同济-高等数学-第三版(3.6)第六节函数图形的描绘

1、 曲线渐近线是用来描述函数在无穷间断点及无穷远曲线渐近线是用来描述函数在无穷间断点及无穷远处的几何性状的一种概念和方法，它可有三种形式：处的几何性状的一种概念和方法，它可有三种形式： 设有函数设有函数 y = f( x )，则称铅直直线则称铅直直线 x = x 0 为曲线为曲线 y = f( x )的一条铅直渐近线。的一条铅直渐近线。 0limxxfx, ,若若 0limxxfx, , 或或xOy yfx0 x 例如例如，对于函数，对于函数 由于由于 ，故直线，故直线 x = 1 是曲线是曲线 的一条铅直渐近线。的一条铅直渐近线。 又如，对于函数又如，对于函数 f( x )= ln x . .

2、 由于由于 ，故直线，故直线 x = 0 是曲线是曲线 f( x )= ln x 的一条铅直渐近线。的一条铅直渐近线。 由定义可知，曲线由定义可知，曲线 y = f( x )的铅直渐近线的铅直渐近线 x = x 0 对应于函对应于函数数 y = f( x )的无穷间断点。的无穷间断点。 1.1fxx 111limlim1xxfxx 11fxx 00limlim lnxxfxx 设有函数设有函数 y = f( x )，若若 ，则称水平直，则称水平直线线 y = A 为曲线为曲线 y = f( x )的一条水平渐近线。的一条水平渐近线。 limxfAx xOy yfxyA 例如例如，对于函数，对于

3、函数 由于由于 ，故直线，故直线 y = 1 是曲线是曲线 的一条水平渐近线。的一条水平渐近线。 又如，对于函数又如，对于函数 f( x )= arctan x . . 由于由于 ，故两条直线，故两条直线 x = / /2 都都是曲线是曲线 f( x )= arctan x 的铅直渐近线。的铅直渐近线。 由定义可知，曲线由定义可知，曲线 y = f( x )存在水平渐近线存在水平渐近线 y = A 对应于函数对应于函数f( x )当当x 时有极限的情形。时有极限的情形。 221.1xfxx 221limlim11xxxfxx 2211xfxx limlim arctan2xxfxx 直角坐标系

4、的最大优点在于它可以方便直观地描述直角坐标系的最大优点在于它可以方便直观地描述函数的几何特性，因此微积分中主要在直角坐标系下讨函数的几何特性，因此微积分中主要在直角坐标系下讨论问题。论问题。 直角坐标系下作曲线图形是函数作图的基本方法，直角坐标系下作曲线图形是函数作图的基本方法，它通过对导数的研究来了解函数它通过对导数的研究来了解函数曲线的性状，如单调性、凹凸曲线的性状，如单调性、凹凸性、极值点、最值点、拐点及性、极值点、最值点、拐点及渐近线等几何特征因素，由此渐近线等几何特征因素，由此可较准确地作出函数图形。可较准确地作出函数图形。 利用导数描绘函数图形的一般步骤如下：利用导数描绘函数图形的

5、一般步骤如下： 确定函数确定函数 y = f( x )的定义域及函数的某些特征的定义域及函数的某些特征(如如奇偶性、周期性等奇偶性、周期性等)，求出函数的一阶导数求出函数的一阶导数 f ( x )和二和二阶导数阶导数 f ( x ). . 确定确定 f ( x )和和 f ( x )在在定义域内的全部零点，并求定义域内的全部零点，并求出函数出函数 f( x )的间断点及的间断点及 f ( x )和和 f ( x )不存在不存在的点，的点，用这些点将用这些点将函数定义域划分成几个部分区间函数定义域划分成几个部分区间。 确定确定在这些在这些部分区间内部分区间内 f ( x )和和 f ( x )的

6、符号的符号，并并由此确定由此确定函数图形的升降和凹凸，极值点和拐点。函数图形的升降和凹凸，极值点和拐点。 确定函数图形的水平、铅直及斜渐近线以及及其它确定函数图形的水平、铅直及斜渐近线以及及其它变化趋势。变化趋势。 求出方程求出方程 f ( x )= 0 和和 f ( x )= 0 的根所对应的的根所对应的函函数值，定出图形上相应的点。为将图形作得尽可能准数值，定出图形上相应的点。为将图形作得尽可能准确，有时还需根据具体情况补充一些相应的确，有时还需根据具体情况补充一些相应的点点。 联结这些点作出联结这些点作出函数函数的的 y = f( x )图形图形。例例：作出函数作出函数 y = x 3

7、- - x 2 - - x + 1 的图形的图形。 给定函数给定函数 y = f( x )的定义域为的定义域为( - , ,+ ). . f ( x )= 3 x 2 - - 2 x - - 1 =( 3 x + 1 )( x - - 1 )， f ( x )= 6 x - - 2 = 2( 3 x - - 1 ). 令令: f ( x )=( 3 x + 1 )( x - - 1 )= 0，解得，解得 x = - -1/ /3 和和 1； 令令: f ( x )= 2( 3 x - - 1 )= 0，解得，解得 x = 1/ /3 . . 因为函数因为函数 f( x )= x 3 - - x

8、 2 - - x + 1在其定义域在其定义域( - , ,+ )内连续，故曲线内连续，故曲线 y = f( x )没有铅直没有铅直渐近线。渐近线。 因为因为故曲线故曲线 y = f( x )没有水平没有水平渐近线。渐近线。 因为因为故曲线故曲线 y = f( x )没有斜没有斜渐近线。渐近线。 32limlim1xxfxxxx, , 321limlimxxfxxxxxx, , 将求得的一、二阶导数零点，一、二阶导数不存在将求得的一、二阶导数零点，一、二阶导数不存在点按其大小顺序排列，并用这些点分割函数定义域。点按其大小顺序排列，并用这些点分割函数定义域。 列表讨论函数性状：列表讨论函数性状：

9、13131 13, ,1133, , 113, , 1, x fx fx fxf ( x )= 2( 3 x - - 1 )000 有了上述准备便可用描点法作图，其中点的选择通有了上述准备便可用描点法作图，其中点的选择通常选取曲线具有特殊性质的点，如极值点、拐点等。常选取曲线具有特殊性质的点，如极值点、拐点等。 如有必要还可增加一些点，如曲线与坐标轴的交点如有必要还可增加一些点，如曲线与坐标轴的交点, ,某些具有对称性的点等。某些具有对称性的点等。 在极值点在极值点 x = - -1/ /3，x = 1 处处 f( 1 )= 1 3 - - 1 2 - - 1 + 1 = 0， 在点在点 x = 1/ /3 处处 323211111273333f, , 321611111273333f. . 于是求得函数于是求得函数 f( x )= x 3 - - x 2 - - x + 1 图形上的三个点图形上的三个点 由于仅依据这三个点还不能较准确地作出该函数的由于仅依据这三个点还不能较准确地作出该函数的图形，为此再补充一些点。图形，为此再补充一些点。 例如：例如：求出求出 f( - -1 )= 0， 求得曲线与求得曲线与 x 轴的交点轴的交点( - -1, ,0 )，其它的点，其它的点 1321161 0327327, ,