华理高数答案

1、第2章 （之1）第2次作业教学内容:2.1 导数概念*1. 设，试用导数定义求.解：.*2. 试用导数定义计算下列函数的导数：（1）， 求； （2），求；（3），求.解：（1）.（2） ， 即，.（3） ， .*3. 求曲线 在点 处的切线方程.解：曲线在点处切线的斜率为 ，所以切线方程为 .*4. 化学反应速率通常是以单位时间内反应物浓度的减少或生成物浓度的增加来表征。设有一化学反应，反应物浓度与反应开始后的时间 之间有如下关系：. 试表出时刻 到时刻 这段时间内的平均反应速率； 表出在时刻 的瞬间化学反应速率。解：；.*5. 已知沿直线运动物体的运动方程为：，求物体在时刻的（瞬时）速度。解

2、：，物体在时刻 的（瞬时）速度 .*6. 在作等速旋转时，角速度是旋转角度与所花时间之比，已知非匀速旋转时，旋转角与时间 有如下关系：。试导出非匀速旋转时的（瞬时）角速度表达式.解： ， ，.*7.在时间段流经导线某个截面的电量为,则称为时间段上的平均电流强度，记为,现已知时间段内流经导线这个截面的电量为,试求在时刻导线于该截面上的电流强度.解:, ,.第2章 （之2）第3次作业教学内容: 函数极限的定义 *1. 试证：.证明：，取 满足条件，有，.*2. 试证：(1)； (2).证明：(1)，限定 ，则有 ，,所以只要取,当时,就有.从而也就证明了.(2)，限定 ，则有 ，即 ，若使，取.

3、于是，当 时，有 .*3 写出的定义，并用定义证明。解：（），则 。（），若限制 ，则可令。当 时，必有， 即. *4. 讨论函数 在点 处的左、右极限.解：，.*5. 讨论下列函数在所示点处的左右极限： 在 取整数值的点； 符号函数 在点 处.解： 为整数，。，.*6.从极限的定义出发，证明：.证明：只需证明即可。由于：，即：，取，则当时，有成立，即：.*7.设，若存在的某个去心邻域，使当时，成立，试问是否必有成立，为什么？解：不一定。 如在点.第2章 （之3）第4次作业教学内容:极限的性质 2.2.3无穷小与无穷大1.填充题：*（1） 用M-X语言写出极限的定义为：用M-语言写出极限的定义

4、为：用-语言写出极限的定义为：*（2）设，则当 _ 时 为无穷小； 当 _ 时, 为无穷大。答案: .2. 选择题：*（1）设，则时，（ ）（A）是无界量，也是无穷大量；（B）是无界量，不是无穷大量；（C）不是无界量，是无穷大量；（D）不是无界量，也不是无穷大量. 答（B）*（2）答：（D）*（3） 答：A*3. 解：,，.*4、从定义出发证明:证明：因为所以由局部有界性定理可知.又因为所以. 取,当时,有,所以 .第2章 （之4）第5次作业教学内容：极限的运算法则 A-D1 选择题*（1） （ ）*（2） （ ）*（3）答：C*（4） ( )答：D2 求下列极限：*； *； *； *（4）；

5、 *；*解：.，有界，. .*3. 解：.*4.解：,。 ，.*5.解：.第2章 （之5）第6次作业教学内容：极限的运算法则E 2.2.5无穷小的比较*1试求下列极限： （1）； （2）； （3）。解：（1） =（2） .（3）.*2试求的导数。解：，.*3。.解：.4选择题*（1）答：A*(2) 分析：，.*(3)设，则在处 ( )（A） （B）（C） （D）不可导*5适当选取、的值，使下式成立：（当）.解：，时，上式等价于，.6当时，试确定下列各无穷小对的阶数.*（1）；*（2）.解：（1）， 阶数为2。（2）， 阶数为1.*7.，试证明函数在点处可导.证明：由于时，是无穷小量，是有界量，

6、所以，.*8. .解：，则， ，.*9. 设，其中在处可导，且，试证明.证明： ，.*10. 解：.*11.（1）若当 （某个定数）时，恒有 ，且已知。证明：.（2）若对于一切正数，都有，试求：.证明：（1）依题意，使仅当时，；同理，当时，有，令则当时，同时成立，即，亦即。（2）依题意，有，及，利用（），知 .第2章 （之6）第7次作业教学内容:函数连续的概念2.3.2连续函数的运算性质2.3.3初等函数的连续性*1从定义出发证明函数在任一点 处连续。分析： ，。证明：，取，当时，函数在任一点处连续.*2讨论函数 在 点的连续性.解：， 函数在点连续.*3. .答：4试利用极限四则运算的性质，

7、重要极限，等价无穷小，基本初等函数连续性及变量变换与极限过程改写等各种已知结果，求下列极限：*（1）；解：.*（2）；解：，时，有，所以原式.*（3）；解：.*（4）.， ， ，.*5. 解：容易看出均连续.第2章 （之7）第8次作业教学内容：函数的间断点及其分类2.3.5闭区间上连续函数的性质函数可导与连续的关系2.4.2函数的和差积商的求导法则*1*2. 设 ，则 是的 _ 间断点； 是的 _ 间断点；是的 _ 间断点.答案:1、无穷；2、可去；3、跳跃.*3对怎样的值，点是函数的可去间断点？解：函数在可去间断点处极限必存在。由极限基本定理，设，则必有，其中是时的无穷小。而，另一方面，。所

8、以由得。经验证，当 时，存在，故 为所求.*4. 解：，；.*5 、指出下面函数的无穷间断点：.解：依题意， 及 是的间断点. 而. 故不是无穷间断点.又，而， 函数的无穷间断点为.*6设在上连续，且。试证：存在使成立.证：构造函数，则在上连续。且，。则由闭区间上连续函数的零值定理知，必存在一个使,即成立. 证毕.*7. 证明方程至少有一个不超过的正数根.证：令，则必在上连续。且有，故由闭区间上连续函数的零值定理知必存在一个，使得，即. 证毕.*8. 如果在区间内连续，是该区间内任意个点，试证明在内至少存在一点，使得.证：因为函数在上连续。由闭区间上连续函数最值定理有.所以，.再由闭区间上连续

9、函数的介值定理，知命题得证。证毕.*9.，一.*10. 若在上连续，且，试证明在上有界.证明：依题意，取，当时，有，于是.又当时，利用闭区间上连续函数的有界性定理，有，取，则在上有成立.*11. 讨论，在处的可导性。解：，.*12. 试问曲线 在点 处是否有切线，为什么？试简单说明之.解：没有。，即曲线在点 处没有切线.*13. 解：*14.试确定式中之值，使处处可导：解：在点处可导，所以必连续。，。，.*15. 解：*16. 设在点处可导。试证明：.证明：左式=右式.第2章 （之8）第9次作业教学内容：反函数的求导法则2.4.4复合函数求导法则2.4.5基本求导公式*1. 求下列各函数的导数

10、:； ； ； . 解：； ； ； ； .2.求下列函数的导数：*(1)；解：.*(2)；解：.*(3)；解：.*(4) 解：*(5) ；解：*(6) 解： *(7) ；解：*(8) ； 解：*(9) ；解：*(10) .解：.3. 求下列函数在指定点处的导数值：（1） ，求 ；（2），求 （3） ，求 （4） ，求 （5），求 （6），求 解答: (1).； (2).；(3).；(4).；(5).(6).4.*(1) 解：.*(2) 解：.*5.并在可导点处求出.解：由于， 所以，当时，*6.解：.7*(1)解：.*(2).解：.第2章 （之9）第10次作业教学内容：隐函数的导数及对数求导法2

11、.4.7由参数方程确定的函数的导数 极坐标系下曲线的切线问题1.*(1).证明：，.*(2).解：， 代入上式有 .*(3) 解：， 代入上式有 .*2. 解：，得 ，.3.*(1) .*(2) .解：， .4.*(1).*(2) 处的切线方程.，.5.*(1)解：.*(2) 解：.*6.设函数由方程所确定，试求.解：两边取对数，两边求导：，将（0，2）点代入上式：， 可解得.*7.证明曲线上任意点处的切线在两坐标轴之间的线段为定长.证明：对曲线方程求导有：， ，所以知曲线在点的切线斜率为，切线方程为：，令，得， 切线与轴的交点为，令，得， 切线与轴的交点为，所以切线在两坐标轴间的线段长为：.*8. 求三叶玫瑰线 上对应于 的点处的切线方程(直角坐标形式).解: 三叶玫瑰线方程可写为 。，由于对应于的点的坐标为， 所以切线方程为，即 .第2章 （之10）第11次作业教学内容：2.5高阶导数*1.解:.*2.设 均存在 2 阶导数试推导公式。解：由，得.*3.解:*4.求由方程 所确定的隐函数 的二阶导数。解：两边同时对 求导数，得 ， 两边同时再对求导数，得 ，整理得 .*5.设 ，试证 .证：，.*6.设是的反函数