微分方程的基本概念（教案）

1、9.1微分方程的基本概念教学目的通过本次课的教学使学生理解并掌握微分方程的概念，即什么是微分方程、微分方程的阶、微分方程的解、微分方程的通解、微分方程的特解、初始条件等.教学重点微分方程的概念教学难点微分方程概念的建立教学过程1. 导入新课函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究因此如何寻求函数关系，在实践中具有重要意义但是在许多问题中，不能直接找到所需的函数关系，却可根据问题所提供的情况，列出含有未知函数的导数或微分的关系式，这样的关系式称为微分方程.下面我们通过具体例题来说明微分方程的基本概念例1 求过（1，2）点，且在曲线上任一点处的切线斜率

2、等于的曲线方程.解 设所求曲线的方程为.根据导数的几何意义，有或 （1）由于曲线过点（1，2），因此未知函数还须满足条件 （2）对（1）式两端积分，得 （为任意常数） （3）把（2）式代入（3）式，得.所以，所求曲线的方程为 上例中的方程(1)含有未知函数的导数（或微分）.对于这类方程，给出下面的定义2.讲授新课2.1微分方程的定义定义1 凡含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶.因此，方程（1）是微分方程.又如，方程 （4） （5） （6） （7）等都是微分方程.并且方程（1）、（4）、（5）是一阶微分方程，（6）是二阶微分方程，（

3、7）是四阶微分方程.在微分方程中，可以不含有自变量或未知函数，但必须含有未知函数的导数（或微分）如果一个函数代入微分方程后，方程两端恒等，则此函数称为微分方程的解.从微分方程确定未知函数的过程就是解微分方程.2.2微分方程的通解、特解定义.2 如果微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则这样的解叫做微分方程的通解在通解中任意常数被确定后的解称为微分方程的特解.例如，在例1中的函数（为任意常数）和都是微分方程(1)的解.其中（为任意常数）是方程(1)的通解，是方程(1)的特解.我们将确定通解中任意常数的附加条件称为初始条件（如例(1)中的）例2 验证：函数是方程

4、的解.解 分别求函数的一阶、二阶导数得，将代入原方程的左边，有，即函数满足原方程，因此该函数是所给二阶微分方程的解.例3 验证方程 的通解为（为任意常数），并求满足初始条件的特解.解 由得，将、代入原方程的左边，有，所以函数满足原方程，又因为该函数含有一个任意常数，所以函数是一阶微分方程的通解.将初始条件代入通解，得，因此，所求特解为.3.小结(1) 微分方程、微分方程的阶：凡含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶(2) 微分方程的解、通解、特解：如果一个函数代入微分方程后，方程两端恒等，则此函数称为微分方程的解.如果微分方程的解中含

5、有任意常数，且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则这样的解叫做微分方程的通解在通解中任意常数被确定后的解称为微分方程的特解.4.布置习题(略)9.2可分离变量的微分方程(一)教学目的通过本次课的教学使学生识别可分离变量的微分方程，掌握可分离变量的微分方程的解法 教学重点可分离变量的微分方程的解法教学难点分离变量教学过程1.复习1.1微分方程、微分方程的阶(略)1.2微分方程的解、通解、特解(略)1.3作业中的问题(略)2.讲授新课可分离变量的微分方程形如 的方程()，可变形为，称为可分离变量的微分方程.通常我们采用两边积分的方法求解.具体求解步骤如下：(1)分离变量 ；(2)两边积分

6、；(3)求出积分得通解 ，设和依次是和的一个原函数.例1 求微分方程的通解.解 此方程是可分离变量的微分方程，分离变量得 ，两边积分，得 ，从而其通解为 .例2 求微分方程的通解.解 分离变量，得 ，两端积分，得 ，即其通解为 （=是任意常数）.例3 试求微分方程满足初始条件的特解解 分离变量，得，两边积分，得，即其通解为 (是任意常数).将初始条件代入，得因此，所给方程的特解为3.小结 形如 的方程()，可变形为，称为可分离变量的微分方程. 可分离变量的微分方程通常我们采用两边积分的方法求解.具体求解步骤如下：.分离变量 ；.两边积分 ；.求出积分得通解 ，设和依次是和的一个原函数.4.布置

7、习题(略)9.2可分离变量的微分方程(二) 教学目的通过本次课的教学使学生识别齐次微分方程及一些常见的可化为可分离变量的微分方程.掌握可化为可分离变量的微分方程的解法.教学重点可化为可分离变量的微分方程的解法.教学难点 将方程化为可分离变量的微分方程.教学过程1.复习可分离变量的微分方程及其解法(略)1.2作业中的问题(略)2.讲授新课2.1齐次方程形如的方程称为齐次方程令代入原方程，得 于是将原方程化为可分离变量的微分方程求出方程(1)的通解后，再将代入即可例1 试求微分方程的通解.解 此方程为齐次方程，令，即，得，将代入原方程中得 ，即 两边积分，得， ()，将代入上式，得原方程的通解为(

8、2)其它类型例2 解方程解 作变换，令 ，则代入原方程，得 ，将它分离变量 ，两边积分，得 ，原方程的通解为 例3 解方程 解 作变换，令则代入原方程并化简后，得 两边积分，得 于是，原方程的隐式解为： 3.小结(1) 齐次方程及其解法(略)(2) 其它类型解法(略)4.布置习题(略)9.3一阶线性微分方程教学目的通过本次课的教学使学生识别一阶线性微分方程，理解线性微分方程解的结构，了解常数变易法这一线性方程的解法，会用公式或常数变易法解一阶线性微分方程.教学重点一阶线性微分方程解的结构及解法 教学难点 常数变易法教学过程1.复习1.1齐次方程及其解法(略)1.2作业中的问题(略)2.讲授新课

9、一阶线性微分方程定义 形如 ()的方程称为一阶线性微分方程，其中及为已知函数当时，方程()称为一阶齐次线性微分方程；当时，方程(9.3.1)称为一阶非齐次线性微分方程先求一阶齐次线性微分方程 ()的通解.由于方程（）是可分离变量的微分方程，分离变量后，得，两边积分，得 ，则一阶齐次线性微分方程的通解为 .下面我们用“常数变易法”求方程()的通解(其中).将方程()的通解中的常数换成的未知函数，要求使得. (）是方程()的解.为此，把（9.3.3）代入方程(9.3.1)后得，即 ，两边积分，有 ，代入方程（）得一阶非齐次线性微分方程的通解公式为 . ()上式也可写成 右边第一项是对应的齐次线性微

10、分方程的通解，第二项是非齐次线性微分方程的一个特解，这就得到一阶非齐次线性微分方程通解的结构如下： 一阶非齐次线性微分方程的通解等于它的一个特解与对应的齐次线性微分方程的通解之和.公式()可直接使用来求一阶非齐次线性微分方程的通解.例1 求一阶线性微分方程的通解.解法一 使用“常数变易法”求解.所给方程对应的齐次方程为 ，将方程分离变量，得 ，两边积分，得 ，即 或 记，得对应的齐次方程的通解为 （是任意常数）用常数变易法，设是非齐次方程的通解，代入原方程，得，即 ，所以 从而得到非齐次微分方程的通解 （是任意常数）.解法二 用通解公式求解.由于所给方程中，则通解为例2 求方程，满足初值条件的特解