一些常用的常数

1、第一章 一些常用的常數第二章 常用的乘法公式與因式分解公式利用公式展開下列各式：(1) (2) (3) 解： (1) (2) (3) 利用公式展開下列各式：(1) (2) 解： (1) (2) 利用公式展開下列各式：(1) (2) 解： (1) (2) 利用公式展開下列各式： (1) (2) 解：(1) (2) 利用公式展開下列各式：(1) (2) 解： (1) (2) 由abca(bc) 和abca(bc)，可以得到：展開下列各式：(1) (2) (3) 解： (1) (2) (3) 利用公式展開下列各式：(1) (2) 解： (1) 由，與公式8比較可知，以x取代a，以2取代b，可得 。(

2、2) 利用公式展開下列各式：(1) (2) 解： (1) (2) 計算下列各式：(1) (2) (3) (4) 解： (1) (2) (3) (4) 第三章 幾何公式面積 = ab周長 = 2a+2b1. 矩形ab面積 = bh = ab sinq周長 = 2a+2b2. 平行四邊形hbaq面積 = bh/2 = ab sinq /2=周長 = a + b + cs = ( a + b + c ) / 23. 三角形hbaqc面積 = ( b + c ) h / 2=a ( b + c ) sinq / 24. 梯形hbcqa面積 = p r 2 = p d 2 / 4周長 = 2 p r =

3、 p d5. 圓形rd=2r面積 = r 2 q / 2 ( q 是弧度 )弧長 S = r q6. 扇形rSrq體積 = abc表面積= 2(ab+ac+bc)7. 長方體abc體積 = 4 p r 3 / 3表面積= 4 p r 28. 球體r體積 = p r 2 h表面積= 2p r h9. 圓柱體rh10. 幾何觀念10.1 三角形之性質：三角形三內角之和為180o 。三角形之任一外角，等於不相鄰二內角之和。如下圖(A)，。三角形之中線為自頂點至對邊之聯線，如上圖(A)中之AD、BE及CF均為三角形之中線，該三中線之交點G，稱為三角形之重心。此外重心G三等分每一條中線，即AG=2GD、

4、CG=2GF、BG=2GE。三角形三內角之等分線交於三角形內一點，如上圖(B)中之M點，M點至三邊之距離等長，該M點亦為三角形之內切圓。亦稱為三角形之內心。【例題】如下圖3.1所示，o點為正方形之中心，假如正方形之邊長為360mm，(1)請問、之角度是多少？(2) 請問、之角度是多少？(3)o點到ab線及bc線的距離是多長？(mm)【解】 ， ，圖3.1 邊長為360mm之正方形10.2 相似三角形：兩個三角形如各角彼此相等，則此兩個三角形相似。相似三角形之相當邊成比例，如下圖3.2(A)、(B)中，三角形ABC與三角形ADE中，BC與DE平形，則該兩個三角形為相似三角形。因此如果AB=15c

5、m，AD=30CM，BC=0.003，則利用上述之相似三角形之相當邊成比例，可得圖3.2相似三角形如下圖所示水座標軸代表應變，垂直座標軸代表強度折減係數，已知A、B兩點之座標值，請問當時，其所對應之強度折減係數是多少？三角函數1.銳角三角函數：定義：在直角DABC中，ÐC為直角，設= a，= b，= c，ÐA的六個銳角三角函數定義如下：正弦：sinA =餘弦：cosA =正切：tanA =餘切：cotA =正割：secA =餘割：cscA =餘角關係式：在直角DABC中，ÐC為直角，則可得：sinA = cosB ； cosA = sinB ；tanA = cot

6、B ； cotA = tanB ；secA = cscB ； cscA = secB 。ABC512基本恆等式：倒數關係：sinA = ； cosA = ； tanA =。商數關係：tanA = ； cscA =。平方關係：sin2A + cos2A = 1；1 + tan2A = sec2A；1 + cot2A = csc2A。已知為一個直角三角形，其中，為較大的銳角，兩股長分別為5、12。求的六個三角函數值。解： 、 （大角對大邊） 斜邊長 ；。設q 為銳角，若3sinq = 4cosq，求tanq + cotq =？解： tanq =，cotq = 所求=+=。若45° <

7、; q < 90°，且tanq + cotq =，求下列各式之值：sinq ´ cosq =？sinq + cosq =？cscq + secq =？cosq - sinq =？解：因，將原式寫成故得sinq cosq =，將上式開根號可得sinq + cosq =。cscq + secq =。將上式開根號可得 cosq - sinq =。2.廣義的三角函數有向角（廣義角）：具有方向性的角，我們稱之為有向角或廣義角。其決定因素有三：始邊、旋轉方向及旋轉量、終邊規定：逆時針方向為正向，稱為正角；順時針方向為負向，稱為負角。同界角：設q 為一個有向角，則所有q + 360

8、° ´ n這樣的角都稱做是q 的同界角。廣義角的三角函數：設q 為任意有向角，在角q 之終邊上任取異於原點O之一點P，設其坐標為(x, y)，則角q 之六個三角函數定義為：sinq =，cosq =；tanq =，cotq =（x、y ¹ 0，且r =）secq =，cscq =三角函數的計算公式： sin(-q ) = -sinqsin(180° - q ) = sinqsin(180° + q ) = -sinq cos(-q ) = cosqcos(180° - q ) = -cosqcos(180° + q ) =

9、-cosq tan(-q ) = -tanqtan(180° - q ) = -tanqtan(180° + q ) = tanq cot(-q ) = -cotqcot(180° - q ) = -cotqcot(180° + q ) = cotq sec(-q ) = secqsec(180° - q ) = -secqsec(180° + q ) = -secq csc(-q ) = -cscqcsc(180° - q ) = cscqcsc(180° + q ) = -cscq三角函數值的範圍：-1

10、63; sinq £ 1，-1 £ cosq £ 1。tanq , cosq Î R。secq ³ 1 or secq £ -1，cscq ³ 1 or cscq £ -1。試回答下列問題：點(cot 320°, sec 320°)在第幾象限？若q 非象限角，且tanq > 0，cosq < 0，則點(cosq, sinq )在第幾象限？解：(-, +)為第二象限角。q 為第三象限角(cosq, sinq ) Þ (-, -)亦為第三象限角。3.正弦定理與餘弦定理三角形面積

11、公式：設DABC中，= c，= a，= b，若D表DABC之面積，則D =ab sin C =bc sin A =ac sin B。正弦定理：DABC中，其中R為DABC之外接圓半徑。餘弦定理：在DABC中，= c，= a，= b，則DABC中，若邊長a = 3，b = 4，且tanA =，則邊長c =？解： cosA =，5c2 32c + 35 = 0，(c 5)(5c 7) = 0，c = 5或。4.三角函數的近似值與三角測量簡易測量：名詞解釋：當眼睛平視物體時，俯仰角度為零；仰望高處目標時，視線與水平線的夾角稱為仰角；俯視低處目標時，視線與水平線的夾角稱為俯角。方位：如下圖所示，觀測者

12、在O點，則A點的方位是北23°東、B點是北38°西、C點是南42°西、D點是南54°東，而北45°東、北45°西、南45°東，而北45°東、北45°西、南45°東、南45°西則分別稱為東北、西北、東南、西南。單位換算：1°（度）= 60¢（分）；1¢（分）= 60¢¢（秒）。如右圖，小傑在運動場A點處測得旗杆杆頂T之仰角為30°，他朝旗杆走10公尺至B點後，再測得T仰角為45°，問他再朝旗杆走多遠後，與T點仰角會變成

13、60°？解：設桿長= x =tan30° =，x = 5(+ 1)，故(m)。第四章 指數與對數函數1.指數函數化簡下列各式：(2-2)-4 +(2 -)12(2 +)10解：原式= 256 + + 16 = 。原式= 2。原式= (2 -)2 (2 -)(2 +)10 = 7 - 4。2.指數函數及其圖形指數函數y = ax，a > 0之函數圖形如下圖所示：a > 1時，其圖形在x軸上方，且由左而右逐漸升高。越往右邊升高越快，越往左邊的圖形越接近x軸，而以x軸為水平漸近線。（如下圖）0 < a < 1時，其圖形在x軸上方，且由右而左邊逐漸升高。越往

14、左邊升高越快，越往右邊圖形越接近x軸，而以x軸為水平漸近線。（如下圖）y = ax之圖形恆在x軸之上方，且必過(0, 1)。y = ax之圖形與y = k之圖形恰交於一點（即y = ax為一對一函數）。y = ax之圖形與y = a-x之圖形對稱於y軸。y = ax之圖形與y = -ax之圖形對稱於x軸。 圖 圖 作下列各函數圖形：y =y =y = -2-x。解： 試比較下列各數之大小：a = 20.5，b =，c = 4-2，d =。解：a =，b = 2-5，c = 2-4，d = 2-1a > d > c > b。指數之運用工程經濟基本概念1. 時間價值(1) 時間價

15、值模型-a. 將時間分割為大小之時段：例如以年、季、月或日為單位，一般常以年為單位。b. 假設年利率為，以年為時間單位，期數為。期初價值為1元，則利息為，期末價值為。並以該期末價值為第2期之期初價值，第2到期之期初價值，利息與期末價值如下，期初價值 利息 期末價值1 +=(2) 等值概念：本金假設為(亦稱現值)，在年利率為之條件下，期數為時之價值為(亦稱為終值)，終值為 (1)(3) 對未來的折價：上述(1)式可改寫成 (2) 上式表示在年利率為之條件下，在期末時，欲得到終值，目前應投入之現值。(4) 年金：指每期投入元，在利率為之條件下，期數為時，可獲得多少？ 如上圖為現金流量示意圖，終值為

16、 (a)將(a)式等號之兩邊各乘以，得 (b)將(b)式-(a)式得 (c)移項後得 (3)上式表示指每期投入元，在利率為之條件下，期數為時，可獲得終值。上式亦可得改寫為 (4)(5) 資本回收：將(1)式之，代入(4)式，得 (5)第(5)式亦可改寫為 (6)例1：某人向銀行貸款200百萬元，假設年利率(名目利率)為3.9%，分20年償還，請問每個月應還多少？【解】年利率為4%，月利率為0.039/12=0.00325，20年有240月，由(5)式得每個月應還10447元。附註：月利率為0.00325時，如果以複利計算，其有效年利率將為2. 投資方案之比較：現值法現值法是將發生在各時段的現金

17、流量，全部折算成在時間為0的現值。例2：資有一7萬元之投資方案，估計投資5年，每年可得1.5萬元，在終止時間時，估計投資物可折合金額2萬，假設銀行之利率為5%，是否值得投資。【解】現金流量如下圖，將每年可得1.5萬元及投資物可折合金額2萬，轉換為現值現值為因現值為7.722萬元，大於7萬元，比銀行之利率高，值得投資。3.對數函數若a > 0，a ¹ 1，且ax = b，則。我們稱為以a為底，b為真數之對數（其中b > 0）。對數運算的基本性質：性質，。性質，。性質。性質。性質。性質（換底公式）。性質（倒數關係）。性質（連鎖公式）。對數的次序性質：性質設a > 0，a

18、 ¹ 1，x > 0、y > 0，則x = y Û。性質設a > 0，a ¹ 1，x > 0、y > 0，則當a > 1，x > y Û。當0 < a < 1，x > y Û。化簡下列各式：解：原式= 2 - 1 = 1。原式= log2 log2 4 = log2 2 = 1。原式= log8 log2 = log8 2 =。求(log 20)3 (log 2)3 3 log 20 × log 2 =？求(log2 3 + log4 9)(log3 4 + log9 2)

19、=？解：原式= (log 20 log 2)3 + 3 log 20 × log 2(log 20 log 2) 3 log 20 × log 2 = 1。原式= (2 log2 3) ´ (log3 2) = 5。4.對數函數及其圖形對數的意義：對每一個正數x，且a > 0、a ¹ 1，則loga x恆有意義。令y = loga x，則y是x的函數，此函數稱為以a為底的對數函數。圖形：函數y = loga x的對數函數其圖形如下： 對稱：y = loga x Û ay = x以a為底數的對數函數，其自變數x及應變數y分別是以a為底的指數

20、函數的應變數x及自變數y。(a, b)是圖形上的一點Û f (a) = b Û g(b) = a Û (b, a)是g圖形上之一點。即f與g之圖形對稱於直線y = x；也就是說，任意兩個互為反函數的函數，其圖形必對稱於y = x。 右圖為函數y = a + logb x之部份圖形，其中a、b為常數，則下列何者為真？(A) a < 0，b > 1(B) a > 0，b > 1(C) a = 0，b > 1(D) a > 0，0 < b < 1(E) a < 0，0 < b < 1。解：a < 0

21、，0 < b < 1，選(E)。第五章 代數方程式的解1. 一元二次方程式的解法當時，方程式的解為：或x = 用公式解求的解。解： 先檢驗判別式是否大於0或等於0。因為280，所以方程式有實數解。由公式解得知：x問題：如下列之兩個方程式是以鋼筋量為變數(未知數)，第(2)式是將第(1)式除以741.18之後得到的，請求解第(2)式，鋼筋量(附註：求解出來之可能有正值與負值，實際運用只取正值)。2. 根的判別現在將方程式根的判別規則整理如下：(1) 若，則方程式的兩根為：x或x 因為兩根均為實數且不相等，所以稱此方程式有兩個相異實根。(2) 若，則兩根為相等實數。所以稱此方程式有兩個

22、相等實根，或稱此方程式有一個二重根，並常以x(重根)來表示。(3) 若，則此方程式無實根。判別下列方程式是否有兩個相異實根，一個二重根或沒有實數根：(1) (2) (3) 解： (1) 判別式 方程式有兩個相異實根：x = (2) 判別式 方程式沒有實數根(3) 判別式 方程式有一個二重根：x3(重根)問題：請求解下式之方程式c之值是多少？第六章 平面解析幾何的公式1. 函數的定義若、為二集合，為與兩集合間的一種映射，記作，且滿足：對於中的每一個元素，必可在中找到唯一的一個元素與之對應。則稱為由集合映至集合的一個函數。 (a) 若，求.(b) 若，求.解：(a) . (b) . 求下列各 函數

23、的定義域(a) . (b) .解：(a) 因為根號內的數必為正數或，所以的定義域為R. (b) 因為分數的分母不能為，所以的定義域為R. 2.函數的圖形 平面座標系( Cartesian Plane) 是由代表實數的兩條互相垂直的直線所形成(如圖4.2.1)，其中水平線稱做軸，垂直線稱做軸，軸和軸相交的點稱為原點，並且將平面分為四個象限。(0,0)中點 (圖4.2.1)座標平面上每一點都可以用一個有序數對表示如原點以表示。畫出函數的圖形。解：我們先做一表格如下： -101864再將點 (-1,8)，(0,6)，(1,4) 標示在座標平面上。由於我們知道此函數的圖形為一直線，故我們用直線來連接這

24、些點，如圖4.2.2。(圖4.2.2)3. 兩點間距離對於任意給定兩點及，它們之間的距離為 ，而它們兩點形成的線段的中點座標為 。 給定一個函數，所謂該函數的圖形(graph)即是指集合。而如果要粗略的畫出其圖形，我們可先做一個表格記錄函數經過哪些點，再將這些點標示在座標平面上，最後，用平滑的曲線或直線把這些點連接起來，就可得到我們需要的函數圖形。以下我們舉一個實例來說明。4.截距 選擇函數圖形與軸或是與軸的交點，我們稱這些點為x-截距 (-intercept) 或y-截距 (-intercept)。 給定一函數，的圖形中，為唯一的-截距，而之-截距可能不只一個，主要是因為這些點的座標是的解。

25、求函數及的截距。解：很顯然的，函數的-截距是(0,6)，而因的解為所以(3,0)為-截距；如圖4.2.4.(圖4.2.4)5.多項式函數多項式函數(polynomial function)的形式為，其中，R，稱做的次數(degree)，為一非負整數。當時，稱做線性函數。6.線性函數 (linear function)線性函數的代數形式為,其中R；有時也寫做其中為常數；或以方程式出現 (其中)。直線方程式與線性函數是不盡相同的：如直線方程式可為。 線性函數最重要的性質是其圖形為一直線(line)。由於任一直線都可以由兩點來決定，我們可定義此直線的斜率如下：取直線上兩點與，斜率(slope) =

26、由下列參考圖中可知直線的斜率為一常數，我們通常用表示。(0,0)(圖4.3.1)(a) 求通過(-2,4)與(3,-1)兩點的直線的斜率。(b) 求直線的斜率。(c) 求斜率為0的所有直線。解：(a) 如圖4.3.2.10-55(圖4.3.2)(b) 取上的兩點(0,1)、(1,4)，可得.(c) 由斜率公式與圖4.3.1可知，直線斜率為0若且唯若為一常數，即，其中為常數。 由斜率公式與圖4.3.1亦可知直線的斜率不存在。斜截式(slope-intercept form) 直線的截距為，因此稱做該直線的斜截式(slope-intercept form)。點斜式(point-slope form

27、) 若我們已知一條直線的斜率以及此直線所通過的一點時，則此直線可表為，我們將這種寫法稱為點斜式(point-slope form)。求通過(5,2)且斜率為的直線方程式。解：此直線的點斜式為 化簡可得到斜截式.此直線的圖形請參考圖4.3.3.(圖4.3.3) 兩點式(two points form) 如果我們知道一直線通過兩點與，則此直線的斜率為，再利用點斜式我們可知此直線的方程式為.此為該直線的兩點式(two points form)。求通過兩點(3,-1)與(1,5)的直線方程式。解：由兩點式知此直線為, 化簡成為 或 . 此直線的圖形請參考圖4.3.4. (圖4.3.4) 截距式：設x截

28、距為a，y截距為b，且a × b ¹ 0的直線方程式為。一般式：ax + by + c = 0（a2 + b2 ¹ 0）。直線ax + by + c = 0（b ¹ 0）的斜率為。設兩相異直線L1 , L2之斜率分別為m1 , m2若L1 / L2 Û m1 = m2。若L1 L2 Û m1 × m2 = -1。求下列條件所決定的直線方程式：過A(-2, 3)且斜率為3過A(4, 3)，B(-4, 1)過(3, 0)，(0, -2)斜率為，y截距為6過(5, 4)且平行於3x + 2y = 1過(-2, -3)且垂直於4x + 3y = -1。解：y 3 = 3(x + 2) Þ y = 3x + 9。 Þ x 4y + 8 = 0。= 1。Þ2x3y6=0y =x+ 6。Þx+y18=0設方程式3x + 2y = k，(5, 4)代入，k = 23。設方程式3x 4y + k = 0，(-2, -3)代入，k = -6。7.二次函數及其圖形定義：設a, b, c Î