北师大版八级上册 第二章 2.7.1 二次根式 教案

1、.2.7.1二次根式教学目的知识与技能：1.理解二次根式和最简二次根式的概念.2.探究二次根式的性质,并能利用性质将二次根式化为最简二次根式的形式.过程与方法：在探究二次根式性质的根底上,能利用性质将二次根式化为最简二次根式的形式.情感态度与价值观：在探究二次根式性质的过程中,体会由特殊到一般的数学思想.教学重难点【重点】利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式.【难点】利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式.教学准备【老师准备】预设学习过程中学生会遇到的问题.【学生准备】复习平方根和开平方的概念,计算器的使用.教学过程一、导入新课导入一:问题1：5,11,7.2, 49121,(c

2、+b)(c-b)其中b=24,c=25,上述式子有什么共同特征?【问题解决】都含有开平方运算,并且被开方数都是非负数.二次根式的定义:一般地,形如aa0的式子叫做二次根式,a叫做被开方数.强调条件:a0.问题2：二次根式有哪些性质呢?这是我们本节课要解决的新问题.设计意图通过问题,回忆旧知识,为学习新知识打好根底.导入二:电视塔高h km,电视节目信号的传播半径为r km,那么它们之间存在近似关系r=2Rh,其中R是地球半径,R6400 km.假设某个电视塔高为200 km,你能求出从塔顶发射出的电磁波的传播半径为多少吗?【问题探究】由于R6400 km,h=200 km,所以r=2×

3、;6400×200.那么如何快速计算2×6400×200呢?2、 新知构建1活动探究【做一做】：1计算以下各式,你能得到什么猜测?4×9=,4×9=; 49=,49=; 2549=,2549=. 2根据上面的猜测,估计下面每组两个式子是否相等,借助计算器验证,并与同伴进展交流.6×7与6×7, 67与67.问题1：观察上面的结果,你得出什么结论?问题2：从上面得出的结论中,你发现了什么规律?能用字母表示这个规律吗?【问题解决】ab=a·ba0,b0, ab=aba0, b>0.积

4、的算数平方根,等于算数平方根的积;商的算数平方根,等于算数平方根的商.设计意图最终归纳出ab=a·ba0,b0, ab=aba0, b>0.说明:公式中字母a0,b0或b>0这一条件是公式的一部分,不可忽略.2例题讲解化简.181×64; 225×6; 3 59.解析直接运用两个公式ab=a·ba0,b0, ab=aba0, b>0进展计算.解:181×64=81×64=9×8=72.225×6=25×6=56.3 59=59=53.观察:化简以后的结果中的被开方数又有什么特征?设计意图

5、由于如今还没有最简二次根式的概念,学生实际上并不知道化简的方向,因此这里以例题的形式呈现了有关结论.例1的化简结果56,53中,被开方数中都不含分母,也不含能开得尽方的因数.一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次根式是最简二次根式.化简.150;2 27;3 13.解:150=25×2=25×2=52.2 27=27=2×77×7=147.3 13=1×33×3=33.设计意图例2是在学习了最简二次根式之后设计的,旨在学生能分辨出

6、哪些是最简的,哪些不是最简的,然后利用所学公式灵敏的化为最简二次根式.【议一议】1你是怎么发现50的被开方数含有开得尽方的因数的?你是怎么判断147是最简二次根式的?2将二次根式化成最简二次根式时,你有哪些经历与体会?与同伴进展交流.策略:对于较大的数,我们一般采取小学学过的短除法的形式来判断,如50=2×5×5,从而发现50含有开得尽方的因数,14=2×7,故判断147是最简二次根式.说明:含有根号的数与一个不含根号的数相乘,一般把不含根号的数写在前面,并省略乘号.反思:以上化简过程的规律是:根号里面的数有一部分移到了根号外面,详细来说是能开得尽方的因数,开方后

7、写到了根号外面.从而明确:被开方数假设有开得尽方的因数,一般需要进展化简.知识拓展对于二次根式应注意以下几点:1二次根式从形式上看,必须含有二次根号“.2在二次根式a中,字母a必须满足a0,即被开方数必须是非负数,这是定义的一个重要组成部分,不可省略,因为负数没有平方根,所以当a<0时,a没有意义.3在二次根式a中,被开方数a可以是数,也可以是代数式,如2,x-yxy,a2+1等都是二次根式.4二次根式aa0是非负数a的算术平方根,即aa0是非负数,也就是说,式子a包含两个非负数:被开方数a,即a0这是使a有意义的条件;a本身,a0这是由算术平方根的意义所决定的.5书写二次根式时不能写成

8、2235的形式,也就是说,当根号前的系数是带分数时,要改写成假分数,这和代数式的书写要求是一致的.6要使ab有意义,那么被开方数ab0,因此a与b同号或至少有一个为零.7假如一个二次根式的被开方数中的因数或因式是完全平方数或完全平方式,那么可以利用性质ab=a·ba0,b0及a2=aa0将这些因数式开出来,从而将二次根式化简.三、课堂总结掌握并会运用公式ab=a·ba0,b0, ab=aba0,b>0.四、课堂练习1.化简.145;2 89;3 12516.解:145=9×5=9×5=3×5=35.2 89=89=4×23=4&

9、#215;23=2×23=223.312516=12516=25×54=25×54=5×54=554.2.以下式子中,属于最简二次根式的是A.9B.7C.20D.13解析:A.9 =3,C.20 = 25,D. 13= 33.应选B.3.一个直角三角形的两边长为4和5 ,那么另一边长是多少?解:当另一边为斜边时,其边长为42+52=41,当另一边为直角边时,其边长为52-42=3.故边长为41或3.五、板书设计2.7.1二次根式1.ab=a·ba0,b0, ab=aba0,b>0.2.最简二次根式.例1例2六、布置作业1、教材作业【必做题

10、】教材第64页随堂练习.【选做题】教材第65页习题2.9第3,4题.2、课后作业【根底稳固】1.化简以下各式.14×36;275;3 12;4112.2.化简(-3)2的结果是. 3.假设20n是整数,那么正整数n的最小值为. 【才能提升】4.以下二次根式中, 已经化成最简二次根式的是A.15 B.20 C.22 D.1215.如下图,长方形内相邻两正方形的面积分别为2和4,求长方形内阴影部分的面积.【拓展探究】6.观察以下各式:2-25= 85= 4×25=2 25; 3-310= 2710= 9×310=3 310猜测 5-526等于多少,

11、并通过计算验证你的猜测.【答案与解析】1.解:14×36=4×36=2×6=12.275=25×3=53.3 12=1×22×2=22.4112=123=1×32×3×3=36.2.3解析:(-3)2=3.3.5解析:20n=4×5×n,所以n的最小值为5.4.C解析:根据最简二次根式的定义可得.5.解:由题意,得AB=2,BE=CD=2,所以阴影部分的面积=BE×AB-CD=2·2-2=22-2.6.解: 5-526=5526 .验证: 5-526= 12526=

12、25×526=5526.教学反思本节课经历从详细实例到一般规律的探究过程,运用类比的方法,得出实数运算律和运算法那么,使学生清楚新旧知识的区别和联络.本节课对运算技能要求略高.根据新课标精神,对学生不能过分要求技巧,应关注学生对运算法那么的理解,能否根据问题的特点,选择合理、简便的算法,能否根据算理正确地进展计算,能否确认结果的合理性等,对于较复杂的实数运算,应关注学生是否会使用计算器进展运算.教学设计中要考虑学生的层次不同,对知识深度和广度的要求也有所不同,因此,增加知识拓展的内容,供层次高一些的学生及班级选用.教材习题答案随堂练习教材第42页解:132=16×2=16&

13、#215;2=42. 272=36×2=36×2=62.3127=12×77×7=4×2172=2217.41.5=32=64=64=62.515=15=525=525=55.习题2.9教材第43页1.解:19×49=9×49=3×7=21.216×7=16×7=47.31225=4×325=235.427=9×3=9×3=33.518=9×2=9×2=32.6313=3×1313×13=39132=3913.7950=181

14、00=18100=3210.812=12=22×2=22.2.解:由勾股定理得另一条直角边的长=152-102=125=25×5=25×5=55cm.3.解:面积为8的正方形的边长为8,面积为2的正方形的边长为2.由图形可以看出面积为8的正方形的边长是面积为2的正方形的边长的2倍,所以有8=22.4.解:如下图.线段AB的长等于20,理由:因为AC=4,BC=2,所以AB=AC2+BC2=42+22=20. 素材如何快速而准确地将二次根式化成最简二次根式?可分为以下两种情况考虑.1假设被开方数是整数并且比较大时,可用小学学过的“短除法先将被开方数分解成假设干个因数

15、的乘积,两个一样的因数开出一个因数,如化简1080,由于1080=2×2×2×3×3×3×5=22×32×2×3×5,所以1080=22×32×2×3×5=2×3×30=630.2假设被开方数是分数,且分母是质数,那么利用分数的根本性质将分子、分母同时乘以分母,如化简 313=313=3×1313×13=3913;假设被开方数是分数,且分母不是质数,那么先将分母分解因数,再考虑分子、分母同乘以几,如化简 950=950=9×225×2×2=3210. 观察以下各个二次根式:52-42,172-82,372-122,652-1621求,的值;2仿照,写出第个二次根式;3仿照,写出