人教版八级下学期《勾股定理》知识点归纳和题型归类

1、勾股定理知识点归纳和题型归类四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于 大正方形的面积.知识归纳四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S 4 -ab c2222ab c1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a， b，斜边为c，那么a 2 24 ab (b a) c ,化简可证. b2 c22 勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方 法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ， 2 2 2大正方形面积为S (a b) a 2ab b，所以2 . 2 2a b c方法三：S梯形-(a b) (a b),2-2S弟形2S

2、ADE S ABE 2 - ab c，化简得证22图形进过割补拼接后， 只要没有重叠，没有空 隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：3 勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的 数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三 角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因 而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是 直角三角形4 SS正方形 EFGHS正方形ABCD ，4 勾股定理的应用直角三角形的任意两边长，求第三边HEFGbac在 ABC 中， C 90 ，贝U c a2 b2方法知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量 关

3、系可运用勾股定理解决一些实际问题5 .勾股定理的逆定理如果三角形三边长 a , b , c满足a2 b2 c2, 那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法， 它通过 “数转化为形 来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时， 可用两小边的平方和 a 2 b2 与较长边的平方 c2 作 比拟，假设它们相等时，以 a, b, c为三边的三 角形是直角三角形；假设 a2 b2 c2 ，时，以 a ， b , c为三边的三角形是钝角三角形；假设222a b c ,时，以a , b , c为三边的三角形是 锐角三角形；定理中a , b , c及

4、a2 b2 c2只是一种表现 形式， 不可认为是唯一的， 如假设三角形三边长 a， b，c满足a2 c2 b2，那么以a，b，c为三边 的三角形是直角三角形，但是 b为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时， 不能说成： 当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个 三角形是直角三角形6 勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个 正整数 称为勾股数，即a2 b2 c2中，a, b , c为正整 数时，称a , b , c为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 等用含字母的代数式表示 n组勾股数：丢番图发现的：式子2 m2 n

5、,2mn, m2n2 (mn的正整数毕达哥拉斯发现的：2n1,2n2 2n,2n2 2n1n1的整数勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的 前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各 是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添 加辅助线通常作垂线 ，构造直角三角形，以便 正确使用勾股定理进行求解8 勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之 间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形， 在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长 边的平方进行比拟，切不可不加思考的用两边的 平方和与第三边的

6、平方比拟而得到错误的结论.9 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体 的几何问题中，是密不可分的一个整体.通常既 要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又 要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完 成对问题的解决.题型一：直接考查勾股定理例1 在ABC中，C90AC6，BC8 .求 AB 的长AB17，AC15，求 BC 的长柏拉图发现的： 2n,n2 1,n2 1 n 1的整题型二：应用勾股定理建立方程数7.勾股定理的应用在 ABC 中， ACB 90 ， AB 5 cm， BC 3cm, CD AB 于 D , CD =直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜

7、边长为15，那么这个三角形的面积为 两树相距8 cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m。直角三角形的周长为30 cm，斜边长为13cm，那么这个三角形的面积为 题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6三角形的三边长为 a, b , c，判定 ABC是否为直角三角形例3 .如图 ABC中，C 90 ,12 ,CD 1.5, BD 2.5，求 AC 的长 a 1.5 ,b 2 , c 2.5a5 , b 1 ,4c23CDA2EB例7三边长为a , b , c满足ab 10 , ab 18 ,c 8的三角形是什么形状?例 4如图 Rt ABC , C 9

8、0 AC 3,BC 4 ,分别以各边为直径作半圆，求阴影局部面积B题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用 例 8 ABC 中，AB 13 cm , BC 10 cm, BC边上的中线题型三：实际问题中应用勾股定理例5如图有两棵树，一棵高8 cm ,另一棵高2 cm,AD 12 cm ,AB AC。求证：A上A、B两线上两点1、在B港有甲、乙两艘渔船，假设甲船沿北偏东60。方向以每小时 8海里的速度前进，乙船沿 南偏东某个角度以每小时 15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相 距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的 吗？3、如图，铁路 站视为直 相距25千米，C、D为两

9、个村庄视为两个点，DA JAB 于 A, CB1AB 于 B, DA=15 千米,CB=10千米，现要在铁路上建设一个土特产收 购站E,使得C、D两村到E的的距离相等, 那么E应建在距A多少千米处？2、为美化环境，方案在某小区内用30平方米的草皮铺设一边长为 10米的等腰三角形绿地， 请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。4、在河L的同侧有两个仓库 A、B相距1640米, 其中A距河210米，B距河570米，现要在河岸 上建一个货运码头，使得两仓库到码头的路程和 最短，冋：这个最短路程是多少？码头应建在何 处?5、有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇， 它高出水面

10、1尺。勾股定理典型题训练1.在 Rt ABC如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端 恰好到达池边的水面。这个水池的深度与这根芦 苇的长度分别为多少？勾股定理的逆定理1.，在 ABC中，/ A, / B, / C的对边分别是a,b,c, a n21,b 2n,c n21(n1)，求/c的度数。2.如图，A,B是公路11为东西走向两旁的两个 小村庄，A村到公路I的距离AC=1km B村到公路 I的距离BD=2km B村在A村的南偏东 45°方向 上.1求出A, B两村之间的距离；2. ABC中，假设 AC=15,BC=13AB边上的高 CD=122为方便村民出行，方案在公路边新建一个

11、公求厶ABC的周长。共汽车站P,要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置保存清晰的作图痕迹。海里时方向仪坏了，凭经验，船长指挥船左转900,继续航行70海里，那么距出发地 250海里，你 判断船转弯后是否沿正西方向航行？2.有一圆柱形油罐，如下列图，要从A点环绕油罐建梯子，正好到 A点的正上方B点，假设油罐 底面半径是4m,高是7m,n 3，问梯子最短 是多少米？三.折叠问题1.如图，矩形纸片 ABCD中, AB=8cm把矩形纸片三最短路径问题1.如下列图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽 和高分别等于 5cm, 3cm和1cm, A和B是这个台 阶的两个相对的端点，A点上有一只

12、蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A沿直线AC折叠点B落在点E处，AE交DC于点F,点出发，沿着台阶面爬到 B点，最短线路是多少？4.如图，四边形 ABCD是边长为9的正方形纸片， 将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B'处，点 A对应点 A',且B' C=3,求CN和AM的长。2.如图，折叠长方形的一边 AD,使点D落在BC边的点F处，BC=10cm AB=8cm求EC的长。AE重合，求CD的长。3. 如图，有一块直角三角形纸片， 两直角边AC=6cmBC=8cm现将直角边AC沿着直线AD折叠，使它 落在斜边AB上，且与 ABC的面积。六勾股定理的证明1. 一个直立的火柴盒在桌面倒下，启迪人们发现 了勾股定理一种新的验证方法如图，火柴盒的 一个侧面ABCD倒下到AB C D'的位置，连接