初中数学竞赛标准教程及练习未知数比方程个数多的方程组解法_第1页
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文档简介

1、初中数学竞赛精品标准教程及练习(55)未知数比方程个数多的方程组解法一、内容提要在一般情况下,解方程或方程组,未知数的个数总是与方程的个数相同的,但也有一些方程或方程组,所含的未知数的个数多于方程的个数,包括在列方程解应用题时,引入的辅助未知数. 解这类方程或方程组,一般有两种情况:一是依题意只求其特殊解,如整数解,或几个未知数的和(积)等,无需求出所有的解;二是在实数范围内,可运用其性质,增加方程或不等式的个数. 例如,利用取值范围,非负数的性质等.二、例题例1. 在实数范围内,解下列方程或方程组:;x2+xy+y23x3y+3=0; 解: 根据在实数范围内,二次根式被开方数是非负数,分母不

2、等于零.得不等式组 解得x2=1而x1, 整理为关于x的二次方程,利用方程有实数根,则判别式 0.x2+(y3)x+(y23y+3)=0.x是实数,0.即( y3)24(y23y+3)0 . 解得 (y1)20 . 而(y1)20. y=1.是原方程的解.消去一元后,利用实数平方是非负数性质. 由得z=2xy . 代入得2xy(2xy)24=0. 整理配方,得(x2)2+(y2)2=0.相加得0的两个数,只有是互为相反数.而 x, y 是实数,(x2)20,(y2)20.满足等式的条件只能是:.方程组的解是 本题在消去z后,也可以仿,写成关于 x的二次方程,用判别式求解.例2. 一个自然数除以

3、4余1,除以5余2,除以11余4,求适合条件的最小自然数.分析:本题有多种解法:交集法, 设三元,消去一元,用二元一次方程求整数解,设二元,求二元一次方程的整数解.解法一:除以4余1的自然数集合:1,5,9,13,17,21,37;除以5余2的自然数集合:2,7,12,17,37;除以11余4的自然数集合:4,15,26,37,.三个集合的公共元素中最小的自然数是37. 解法二:设所求的自然数 为4a+1或5b+2 或11c+4 (a,b,c都是自然数). 得方程组 由(1)得 a=. 设 (k为正整数), 那么 b=4k1, a=5k1.由(2)得 c=.要使为整数,k取最小正整数2.这时c

4、=3 (也可求得b=7, a=9), 所求自然数 是37.解法三:设所求的自然数为x, 则, 都是自然数. >> . + 也是自然数. 设y=+ . 去分母,得 200y=31x47.x=.y取最小正整数5,能使为整数.x=37, 即最小的自然数是37.例3. 有甲,乙,丙三种货物.若购买甲3件,乙7件,丙1件共需3.15元;若购买甲4件,乙10件,丙1件共需4.20元.问购买甲、乙、 丙各1件共需几元?解:设甲,乙,丙每件分别为x,y,z元.根据题意,得 ( 依题意只要求出x+y+z的值)(1)×3(2)×2:x+y+z=1.05(元). 答:买甲、乙、 丙各

5、1件共需1.05元.例4. 甲、乙两车分别从A、B两站同时出发,相向而行,当甲车走完全程的一半时,乙车距A站24公里;当乙车走完全程的一半时,甲车距B站15公里.求A、B两站的距离.解:设A、B两站的距离为x公里,并引入辅助未知数V甲,V乙分别表示甲、乙两车的速度. 根据题意,得 ( 这方程组可同时消去两个辅助未知数.) 方程(2)左、右不等于零 (1)÷(2)得.解得, x=40;或 x=12 (不合题意 舍去). 答:A、B两站的距离为40公里.三、练习551. 甲,乙,丙,丁,戊做一件工程,甲,乙,丙合作需7.5小时,甲,丙戊合作需5小时,甲,丙,丁合作需6小时,乙,丁,戊合作

6、需4小时.问五人合作需几小时?2. 服装厂向百货商店购买甲、乙两种布,共付42.9元,售货员收款时发现甲、乙两种布单价对调了,退给厂方1.6元,厂方把这1.6元又买 了甲、乙两种布各1尺.问服装厂共买布几尺?3. 两只船分别从河的两岸同时对开,速度保持不变,第一次相遇时,距河的一岸700米,继续前进到达对岸后立即返回,第二次相遇时,距河的另一岸400米,求河的宽.4. 游泳运动员自闽江逆流而上,在解放大桥把水壶丢失,继续前游20分钟才发现,于是返回追寻,在闽江大桥处追到,已知两桥相距1000米,求水流的速度.5. 已知长方形的长和宽均为整数,且周长的数值与面积的数值相等.问这长方形的长和宽各是

7、多少?6. 有一队士兵,若排成3列纵队,则最后一行只有1人;若排成5列纵队,则最后一行只有7. 人;排成7列纵队,则最后一行只有6人.问这队士兵最少是几人?7. 求下列方程的实数解: 5x2+6xy+2y214x8y+10=0 (x2+1)(y2+4)=8xy 8. 一件工程,如果甲单独完成所需的时间是乙,丙合做,完成这件工程所需时间的a倍;如果乙单独完成所需的时间是甲,丙合做,完成这件工程所需时间的b倍.(其中b>a>1),那么丙单独完成所需的时间是甲,乙合做,完成这件工程所需时间的多少倍?9. 甲,乙两车从东站,丙,丁两车从西站,同时相向而行.甲车行120公里遇丙车,再行20公里遇丁车;乙车在离西站126公里处遇丙车,在中途遇丁车.求东西两站的距离.10. 三辆车A,B,C从甲到乙.B比C迟开5分钟,出发后20分钟追上C;A比B迟开10分钟,出发后50分钟追上C.求A出发后追上B的时间.11. 学生若干人住宿,如果每间4人,有20人没房住;如果每间8人,则有一间不满也不空.求学生人数.12.一只船从甲码头顺水航行到乙码头用5小时,由乙码头逆水航行到甲码头需7小时。问

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