向量与圆锥曲线

1、圆锥曲线与向量的交汇；QQ;406426941湖南祁东育贤中学 周友良 汪美云 谭永长 421600由于点的坐标也可视为向量的坐标，因此许多解析几何问题均可与向量知识进行综合高考对解析几何与向量综合考查，采取了新旧结合，以旧带新，使新的内容和旧的内容有机地结合在一起设问，就形成了新的高考命题的热点例1已知常数m > 0 ，向量a = (0, 1)，向量b = (m, 0)，经过点A(m, 0)，以a+b为方向向量的直线与经过点B(- m, 0)，以b- 4a为方向向量的直线交于点P，其中R(1) 求点P的轨迹E；(2) 若，F(4, 0)，问是否存在实数k使得以Q(k, 0)为圆心，|Q

2、F|为半径的圆与轨迹E交于M、N两点，并且|MF| + |NF| =若存在求出k的值；若不存在，试说明理由解(1) a+b = ( m,)， 直线AP方程为；又b - 4a =(m, - 4), 直线NP方程为；由、消去得 ，即 故当m = 2时，轨迹E是以(0, 0)为圆心，以2为半径的圆：x2 + y2 = 4；当m > 2时，轨迹E是以原点为中心，以为焦点的椭圆：当0 < m <2时，轨迹E是以中心为原点，焦点为的椭圆(2)假设存在实数k满足要求，此时有圆Q：(x- k)2 + y2 = (4- k)2 ;椭圆E：；其右焦点为F(4 , 0 )，且由圆Q与椭圆E的方程联

3、立得2 x 2- 5kx + 20k- 30 = 0, 设M(x1, y1), N(x2, y2), 则有， =25k2- 4×2(20k- 30)，又 |MF| =, |NF| =, 而； +,由此可得，由、得k = 1，且此时0故存在实数k = 1满足要求点评 本题是一向量与解析几何的综合题，且直线是由含参数的两个复合向量为方向向量所确定直线 (直线的点斜式方程)，显示出向量法的特征，深刻地揭示出向量与解析几何的内在联系与共同本质用代数的方法研究和解决几何问题另外，本题的(2)问以存在性问题呈现，强化了求解过程中的探究性，对抽象思维能力有很高的要求例2 在平面直角坐标系中，已知O

4、FP的面积为，又设向量 j = (0, 1)，且j，(1) 设，求向量的夹角的取值范围；(2) 设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，F为右焦点的椭圆经过点M，且，|OF| = c，当 |OP| 取最小值时，求椭圆的方程解 (1) 由题意得,cos=, 从而有 cos= ， cot=, 又 ，则有 (2) 设P(x0, y0)，且x0 > 0 , y0 > 0 , 由，得 (c, 0 )·(x0- c, y0) = t ,即 c(x0- c) = t , 由 SPFO =，得 ，于是 |OP| =, 当且仅当c = 2时取等号由此可得 点P的坐标为 (,又由j，得 (0, 1) = (2, 3)，即点M的坐标为 (2, 3)于是，由 |MF1| + |MF2| = 2a，得 ，即 a = 4, 从而 b2 = 12(或直接将点M的坐标代入椭圆方程中求得)故 所求椭圆的方程为 当y0 < 0时，同理可得 , P(， 从而= (2，- 1)，于是，由 |MF1| + |MF2| = 2a得 ，即 a = ,故 所求椭圆的方程为 点评 本题是向量与解析几何的综合题解答时充分运用向量的夹角公式是解题的关键对于椭圆方程的求解，先必须弄清楚 的最小值时所具有的特征且在求解时要将条件一个一个地弄清楚如对三角形面积的理解，应从不同的方向考