大学物理竞赛专题辅导之磁学

1、理理 学学 院院 物物 理理 系系 张晚云张晚云一、磁感应强度的计算；二、磁力和力矩的计算；三、介质中磁场的有关计算。本讲主要内容大学物理竞赛培训第五讲大学物理竞赛培训第五讲一、磁感应强度的计算对于运动点电荷：对于运动点电荷：200 4rrqB 注意矢量叉注意矢量叉积的运算积的运算对于载流导体：对于载流导体：方法方法204rrlIdBdBQ0 用毕用毕萨定律萨定律方法方法典型带载流体的磁强典型带载流体的磁强 磁场叠加原理磁场叠加原理熟记长直电流、圆电流、长直螺线管、螺绕环、无熟记长直电流、圆电流、长直螺线管、螺绕环、无限大面电流、无限长柱面限大面电流、无限长柱面/ /体电流的磁场分布。体电流的

2、磁场分布。 内内I Il ld dB BL L0方法方法利用环路定理求特殊对称分布带电体的场强利用环路定理求特殊对称分布带电体的场强大学物理竞赛培训第五讲大学物理竞赛培训第五讲例例1 1 两根长直导线沿半径方向引到铁环上两根长直导线沿半径方向引到铁环上A、B 两点，两点，并与很远的电源相连，如图所示。求：环中心的磁感并与很远的电源相连，如图所示。求：环中心的磁感应强度。应强度。ABIIO BI10dl 40r2=1l1解：解：=I1I2R2R1l2l10=B=B1B2 BI20dl 40r2=2l2I l=I21l21大学物理竞赛培训第五讲大学物理竞赛培训第五讲ABIOIl21l21一、磁感应

3、强度的计算其他几种变化：其他几种变化：AoB0:0 B BO O处处环心环心OR 11200RBOR 11200RB大学物理竞赛培训第五讲大学物理竞赛培训第五讲I II I一、磁感应强度的计算1IIabco200 B12IIoab00 B12abcdoII00 B大学物理竞赛培训第五讲大学物理竞赛培训第五讲一、磁感应强度的计算例例2 2 半径为半径为R的木球上绕有细导线，所绕线圈很紧密，的木球上绕有细导线，所绕线圈很紧密，相邻的线圈彼此平行地靠着，以单层盖住半个球面，相邻的线圈彼此平行地靠着，以单层盖住半个球面，共有共有N 匝。如图所示。设导线中通有电流匝。如图所示。设导线中通有电流I 。求：

4、在。求：在球心球心O处的磁感应强度。处的磁感应强度。2R解：解：=yRcosqRsinq=xxyxyqdqoRq qNdNd=22Iy2()+ 0Bd=x23 2y2Nd=q qNdI 0cosq q R22=Bq qNdI 0cosq q R2 0=NI 0R4思考：若变为旋转带电球面（体）呢？思考：若变为旋转带电球面（体）呢？大学物理竞赛培训第五讲大学物理竞赛培训第五讲一、磁感应强度的计算变变1 1 在一圆锥台的侧面均匀绕有在一圆锥台的侧面均匀绕有N 匝导线匝导线, ,其中通有电其中通有电流流I, , 尺寸如图所示。求锥顶处尺寸如图所示。求锥顶处P点的磁感应强度。点的磁感应强度。 Pbbb

5、I解：解：xbadq qPxb2a2()+ 0Bd=x23 2a2Idq q=axtgb=IdINldcos=bxdq q2 0=xINbxdq q2sin =B2 0 xINbxdq q2sincosbq qcos2bq q=2 0INbq q2sinln2大学物理竞赛培训第五讲大学物理竞赛培训第五讲一、磁感应强度的计算变变2 2 有一蚊香状的平面有一蚊香状的平面N 匝线圈，通有电流匝线圈，通有电流I ，每一，每一圈近似为一圆周，其内外半径分别为圈近似为一圆周，其内外半径分别为a及及b 。求圆心处。求圆心处 P点的磁感应强度。点的磁感应强度。 Pab.解：解：Pab.drrb=dINIdra

6、d2Br 0=dI()2r 0=bNIdra ()2r 0bNIdraB=ba()2 0bNIa=lnba思考：若将该平面沿直径折成直角呢？思考：若将该平面沿直径折成直角呢？大学物理竞赛培训第五讲大学物理竞赛培训第五讲I I一、磁感应强度的计算变变3 3 如图，在均匀磁场如图，在均匀磁场B中有一总匝数为中有一总匝数为N的均匀密绕的均匀密绕平面螺旋线圈，其半径由平面螺旋线圈，其半径由a绕至绕至b，并通有电流并通有电流I 。求。求线圈平面的磁矩。线圈平面的磁矩。 ab.解：解：oBBPab.drrb=dINIdradrrIabNrdIdpm22 mmdpp badrrIabN2 )(322baba

7、NI 090sinBpMm )(322babaNIB 思考：若将该平面线圈换成旋转带电圆盘呢？思考：若将该平面线圈换成旋转带电圆盘呢？大学物理竞赛培训第五讲大学物理竞赛培训第五讲一、磁感应强度的计算例例3. 3. 一半径为一半径为R2 带电薄圆盘带电薄圆盘, ,其中半径为其中半径为R1 的阴影部分均匀带的阴影部分均匀带正电荷正电荷, ,面电荷密度为面电荷密度为+ + , ,其余部分均匀带负电荷其余部分均匀带负电荷, ,面电荷密度面电荷密度为为 , ,当圆盘以角速度当圆盘以角速度 旋装转时旋装转时, ,测得圆盘中心点测得圆盘中心点o 的磁感应的磁感应强度为零强度为零, , 问问R1 与与R2 满

8、足什么关系？满足什么关系？ 1R2Ro解：带电圆盘转动时解：带电圆盘转动时, ,可看作无数个圆电流的磁场在可看作无数个圆电流的磁场在o 点的迭加点的迭加r rdrdr半径为半径为 r r , ,宽为宽为 d dr r 的圆电流的圆电流: :dI= rdr磁场：磁场：dB = 0dI/2r = 0R/2 10021RdrB 210R )(2121211200 RRRRdrB 122R RR RB BB B 则则有有已已知知：大学物理竞赛培训第五讲大学物理竞赛培训第五讲一、磁感应强度的计算变变1.1.有一闭合回路由半径为有一闭合回路由半径为a和和 b 的两个同心共面半圆连接而成的两个同心共面半圆连

9、接而成, ,如图其上均匀分布线密度为如图其上均匀分布线密度为 的电荷的电荷, ,当回路以匀角速度当回路以匀角速度 绕过绕过 o点垂直于回路平面的轴转动时点垂直于回路平面的轴转动时, ,求圆心求圆心o点处的磁感强度的大小点处的磁感强度的大小. .解解:令带电的大半圆线圈和小半圆线圈令带电的大半圆线圈和小半圆线圈转动产生的磁感应强度分别为转动产生的磁感应强度分别为B1、B2 ，oab带电线段带电线段cd 转动产生的磁感应强度为转动产生的磁感应强度为B3.B B= =B B1 1+ +B B2 2+ +B B3 3 21b cdbB2101 40 22a 40 aIB2202 drd 223 bar

10、dIB203 abln20 abBln20 大学物理竞赛培训第五讲大学物理竞赛培训第五讲一、磁感应强度的计算变变. .如图半径为如图半径为R的均匀带电无限长直圆筒，电荷面的均匀带电无限长直圆筒，电荷面密度密度 ，筒以速度，筒以速度 绕其轴转动。求圆筒内部的绕其轴转动。求圆筒内部的B。Ri 思路：当成螺线管看待思路：当成螺线管看待LRLRI 22总总 RNILNnIBOO 总总0平平行行轴轴向向右右方方向向 :思考：（思考：（1）若变为旋转带电球圆柱筒呢？）若变为旋转带电球圆柱筒呢？ (3) 若转速随时间变化呢？若转速随时间变化呢？大学物理竞赛培训第五讲大学物理竞赛培训第五讲一、磁感应强度的计算

11、 例例4 4 在半径为在半径为R的长圆柱形导体内与轴线平行地挖去一半径为的长圆柱形导体内与轴线平行地挖去一半径为r 的的圆柱形空腔体圆柱形空腔体, ,如图。电流如图。电流I在横截面内均匀分布。在横截面内均匀分布。 (1)分别求圆柱分别求圆柱轴线上和空心部分轴线上的磁感应强度的大小；轴线上和空心部分轴线上的磁感应强度的大小；(2)空心处任一点空心处任一点磁感应强度。磁感应强度。 aRdrO O. .Rdroo 用用补偿法补偿法：小圆柱体通有等量反向电流密度。：小圆柱体通有等量反向电流密度。j j=RI()2r2 =Ij jr2=RI()2r2r2设小圆柱体中的电流为设小圆柱体中的电流为故大圆柱体

12、轴线上的磁感应强度大小为故大圆柱体轴线上的磁感应强度大小为2 d=0BR()2r2r2I 0大学物理竞赛培训第五讲大学物理竞赛培训第五讲一、磁感应强度的计算=Ij jd2I=R()2r2d2()0B2=R2r2dI 0 （2 2）小圆柱体的电流在）小圆柱体的电流在O 点的磁感应强度为零，点的磁感应强度为零， 所以所以O 的磁场等于大圆柱体电流在该点的磁场。的磁场等于大圆柱体电流在该点的磁场。 . .Rdroo 大学物理竞赛培训第五讲大学物理竞赛培训第五讲一、磁感应强度的计算B(3)(3)空心部分中任一点空心部分中任一点P的磁感应强度的磁感应强度RrdIoBPoo 1r 1B2r2Bx2L1Io

13、o 2I1LydPB1012rjB 2022rjB 21BBB 102rj 202rj )(2210rrj dj 20 空腔内为垂直于空腔内为垂直于 的均匀磁场：的均匀磁场：d)rR(IdB2202 大学物理竞赛培训第五讲大学物理竞赛培训第五讲一、磁感应强度的计算练习：如图，沿练习：如图，沿Z轴放置两根相互绝缘的长直非磁性导体，其中轴放置两根相互绝缘的长直非磁性导体，其中的电流分别沿的电流分别沿Z轴的正方向和负方向，电流强度均为轴的正方向和负方向，电流强度均为I，图中画，图中画斜线部分为两导体的正截面，设两圆的半径均为斜线部分为两导体的正截面，设两圆的半径均为R，两圆心的间，两圆心的间距也为距

14、也为R，且每根导体中的电流都只均匀地分布在其自身的正截，且每根导体中的电流都只均匀地分布在其自身的正截面内。试求两根导体之间空白区域内的磁场分布。面内。试求两根导体之间空白区域内的磁场分布。xy大学物理竞赛培训第五讲大学物理竞赛培训第五讲一、磁感应强度的计算二、磁力和力矩的计算、洛仑兹力、洛仑兹力B Bq qf fm m v2、安培力、安培力 B Bl lI IF FF Fdd在均匀磁场中在均匀磁场中B Br rI IB Bl lI IF F 起起末末3、磁力矩（匀场中）、磁力矩（匀场中）B Be eN NI IS SM M n3、磁力（矩）的功、磁力（矩）的功 IA应特别注意霍耳电势的产生机

15、理及其应用应特别注意霍耳电势的产生机理及其应用大学物理竞赛培训第五讲大学物理竞赛培训第五讲二、磁力和力矩的计算关于洛仑兹力应注意关于洛仑兹力应注意B Bq qf fm m v(1) (1) 在均匀磁场中在均匀磁场中B B 匀速圆周运动匀速圆周运动不不垂垂直直与与B B带电粒子作螺旋运带电粒子作螺旋运动动qBmkkTdt2cos q q 带电粒子螺旋运动带电粒子螺旋运动到某指定点的条件到某指定点的条件(2) (2) 在非均匀磁场中在非均匀磁场中B B 横向漂移横向漂移不不垂垂直直与与B B螺旋运动螺旋运动+ +磁约束磁约束大学物理竞赛培训第五讲大学物理竞赛培训第五讲例例1 1 在一个电视显象管的

16、电子束中，电子能量为在一个电视显象管的电子束中，电子能量为E，这，这个显象管的取向使电子水平地由南向北运动，该处地球个显象管的取向使电子水平地由南向北运动，该处地球磁场的垂直分量向下，大小为磁场的垂直分量向下，大小为B 。(1)电子束受地磁场的电子束受地磁场的影响将偏向什么方向？影响将偏向什么方向？ (2)电子的加速度是多少？电子的加速度是多少？ (3)电电子束在显象管内在南北方向上通过子束在显象管内在南北方向上通过y y时将偏转多远？时将偏转多远？vB东东南南西西北北fm解：解：(1) (1) 电子束向东偏转电子束向东偏转2Emv=(2)BFq=v=anFm=Bqvm大学物理竞赛培训第五讲大

17、学物理竞赛培训第五讲二、磁力和力矩的计算BRq=vm(3)(3)电子的轨迹为一圆周电子的轨迹为一圆周yxxyxRovB东东南南西西北北fm西西东东Rx =x =R2R2y112()=R RyR2偏转量为：偏转量为：2=2yR大学物理竞赛培训第五讲大学物理竞赛培训第五讲二、磁力和力矩的计算例例3 3 一长一长l、高高h、宽宽b的矩形管，其上下两侧面为金属板，的矩形管，其上下两侧面为金属板，前后两面为绝缘板，用导线将两金属板相连，金属板和前后两面为绝缘板，用导线将两金属板相连，金属板和导线的电线可忽略，今有电阻率为导线的电线可忽略，今有电阻率为的高温高压等离子的高温高压等离子体气流过矩形管，其流速

18、与管两端压强成正比，且流速体气流过矩形管，其流速与管两端压强成正比，且流速为为vo时管两端压强为时管两端压强为Po，试计算在垂直于矩形管左右平，试计算在垂直于矩形管左右平面的方向加感应强度为面的方向加感应强度为B B 的均匀磁场后，管中等离子气的均匀磁场后，管中等离子气的流速。的流速。大学物理竞赛培训第五讲大学物理竞赛培训第五讲二、磁力和力矩的计算vhbBmf+ + + + +qlv mf HE解解：设载流子电量为设载流子电量为q，载流子浓度为载流子浓度为n它受到与它受到与v方向相反的方向相反的洛仑兹力为洛仑兹力为f =qvB在上下方向上利用电流在上下方向上利用电流密度与电阻率的关系密度与电阻

19、率的关系 HEnqj BEH nqB nBf2 bhlBF2 大学物理竞赛培训第五讲大学物理竞赛培训第五讲二、磁力和力矩的计算vhbBmf+ + + + +qlv mf HE bhlBF2 因为此力方向与因为此力方向与v反向，故将在管两端产生附加压强反向，故将在管两端产生附加压强 lBbhFp2 p pp pp p 0实实际际：由题设：由题设：00pp 02001plB 大学物理竞赛培训第五讲大学物理竞赛培训第五讲二、磁力和力矩的计算练习：磁流体的工作原理如图所示，横截面为矩形的管道长为练习：磁流体的工作原理如图所示，横截面为矩形的管道长为l，宽为宽为a，高为，高为b，上、下两个侧面是绝缘体，

20、左右两侧面为电阻可，上、下两个侧面是绝缘体，左右两侧面为电阻可略的导体，且这两个侧面与电阻为略的导体，且这两个侧面与电阻为的负载相连。整个管道置于的负载相连。整个管道置于匀强磁场区域，且匀强磁场区域，且垂直于水平面向上。管道内沿长度方向流有垂直于水平面向上。管道内沿长度方向流有电阻率为电阻率为 的电离气体，气体流速处处相等，并设所受摩擦阻力的的电离气体，气体流速处处相等，并设所受摩擦阻力的大小与流速成正比。现在管的两端维持恒定的压强差大小与流速成正比。现在管的两端维持恒定的压强差，无磁场，无磁场时气体的流速为时气体的流速为v 。试求：有磁场存在时，此发电机的电动势。试求：有磁场存在时，此发电机

21、的电动势。ablRB0大学物理竞赛培训第五讲大学物理竞赛培训第五讲二、磁力和力矩的计算例例4 4 半径为半径为R 的平面圆形线圈中载有电流的平面圆形线圈中载有电流I2，另一无限，另一无限长直导线长直导线AB 中载有电流中载有电流I1。设设AB通过圆心，并和圆形通过圆心，并和圆形线圈在同一平面内（如图）线圈在同一平面内（如图）, ,求圆形线圈所受的磁力求圆形线圈所受的磁力. . RI1I2BA.FdRxy2I dlqqd2IFdFdFd解：解：BFd=2I dlq qRd=dl0F=y 由对称性由对称性acosI 02=1BRq q19010sinBFd=2I dl=2Iq qRdcosI 02

22、 Rq q1大学物理竞赛培训第五讲大学物理竞赛培训第五讲二、磁力和力矩的计算Fd=xFd cosq q=2Iq qdI 021=F=xFFd x2=2Iq qdI 021 0=2II 01Fd=2Iq qRdcosI 02 Rq q1.FdRxy2I dlqqd2IFdFdFd大学物理竞赛培训第五讲大学物理竞赛培训第五讲二、磁力和力矩的计算变变1:1:若若AB与圆心相距与圆心相距d (d R ) 仍在同一平面内。求圆仍在同一平面内。求圆线圈所受的磁力。线圈所受的磁力。RI1I2BAdFdRxy2I dlqqdFd2I0F =y由对称性由对称性cosI 02Rq q1d+()=1B1BFd=2I

23、 dlFd=xFd cosq q=2Iq qRdcosI 02Rq q1d+()cosq q=F=xFFd x=2Iq qRdcosI 02Rq q1d+()cosq q 20()2II 0R1d22d1d d大学物理竞赛培训第五讲大学物理竞赛培训第五讲=2Iq qRdcosI 02Rq q1d+()二、磁力和力矩的计算变变2:2:若直电流垂直于圆电流所在平面放置且与圆线圈相若直电流垂直于圆电流所在平面放置且与圆线圈相切。求圆线圈所受的磁力矩。切。求圆线圈所受的磁力矩。RI21Ixyl dI21Bq qq qrIB 2101 r所受的磁场力：所受的磁场力：电流元电流元dldlI I2q q q

24、 qsin2sin21021dlrIIdlIBdF 方向垂直线圈平面向外，对方向垂直线圈平面向外，对y y轴的力矩轴的力矩dlIIrdFdMq q q q2210sin2sin q q2q qq qRdRddl2)2( q qq q dRIIdM2210sin RIIdRIIdMM21022221021sin q qq q 大学物理竞赛培训第五讲大学物理竞赛培训第五讲二、磁力和力矩的计算其他：求下列电流之间的相互作用：其他：求下列电流之间的相互作用：IIo大学物理竞赛培训第五讲大学物理竞赛培训第五讲二、磁力和力矩的计算例例5 5如图，一质量为如图，一质量为m的的U形导线，其上段长形导线，其上段

25、长l，处在均匀磁场，处在均匀磁场B中，两端浸没在水银槽中。当接通电流脉冲时，这导线就会从水中，两端浸没在水银槽中。当接通电流脉冲时，这导线就会从水银槽中跳起来。试由导线跳起所达到的高度银槽中跳起来。试由导线跳起所达到的高度h 计算电流脉冲的电计算电流脉冲的电荷量荷量qlBHgI解：解：qBl= Bifldt= dt0t0tBil= dt0tmv0=mv f dt0t由动量原理：由动量原理：v0=0)(qBl=mv上跳过程上跳过程122=mvmghqBl=m2gh大学物理竞赛培训第五讲大学物理竞赛培训第五讲二、磁力和力矩的计算例例6 6 如图，在均匀外磁场如图，在均匀外磁场B中，中， 有一边长为

26、有一边长为l、载有电流载有电流I 的正的正方形线圈，线圈可以绕通过中心的竖直轴方形线圈，线圈可以绕通过中心的竖直轴OO转动，其转动惯量转动，其转动惯量为为J。求线圈在平衡位置附近作微小振动的周期。求线圈在平衡位置附近作微小振动的周期T 。BIoo解：设磁力矩为解：设磁力矩为M q qMBsin=pm l2Iq qB由转动定律由转动定律: :J2dtM =q qd2l2Iq qBJdt=q qd2式中的负号是因为磁力矩和式中的负号是因为磁力矩和q 角符号相反角符号相反0+l2Iq qBJ2dt=q qd20+q q2dt=q qd22大学物理竞赛培训第五讲大学物理竞赛培训第五讲二、磁力和力矩的计

27、算 变变1 1 一罗盘针质量为一罗盘针质量为m、长为、长为l，可视为均匀细棒，并可绕过中，可视为均匀细棒，并可绕过中点的驱动轴在水平面内自由转动。若已知罗盘针的磁矩为点的驱动轴在水平面内自由转动。若已知罗盘针的磁矩为p , ,在在方向指北、水平分量为方向指北、水平分量为B的地磁场中相对正北方向作小角摆动，的地磁场中相对正北方向作小角摆动，求其摆动频率。求其摆动频率。 pmBqMsinpmq q=BMpmq q=Bd2q qdt2=J+d2q qdt2pmq q=0BJ解：解： =pmBJ1212 =pmBml2112 =pmBJfm大学物理竞赛培训第五讲大学物理竞赛培训第五讲二、磁力和力矩的计

28、算练习练习1如图，在绝缘水平桌面上放置一半径为如图，在绝缘水平桌面上放置一半径为r r、质量为、质量为mm的载流圆环，其竖直上方另有一完全相同但通有等大、反向的载流圆环，其竖直上方另有一完全相同但通有等大、反向的电流的圆环，若它们在相距为的电流的圆环，若它们在相距为h h时恰好能使上圆环漂浮不动。时恰好能使上圆环漂浮不动。1)1)、试求此时两圆环中的电流强度大小；、试求此时两圆环中的电流强度大小；2)2)、若使上圆环保持水平，并使其稍稍偏上或偏下，则圆环、若使上圆环保持水平，并使其稍稍偏上或偏下，则圆环将上、下振动，试求振动周期将上、下振动，试求振动周期。hrr大学物理竞赛培训第五讲大学物理竞赛培训第五讲二、磁力和力矩的计算三、介质中磁场的有关计算磁化强度矢量与磁化电流的关系磁化强度矢量与磁化电流的关系nMjmmIMmIl dMabcd磁介质中的磁场磁介质中的磁场M MB BH H 0H HM Mm m H HH HB Br r 0m mr r 1大学物理竞赛培训第五讲大学物理竞赛培训第五讲例例1 1 在均匀磁化在均匀磁化( (磁化强度为磁化强度为M) )的无限大磁介质中的无限大磁介质中, ,有一高为有一高为h、半径为半径为r (r r故磁化电流可等效为载流长直螺线管故磁化电流可等效为载流长直螺线管M Mi iI In