平面向量数系及扩充与复数及引入 阶段质量检测

1、第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入(自我评估，考场亮剑，收获成功后进入下一章学习！) (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)1(2009·天津高考)i是虚数单位， ()A12iB12iC12i D12i解析：12i.答案：D2已知向量a(5,6)，b(6,5)，则a与b ()A垂直 B不垂直也不平行C平行且同向 D平行且反向解析：已知向量a(5,6)，b(6,5)，a·b30300，则a与b垂直答案：A3若a(2cos，1)，b(sin，1)，且ab，则tan等于 ()A2 B

2、.C2 D解析：ab，2cos×1sin，tan2.答案：A4如图，已知a，b，3，用a，b表示，则等于 ()Aab B.abC.ab D.ab解析：()ab.答案：B5已知复数z满足|z|24i，则z等于 ()A34i B34iC34i D34i解析：设zabi(a，bR)，则abi，(abi)24i，即，解得a3，b4，z34i.答案：B6已知复数z1i，则等于 ()A2i B2iC2 D2解析：2i.答案：A7已知命题：“若k1ak2b0，则k1k20”是真命题，则下面对a，b的判断正确的是 ()Aa与b一定共线 Ba与b一定不共线Ca与b一定垂直 Da与b中至少有一个为0解析

3、：假设a与b共线，由已知得k1ak2b，如果a、b均为非零向量，与已知条件矛盾如果a、b中至少有一个非零向量，明显的与已知矛盾，排除A、D.把k1ak2b0两边平方得ka2kb22k1k2a·b0，因为k1k20，所以a·b不一定等于0，排除C.答案：B8若平面向量a(1,2)与b的夹角是180°，且|b|3，则b的坐标为 ()A(3，6) B(3,6)C(6，3) D(6,3)解析：由题意设ba(1,2)由|b|3得29.±3.因为a与b的夹角是180°.所以3.答案：A9(文)设向量a与b的夹角为，a(2,1)，a2b(4,5)，则cos等

4、于 ()A. B.C. D.解析：设b(x，y)，因为a(2,1)，a2b(2,1)2(x，y)(22x,12y)(4,5)，即22x4,12y5，解得：x1，y2，即b(1,2)，故cos.答案：D9(理)已知|a|2|b|，且b0，若关于x的方程x2|a|xa·b0有两相等实数根，则向量a与b的夹角是 ()A BC. D.解析：由关于x的方程有两个相等实数根可得|a|24a·b0a·b，cosa，b，又a，b0，a，b.答案：D10(2010·深圳模拟)点M是边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点，N是边BC的中点，则·的最大值是 ()A

5、2B4C5 D6解析：建立如图所示的直角坐标系，则N(2,1)，设M(x，y)，·(2,1)·(x，y)2xy，0x2,0y2，02xy6.答案：D11(2010·安庆模拟)已知非零向量，和满足·0，且·，则ABC为 ()A等边三角形 B等腰非直角三角形C非等腰三角形 D等腰直角三角形解析：、均为单位向量由·0，得| |.由·1×1×cosC，得C45°.故三角形为等腰直角三角形答案：D12设两个向量a(2，2cos2)，b(m，sin)，其中，m，为实数若a2b，则的取值范围是 ()A6,1

6、B4,8C(，1 D1,6解析：a2b，消去，得4m28m4cos2m2sin，即4m29m2(sin1)2.1sin1，4(sin1)20，44m29m20，解得m2，26,1答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分请把正确答案填在题中的横线上)13已知复数z1m2i，z234i，若为实数，则实数m_.解析：是实数，64m0，故m.答案：14已知抛物线y24x与直线y2x4交于A、B两点，如果在该抛物线上存在点C，使得 (O为坐标原点)，则实数_.解析：由已知可设C(，m)，由题意易解得A(1，2)，B(4,4)，则有(5,2)(，m)，解得.答案：15已知平面向量a，b，c

7、满足abc0，且a与b的夹角为135°，c与b的夹角为120°，|c|2，则|a|_.解析：根据已知条件，组成以|a|，|b|，|c|为边长的三角形，由正弦定理得，又|c|2，所以|a|.答案：16在直角坐标系xOy中，i、j分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，ij，2imj，则实数m_.解析：本题考查了向量的运算由已知可得i(m1)j.当A90°时，·(ij)·(2imj)2m0，m2.当B90°时，·(ij)·i(m1)·j(1m1)m0，m0.当C90°时，·

8、(2imj)·i(m1)j2m(m1)m2m20，此时m不存在故m0或2.答案：0或2三、解答题(本大题共6小题，共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)已知复数z满足：|z|13iz，化简.解：设zabi(a，bR)，而|z|13iz，即13iabi0，则，z43i.34i.18(本小题满分12分)如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知c，d，试用c，d表示，.解：法一：设a，b，则ad(b)， bc(a)， 将代入得ad()c(a)adc，代入得bc()(dc)cd.故dc，cd.法二：设a，b.所以b，a，因而，

9、即(2dc)，(2cd)19(2010·安庆模拟)(本小题满分12分)已知向量a(cosx，sinx)，b(cos，sin)，其中x0，(1)求a·b及|ab|；(2)若f(x)a·b2|ab|的最小值为，求的值解：(1)a·bcosxcossinxsincos2x，|ab|2cosx.(2)f(x)a·b2|ab|cos2x4cosx2cos2x14cosx2(cosx)2221.注意到x0，故cosx0,1，若<0，当cosx0时，f(x)取最小值1.不合条件，舍去若01，当cosx时，f(x)取最小值221，令221且01，解得，若

10、>1，当cosx1时，f(x)取最小值14，令14且>1，无解综上：为所求20(本小题满分12分)在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，已知向量m(1,2sinA)，n(sinA,1cosA)，且满足mn，bca.(1)求角A的大小；(2)求sin的值解：(1)mn，1cosA2sin2A，即2cos2AcosA10，解得cosA1(舍去)，cosA.又0A，A.(2)bca，由正弦定理可得sinBsinCsinA.又C(AB)B，sinBsin，即sinBcosB，sin.21(本小题满分12分)已知向量a(cosx，sinx)，b(cosx，cosx)，c(1,0

11、)(1)若x，求向量a，c的夹角；(2)当x，时，求函数f(x)2a·b1的最大值解：(1)设a，c的夹角为，当x时，cosa，ccosxcoscos.0a，c，a，c.(2)f(x)2a·b12(cos2xsinxcosx)12sinxcosx(2cos2x1)sin2xcos2xsin(2x)x，2x，2，sin(2x)1，当2x，即x时，f(x)max1.22(本小题满分14分)已知mR，a(1，x2m)，b(m1，)，c(m，)(1)当m1时，求使不等式|a·c|<1成立的x的取值范围；(2)求使不等式a·b>0成立的x的取值范围解：(1)当m1时，a(1，x21)，c(1，)a·c1x2x1，|a·c|x2x1|<1，解得2<x<1或0<x