第十三章 数学思想方法教学案例

1、第十三章 数学思想方法教学案例学习要求1熟练掌握化归方法、数学模型方法、归纳猜想的教学案例中体现的数学思想方法教学特点；2掌握数学思想方法综合应用的特点。主要内容指导一、案例分析举例第一个案例主要反映数学教师课堂语言的问题，第二个案例主要反映数学教材的问题。分析这两个案例的目的是为揭示数学教育的主要矛盾做铺垫。1“平行四边形的面积”的公开课教师在新授课之后，为了强化学生对平行四边形面积公式的理解，作为总结，向学生提出这样一个问题：“谁能说一说，要计算平行四边形的面积，必须知道什么条件?”学生对这个问题几乎一致的回答是：“必须知道这个平行四边形的底和高。”这个回答正中教师的下怀，教师露出了满意的

2、笑容并对学生的回答给予了肯定和表扬。在我国小学数学课堂上，这样问答式的语言非常普遍。教师问题问得好，可以启发学生思维，使学生形成正确概念；但如果问题问得不好，就可能禁锢学生的思维，甚至导致学生形成错误概念。仔细分析这一问一答，按通常的理解，所得到的结论是：要想求出一个平行四边形的面积，就必须知道这个平行四边形的底和高。换句话说：如果不知道平行四边形的底和高，就无法求出这个平行四边形的面积。这个结论或许会使学生形成这样一个思维定势：只要遇到求平行四边形面积的问题，就必须先求这个平行四边形的底和高。如果求不出底和高，自然就求不出平行四边形的面积。这样一来学生在以后遇到类似下面这样的问题，也就无从下

3、手了：问题：三角形的面积为24平方厘米，求平行四边形的面积。 翻阅一些小学数学教案选发现，此类问题是普遍存在的，例如：（1）要求出长方形的周长，就必须知道这个长方形的什么?(答：长和宽)（2）圆锥和圆柱的体积在什么条件下存在三分之一的倍数关系?(答：等底等高)（3）要求一个小数的倒数，就必须先把它化为分数。分析此类语言，主要有三方面问题：(1)绝对化“平行四边形的面积”一课的教学，是教给学生一个平行四边形中“底、高、面积”三者相互依赖、相互制约的关系，即：平行四边形的面积等于这个平行四边形底和高的乘积。而这个关系可以得到的结论是：如果已知一个平行四边形“底、高、面积”三者之中的任意两个，就可以

4、求出第三个，当然也就包括：如果已知一个平行四边形的底和高，则可以得到这个平行四边形的面积。这个结论意味着已知底和高是求出相应平行四边形面积的途径之一，但决不意味着是惟一途径。事实上，能用公式求出面积的平面图形是很少的，更一般的方法是寻求图形之间的关系。 (2)不合逻辑从逻辑的角度看，一个命题与它的逆否命题是等价的，它的逆命题与它的逆命题与它的否命题是等价的，但命题与它的逆命题和否命题是不等价的。这就是说，一个真命题的逆命题和否命题未必是真的。根据平行四边形面积公式，可以知道命题，即：如果已知一个平行四边形的底和高，则可以得到这个平行四边形的面积是真的。其逆命题和否命题分别如下：逆命题：要想求出

5、一个平行四边形的面积，就必须知道这个平行四边形的底和高。否命题：如果不知道平行四边形的底和高，就无法求出这个平行四边形的面积。显然教师总结的结论是本节课所得到结论的逆命题和否命题，与原命题并不等价。(3)违背“函数”的单值性平行四边形面积公式是： 面积=底高其实是一个函数关系而函数关系所体现的对应关系是一种“允许多对一，不允许一对多”的关系，就是说确定了底和高，则面积确定；但反过来，确定了面积，并不能确定底和高。如果教师在教学平行四边形的面积公式之后，提出如下问题供学生思考，也许会得到更好的效果。如果两个平行四边形等底、等高，则可以得到什么结论?(答：这两个平行四边形面积相等。)如果两个平行四

6、边形面积相等，则可以得到什么结论?(答：只能说这两个平行四边形的底和高的乘积相等，但无法确定底和高的对应关系。)任何教学方法的顺利实施，都依赖于教师在课堂上的教学语言。教师在课堂上的每一句话都或多或少地对学生产生着影响。因此，教师无论具备了多么先进的教育思想，采用了多么先进的教学方法，都应该慎重地对待课堂上教学语言的设计，特别是“提问”式和“结论”式的语言。2对一道“判断题”的分析 在某小学五年级单元测验试卷上有这样一道判断题：“长方体的6个面一定是长方形”标准答案是“错”。通过对几位小学数学教师进行访谈，得到了如下几种解释。（1）这道题所考查的知识点是“长方体的6个面中允许相对的两个面是正方

7、形”，如果学生答“对”，说明他没有认识到这一点，所以本题应该答“错”。（2）正方形是特殊的长方形，但不是真的长方形，如果答“对”，不就没有包括正方形的情况了吗?所以本题应该答“错”。（3）“正方形是特殊的长方形”这句话在平面图形中是对的，但在立体图形中是不对的。所以本题应该答“错”。这些模棱两可、似是而非的解释令人困惑，如果学生听了这样的讲解，岂不是越听越糊涂。看来矛盾的焦点在于如何理解“正方形”与“长方形”这两个概念之间的关系。其实概念之间的关系大致来说有两种：一种是相容关系；另一种是相斥关系。如果两个概念所包括的对象(外延)有共同的部分，那么这两个概念之间的关系就是相容关系。如果两个概念所

8、包括的对象(外延)没有共同的部分，这两个概念之间的关系就是相斥关系。例如，“质数”和“偶数”这两个概念，由于2既是质数又是偶数，这两个概念所指的对象有公共部分，所以“质数”和“偶数”这两个概念符合相容关系。再如“奇数”和“偶数”这两个概念，由于奇数中没有偶数，偶数中也没有奇数，所以这两个概念属于相斥关系。相容关系中有一种特殊的情况，如果甲概念具有乙概念的全部属性，就意味着甲概念所包括的全部对象(外延)包含在乙概念所指对象(外延)中，这时称这两个概念之间的关系为属种关系，其中甲概念就是相对于乙概念的种概念，乙概念就是相对于甲概念的属概念。下面来分析长方形和正方形这两个概念之间的关系。首先将长方形

9、所具有的属性列举出来。·是四边形；·对边互相平行且长度相等；·四个角都是直角；·两条对角线长度相等且互相平分；·面积等于相邻两边长度的乘积不难发现诸如此类的所有属性正方形都是具备的，就是说长方形所包含的对象(外延)中应该含有正方形，所以长方形是相对于正方形的属概念，正方形是相对于长方形的种概念。正是由于正方形具备了长方形的所有属性，所以说“正方形是长方形”这个命题就是正确的。其实这里蕴含的意思是长方形按照相邻边的相等与不等可以分为以下两类：第一类4条边长度相等的长方形，即正方形。第二类长和宽不相等的长方形。无论是哪一类，都属于长方形这一大类中。

10、类似于此符合属种关系的概念还有：长方形与平行四边形，梯形与平行四边形，四边形与梯形，长方体与正方体，偶数与4的倍数，数与分数等。翻阅小学数学教科书，发现对此问题的叙述也有欠妥之处，这也许是出现误解的原因之一。在九年义务教育六年制小学试用课本数学第十册第5页上，对长方体的面的特征是这样叙述的：“长方体有6个面，一般都是长方形(也可能有两个相对的面是正方形)。”其中“一般”和“也可能”的用词搭配，给人一种感觉，就是这里的长方形指的是长和宽不相等的那一类长方形，无形之中偷换了概念，把叙述中的“长方形”和“正方形”之间的关系变成了相斥关系，完全违背了两个概念之间的属种(相容)关系，如果把这句话换成下面

11、的叙述也许会好一些：“长方体有6个面，每个面都是长方形(包括两个相对的面是正方形的情况)。”概念的教学应该是数学教学的重点，同时也是难点，除了揭示每一个概念的内涵和外延，还要让学生正确理解概念之间的关系。这对逻辑思维正在形成过程中的学生来说，尤为重要，教学过程中切不可模棱两可、似是而非，更不能自相矛盾。二、数学教育的基本矛盾自古以来，数学教育中就存在两种数学观的对峙。一种是把数学看作解决实际问题的知识，另一种是把数学看作训练人的心智的工具。古巴比伦、古埃及和中国代表着第一种倾向，那时的数学基本上是为解决诸如分配、丈量、建筑、交换等实际问题而产生与发展的。几乎不存在有意识的思维抽象、论证推理。而

12、古希腊的数学走的是另外一条路，古希腊的数学家常常是集哲学家、思想家于一身，喜欢抽象的概念和演绎推理，追求思维的严密，对实际问题不感兴趣。时至今日，古今中外数学教育可以说发生了很大变化，但仍然没有摆脱这两种数学观的影响。数学教育中的许多纷争其实就源于此。所谓数学教育无非研究诸如“教什么?”、“教给谁?”、“谁来教?”、“怎么教?”、“怎么学?”这样一些问题，归纳起来就是数学内容、教师的教、学生的学3个方面。如果把这3点看作一个等边三角形的三个顶点，问题的关键在于这个三角形的重心在哪里?英国教育家培根(F，Bacon，156l1626)提出的名言“知识就是力量”，捷克教育家夸美纽斯(JAComen

13、ius，15921670)在其名著大教学论(1632)里提出的“把一切知识教给一切人”大概都是学科中心论的典型口号。 18世纪法国启蒙思想家卢梭(JJRousseau，17121778)在其名著爱弥尔(1762)中所倡导的“自然教育论”，以及20世纪初美国实用主义哲学家杜威(JDewey，18591952)所倡导的“教育即生活”应该属于儿童中心论的典型代表。我国教育家陶行知所倡导的“教、学、做合一”也应属于这一范畴。所谓数学教育观其实还是教育观的问题，三角形的3个顶点忽视了任何一个，都会出现缺憾。数学教育的任务就是不断地向这个三角形的真实重心逼近。由此看来，数学教育的基本矛盾就在于“数学”与“

14、教育”这两个方面。 “新数学运动”失败的根本原因就在于过分强调“数学”一方，忽视了“教育”一方。前面案例中的问题反映出作为数学教师仅仅重视“教育”的方法是不够的，还需要对“数学”有足够的认识与理解。美国的学校数学的原则与标准已经显示出协调这一基本矛盾的倾向。综上所述，如何协调“数学”与“教育”的矛盾就成为数学教育的基本课题。三、从数学教育到教育数学数学教育的内容自然应该是数学，数学是实施数学教育的载体。问题是什么样的数学可以用于数学教育? 长期以来，数学教材的编写存在着这样一种认识，认为数学教材编写的主要矛盾是数学的逻辑体系与学生认知的心理体系之间的矛盾。 这种认识的思想基础是认为用于数学教育

15、的“数学”是一成不变、无须加工的，只需要对其进行所谓“教学法的加工”。事实果真如此吗? 数学教材的编写至少在如下5个方面是所谓“教学法的加工”所无力解决的。1对“好数学”的甄别、改造与创造用于数学教育的数学基础知识应该是客观世界的空间形式和数量关系的反映。 而同样的空间形式和数量关系往往可以用不同的数学概念、命题、结构、体系来反映。例如，罗马数字的算术与印度一阿拉伯数字的算术对同样的计算问题可以得出同样的结果，孰优孰劣需要甄别；计量单位可以是英制，也可以是市制，甚至可以是“自制”；再如，同为空间形式反映的几何，可以是欧氏几何体系，也可以是非欧几何体系。不同的反映方式，尽管都是客观世界的正确反映

16、，但反映的优劣可能是不同的，因此产生的教育效果可以是不同的。对这种“好数学”的甄别、改造乃至创造恐怕不是“教育”能够解决的。2体现数学的发生与发展任何事物的产生都有其产生的原因。在数学教学中揭示这种原因应该是体现数学发生、发展的重要手段。作为教育任务的数学都是前辈大师们留下的宝贵财富，前辈大师发现它们的缘由需要后人努力地理解；另一方面，前辈大师们发现它们的缘由可能与现实教育情境与教育对象有较大距离，如何在数学教学中自圆其说地展示数学的发生与发展就成为数学教育的现实问题。以质数概念为例，如果一定要在学生所熟悉的日常生活中找到直接的模型，恐怕是不可行的。实际上初等数论的许多概念起源于古希腊人对世界

17、人生的企盼与愿望，在现实世界中很难给出自圆其说的解释。如果把质数的产生解释为人们认识大数的思维追求可能更为恰当，因为辩证唯物主义的认识论告诉我们应该用“化繁为简”的方法认识事物，而质数其实就是能够表示并制约所有自然数的最微小元素。有了这种认识，诸如因数、质因数、分解质因数、整除等概念的发生过程就成为自然而然的事情了。 3体现数学的思想与方法在数学教学中体现数学的思想与方法，这几乎是所有国家数学教育的共识，问题是何谓数学的思想与方法? 在教学中如何体现? 事实上，数学的思想与方法，归根到底应该是辩证唯物主义思想和方法在数学中的具体体现。因此，从哲学的角度审视用于教育的数学应该是在数学教学中体现数

18、学思想、方法的有效途径。以“化归”为例，普遍的认识认为“化归”是数学中基本的思想方法，当偏重于指导思想时，称之为化归的思想。当偏重于解决问题的方式、途径、工具、策略时，称之为化归的方法。其实“化归”充其量是实现数学对象、模式(Panern)之间进行转化的一种方法。因为在“为什么化归?”、“向什么方向化归?”等问题上，归根到底要依赖于事物之间的普遍联系以及矛盾的对立统一等辩证唯物主义思想的指导。4正确处理表述的科学性与学生可接受性之间的关系表述的科学性应该是数学教学的灵魂，无论什么样的教学法加工也不能违背数学的科学性。有时为了照顾到学生的可接受性，不得不牺牲数学表述的“严谨”。但是，不严谨不等于

19、不科学。例如，“不完全归纳”从逻辑上说是不严谨的，但不完全归纳是科学的思考方法，在数学教学中是允许使用的。在处理表述的科学性与学生可接受性之间关系的问题上，需要严格区分表述的“不严谨”和表述的“不科学”。事实上，表述的“科学”还是“不科学”与学生的“可接受”还是“不可接受”并无直接的关系，评判准则还是由数学本身所决定，切不可以“学生可接受”为由而容忍违背科学性的表述。前面案例中的问题就属于表述不科学，在数学教学中是不允许出现的5在生活实践中挖掘数学材料在学生熟悉的生活实践中挖掘数学材料作为教学内容，使学生在学习中受到数学的亲切。这件工作貌似容易，其实并不简单。要求研究者要熟悉作为教育的数学，同时要了解相应年龄段学生的生活、兴趣以及心理状况。扑克牌应该是多数学生熟悉的娱乐工具，同时也是挖掘数学学习材料的无穷资源。 例如，利用扑克牌所做的“24点”游戏不仅可以在娱乐中训练计算能力，同时也可以作为理解原理、概念