幂级数测试题

1、               第十四章  幂级数单选题：1设幂级数的收敛半径为  R ，则下列断语中正确的是（A）在上一致收敛。（B）在内某些点处非绝对收敛。（C） 的收敛半径大于   。（D）对任意的  ，在上一致收敛。2。若幂级数在处收敛，在处发散，则该级数(A)在处发散；     &

2、#160;              (B)在处收敛；(C)收敛区间为                (D)当时发散。  3幂级数级数的收敛域是(A)           

3、;                 (B) (C)                            (D)  &#

4、160; 4若幂级数的收敛半径为R,那么(A),                    (B) ,(C),                      (D)不一

5、定存在 .  5如果能展开成  的幂级数，那么该幂级数     (A) 是 的麦克劳林级数；         (B)不一定是  的麦克劳林级数；     (C)不是 的麦克劳林级数；       (D) 是在点处的泰勒级数。6. 

6、如果,则幂级数(A)当时,收敛；                 (B) 当时,收敛；(C) 当时,发散；               (D) 当时,发散7.设级数在  处是收敛的，则此级数在处   

7、 (A)发散；                             (B)绝对收敛；    (C)条件收敛；            &#

8、160;            (D)不能确定敛散性。                       8幂级数在其收敛区间的两个端点处A  全是发散的.      

9、0;            B. 全是收敛的C.  左端点发散, 右端点收敛.       D  左端点收敛, 右端点发散9. 函数展开成的幂级数的方法是.    10. 幂级数的收敛域为       

10、0;   答案:   110  DDBDA  ADDDA  填空题：1. 若幂级数在内收敛, 则应满足_.         2. 设幂级数的收敛半径为2, 则级数的收敛区间为_.  3.级数的和函数为_.  4. 设是一等差数列 , 则幂级数收敛域是_.  5

11、. 与有相同的_.  6. 的幂级数展开式_.  7. 幂级数只有在_区间内才有和函数.  8. 经过逐项微分或逐项积分后幂级数_不变.  9. 的幂级数表达式_.  10. 级数 在区间_收敛. 答案： 1. .             4. ( -1, 1)

12、0;         5. 收敛区间. .        6.         7. 收敛.      8. 收敛半径.     9. 计算题1.   

13、;    求幂级数的收敛域及和函数.  2. 求幂级数的收敛域及和函数.  3. 求幂级数的收敛半径与收敛域     ( 1)    4. 将函数展开为的幂级数, 并指出收敛域.  5. 求函数在x=1处泰勒展开式.  6. 设幂级数 当 时有  且  求该幂级数的函数

14、.  7. 将展成 x的幂级数.  8. 求幂级数的和函数.  9. 试求幂级数的收敛区域及和函数10. 设，确定的连续区间，并求积分的值 答案:    1. 解  因  且当时级数都发散, 故该级数的收敛域为 ( -1, 1 ),      令 , 则 ,.2. 解:

15、   收敛半径,  当时, 原级数发散, 故原级数的收敛域为 ( -1, 1 ).   设其和函数为,        3. ( 1 )  解   记 ,   由于    , 故 收敛半径R=1, 收敛区间为 ( -1, 1 ) &

16、#160;  当时, 由于, 故级数发散, 所以该级数的收敛域为 ( -1, 1 ) .  ( 2 ) 解  记     因为        所以收敛半径R=1, 收敛域为  -1, 1 .     4. 解      

17、                       而                          而级数与的

18、收敛域都是  -1, 1 , 故当 时                         5. 解     因            

19、0;              .       6. 设和函数  则                       即 .

20、          解上述关于的二阶微分方程, 得  .      7. 解  易看出  ,  而                    &

21、#160; 两边求导,  得  .8.       级数的和函数为                          9.  由于级数在上收敛，    

22、0;              所以当时，有                                  

23、0;                                          10. 因为幂级数的收敛域是，所以在上的连续，   

24、                   且可逐项积分。                   .证明题： 1. 设 在内收敛, 若也收敛, 则  

25、0;          .           2. 设f为幂级数在 ( -R, R ) 上的和函数, 若f为奇函数, 则原级数仅出现奇次幂的项, 若f 为偶函数, 则原级数仅出现偶次幂的项.3. 设函数定义在  0, 1上, 证明它在 (0, 1 ) 满足下

26、述方程:                   4. 设   证明当  时, 级数 收敛.5.            设幂级数，的收敛半径分别为，设，证明：当时，幂级数绝对收敛。6.  

27、60;  设，求证：  其中       7. 设，。证明：当时，满足方程。   8. 若幂级数的收敛半径为R(>0), 且在(或时收敛, 则级数在 0, R ( 或 -R, 0 )上一致收敛.  9. 设函数在区间内的各阶导数一致有界,即存在正数M, 对一切, 有,  证明: 对内任一点与有 

28、0;  .       10. 证明: 满足方程.答案:  1. 证明: 因为当 收敛,  有             又当时, 收敛, 从而可知 在左连续,于是. 2. ,   ,  &#

29、160;当为奇函数时, 有,  从而   ,   这时必有  .   当为偶函数时, 有此式当且仅当.3.证明:  设   则                       

30、;       .   所以      故 . 0<x<1.4. 因为  所以 , ,取极限得到  ,  从而级数的收敛半径故 时, 级数收敛.5. 对于任意     ，由于，所以，绝对收敛。    

31、0;                     又所以绝对收敛。                          6. 时,        ，                     ，故  从而                &