单摆运动规律的研究

1、单摆运动规律的研究摘要 单摆问题是高中物理及大学普通物理实验教学中的一个基础问题。受各种因素的影响，其运动规律较为复杂。本文建立了理想模式下单摆的数学模型，现实情况下单摆的数学模型.等对单摆的运动进行了探究。 首先，本文从理想情况出发，由牛顿第二定律进行推理，建立了无阻尼小角度单摆运动模型，对单摆的运动进行了初步探究。 然后，本文又建立了无阻尼大角度单摆运动模型，进一步完善了理想模式下单摆的数学模型。 最后，本文从实际出发，考虑单摆运动中受到的阻力因素，以理想模式下单摆的数学模型为基础，建立了现实情况下单摆的运动模型，深度的对单摆运动进行了探索。关键词 简谐运动 角度 阻尼运动 单摆运动 目录

2、1、 问题的描述2、 模型假设3、 模型建立及求解 1 理想模式下单摆的数学模型 1.1 小角度单摆运动模型 1.1.1 模型建立 1.1.2 模型求解 1.1.3 结果分析 1.2 大角度单摆运动模型 1.2.1 模型建立 1.2.2 模型求解 1.2.3 结果分析 2 现实模式下单摆的数学模型 2.1 小、大阻尼单摆运动模型 2.1.1 模型建立 2.1.2 模型求解 2.1.3 结果分析四 模型分析一 问题的描述 根据平常接触到的摆钟、秋千等实物中，我们可以抽象出单摆的模型。细线一端固定在悬点,另一端系一个小球,如果细线的质量与小球相比可以忽略,球的直接与线的长度相比也可以忽略,这样的装

3、置就叫做单摆.我们从理想情况出发进行分析，并逐渐完善从而推导出单摆实际运动规律。二 模型假设1悬挂小球的细线伸缩和质量均忽略不记，线长比小球的直径大得多；2.装置严格水平； 3. 无驱动力。三 模型建立及求解1 理想模式下单摆的数学模型  图1  简单单摆模型在 t 时刻，摆锤所受切向力ft(t)是重力mg在其运动圆弧切线方向上的分力，即f(t) =mg sin(t) 完全理想条件下，根据牛顿第二运动定律，切向加速度为： a(t) = g sinq(t) 因此得到单摆的运动微分方程组：

4、 =1.1 小角度单摆运动模型q1.1.1模型建立 当摆角很小时,sin，故方程1可简化为:  1.1.2 模型求解 利用matlab软件在0, 5o分别作出方程（1）和方程（2）的解得图像  小角度单摆摆动规律  （方程（1）的解 ，*方程（2）的解）1.1.3 结果分析由图像可以看出两方程的解的图像几乎吻合，可以说明当q较小时（<5），两方程的解几乎相等，单摆运动可看为简谐运动。1.2 大角度单摆运动模型1.2.1 模型建立 当摆角很大时，方程sin »不再成立，方程（1）和方程（2）的解不再相近，1.2.2 模型求解 此时

5、利用MATLAB计算软件, 得到2000个不同摆角的的精确解.然后以摆角为横轴,利用绘图函数polt ( x , y ) 绘制出任意摆角下单摆周期的精确解的曲线%单摆周期与摆角的关系a= 0; b= pi/ 2; n= 1000; s1= 1: n; h= ( b-a) / n; h1= pi/ ( 2* n) c= 0: h1: pi/ 2 x= a; s= 0; for i1= 1: ( n+ 1) f0= 2/ sqrt ( 1-( sin( c( i1) / 2) ) 2* ( sin( x ) ) 2) / pi; for i2= 1: n x= x+ h; f1= 2/ sqrt

6、( 1-( sin( c( i1) / 2) ) 2* ( sin( x ) ) 2) / pi; s= s+ ( f0+ f1) * h/ 2; f0= f1; end disp( 1/ s) s1( i1) = s; s= 0; end plot( c, s1) xlabel( theta0/rad) ylabel( T/T0)大摆角单摆的运动规律程序如下： %建立方程( 1) Function xdot= per( t,x) xdot= -9. 8* sin( x ( 2) ) x( 1) % 建立方程( 2) Function xdot= per1( t,x) xdot= -9. 8*

7、 x( 2) x( 1) %利用ode45 求解微分方程t0= 0; tf= 10; t, x = ode45( per, t0, t f , pi/ 2, 0 ) t1, x1 = ode45 ( per1, t0, tf , pi/ 2, 0 ) plot( t, x( : , 2) , -) holdon plot( t1, x1( : , 2) , ) 1.2.3 结果分析 如图所示，随着单摆摆角的增大，单摆的周期也会增加图中两根曲线表明：大摆角振动时, 单摆的运动轨迹并不是简单的正、余弦曲线( 虽然很相似),而且,最大摆角越小,两根曲线越相似；摆角越大,分离越明显

8、2 现实模式下单摆的数学模型2.1.1 模型建立 现实情况下,绳子的质量,摆球的半径,空气的阻力等等都对单摆的摆动有影响,这些影响的主要作用就是阻止单摆的摆动,为简单起见, 可设单摆在摆动中受到阻力fz，显然阻力与摆锤的运动速度有关，即阻力是单摆线速度的函数：fz = f(v)，fz (t) =kv(t) 上式中，k>0为阻力比例系数，式中的负号表示阻力方向与摆锤运动方向相反。切向加速度由切向合力ft-fz产生，根据牛顿第二运动定律，有 因此得到修正后的单摆运动微分方程组2.1.2 模型求解 据此编写仿真程序：subp

9、lot(2,1,1)dt=0.0001; %仿真步进T=16; %仿真时间长度t=0:dt:T;%仿真计算时间序列g=9.8;L=1.5;m=8;k=3;th0=1.5; %初始摆角设置,不能超过/2v0=0; %初始摆速设置v=zeros(size(t); %程序存储变量预先初始化，可提高执行速度th=zeros(size(t);v(1)=v0;th(1)=th0;for i=1:length(t) %仿真求解开始v(i+1)=v(i)+(g*sin(th(i)-k./m.*v(i).*dt;th(i+1)=th(i)-1./L.*v(i).*dt;end %使用双坐标系统来作图 AX,B1

10、,B2=plotyy(t,v(1:length(t),t,th(1:length(t),'plot');set(B1,'LineStyle','-'); %设置图线型set(B2,'LineStyle',':');set(get(AX(1),'Ylabel'),'String','线速度v(t)m/s');%作标注set(get(AX(2),'Ylabel'),'String','角位移th(t)/rad');xlabel('时间t/s');legend(B1,'线速度v(t)',2);legend(B2,'角位移th(t)',1);增大阻力系数k=50可以得大阻尼时单摆的运动情况2.1.3 结果