21. 如图所示，正四棱锥PABCD的各棱长均为13，M，N分别为PA，BD上的点，且PMMA=BNND=58.（1）求证：直线MN平面PBC；（2）求线段MN的长.（1）证明：方法一： 相似三角形的性质连接AN并延长交BC于Q，连接PQ，如图所示.ADBQ，ANDQNB，=，又=，=，MNPQ，又PQ平面PBC，MN平面PBC，MN平面PBC. 方法二：平行四边形的性质 如图所示，作MQAB交PB于Q，作NRAB交BC于R，连接QR.MQABNR，又，MQ NR，四边形MNRQ为平行四边形，MNQR.又QR平面PBC，MN平面PBC，MN平面PBC.方法三：平面平行的性质 如图所示，在平面