图形变换引出的计算与证明

1、图形变换引出的计算与证明图形（或部分图形）经“平移”、“轴对称”或“旋转”（包括中心对称）之后，就会引起图形形状，位置关系的变化，就会出现新的图形和新的关系。因此，图形变换引出的问题主要有两类：一类是变换引出的新的性质和位置关系问题；另一类是变换引出的几何量的计算问题。一、图形平移变换引出的几何计算与证明 这类问题的解法的思考应当突出两点： 、把背景图形研究清楚； 、充分运用图形平移的性质，特别应注意的是：“平移变换不改变角度”（即平移中的线和不平移的线，交角的大小不变）。两者的恰当结合，就是解法的基础。例 如图（1），已知的面积为3，且现将沿CA方向平移CA长度得到。BCA（）FE（1）求所

2、扫过的图形面积；（2）试判断，AF与BE的位置关系，并说明理由；（3）若求AC的长。（1）【观察与思考】第一，搞清楚原图形即的特征：面积为3，第二，搞清楚平移过程：平移沿CA方向进行；平移距离BCA（）FE为CA的长度。注意！这就意味着每一对对应点之间的距离都等于CA，当然就有。由此可知：（1）扫过的图形即为菱形的两条对角线；（2）AF和BE就是菱形的两条对角线；（3）的条件下，由求出AC的长。（1）各问题解法得到，落实如下：解：（1）如图（1）扫过的图形为菱形，而。（2）如图（1），为菱形的两条对角线，并且AF，BE互相平分。（3）若则，作于D，如图（1），则，由,解得。（1）图形平移的问题

3、，解决的关键在于运用好“平移变换”的性质。二、图形的轴对称变换引出的计算与证明这类问题解决的思考应当突出以下两点：、把背景图形研究清楚；ABCDEF、充分注意轴对称的两部分全等，对称轴是任意对称两点连线的垂直平分线。图形的轴对称问题，解决的关键在于运用好“轴对称变换”的性质！例2 如图，在中，点E，F分别在AB，AC上，把沿着EF对折，恰使点A落在BC上点D处，且使。（1）猜测AE与BE的数量关系，并说明理由。（2）求证：四边形AEDF是菱形。【观察与思考】第一，搞清楚背景图形（略）；第二，搞清楚这个特殊的“折叠”（轴对称）和新图形的特点：（因它们关于EF对称 ）。在中，得。这就是问题（1）的

4、结论和理由。而由，得，又，立刻推知和均是等边三角形，四边形AEDF当然就是菱形。图形轴对称变换的问题，解决的关键就是把轴对称的性质（对称 的图形全等及对称轴是对应点连线的垂直平分线）和背景图形的特征恰当结合。三、图形的旋转变换引出的计算与证明这类问题解决的思考应当遵循以下两点：、把背景图形研究清楚；、把图形旋转的基本性质：“对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转角”和“旋转前后对应的两部分是全等的”。始终作为思考的指导。例1 如图，将绕点A顺时针旋转60°后，得到，且为BC的中点，则等于（ ）ACBDA、 1：2 B、 C、 D、1：3【观察与思考】联合观察背景图形和旋转后的图形：（1

5、）中，（旋转角），所以，是等边三角形；（2）由恰为BC之中点，知，即中，为斜边BC上的中线。将（1），（2）结合，则在中，进而在中，特别地还有。对图形有了这些深入而具体的认识，立刻得出：解：应选D。25.（14分）已知中，、是边上的点，将绕点旋转，得到，连结.（1）如图1，当，时，求证：（2）如图2，当时，与有怎样的数量关系？请写出，并说明理由.（3） 如图3，在（2）的结论下，当，与满足怎样的数量关系时，是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必说明理由）25、（1）证明：如图1 旋转得到又 （2） 理由：如图2旋转得到 （SSS） （3），或1 【说明】可以看出，从背景，旋转两者结合的角度深入研究新构成的图形，把握其各种隐性的特征，是迅速，正确地获得解的关键。由以上的解析使我们体会到：解答关于图形变换的问题，应注意两个角度的“结合”：第一个角度，要充分而恰当地将背景图形的性质和变换本身的性质相结合，这样才容易看清楚新图形的性质；第二个角度，要充分而恰当地将图