中考数学专题训练旋转模型几何变换三种模型手拉手、半角、对角互补

1、几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补知识关联图等腰三角形手拉手模型，等腰直角三角形（包含正方形）、等边三角形（包含费马点）i特殊角旋转变换 对角互补模型厂般角名者平而居刑特殊角角含半角模型/、一般角等线段变换（与圆相关）二了真题演练【练1】 （2013北京中考）在 4ABC中，AB=AC, /BAC =o（ （ 0aCE .(1)如图1 ,连接BG、DG .求证：BG =DE ;(2)如图2,如果正方形ABCD的边长为五，将正方形CEFG绕着点C旋转到 某一位置时恰好使得 CG II BD , BG = BD .求ZBDE的度数；请直接写出正方形 CEFG的边长的值.【题型总结】手拉手模型

2、是中考中最常见的模型，突破口常见的有哪些信息？常见的考试方法有哪些?【例2】(2014年西城一模)四边形 ABCD是正方形，ABEF是等腰直角三角形，ZBEF =90, BE=EF,连接 DF, G 为 DF 的中点，连接 EG, CG , EC。EC(1)如图24-1，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及-ECGC的值；(2)将图24-1中的iBEF绕点B顺时针旋转至图24-2所示位置，请问(1)中所 得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；【题型总结】此类型题目方法多样，你还能找到其他的解题方法吗？另外涉及到的中点辅助线你还能说出几种?【例3

3、】(2015年海淀九上期末)如图1,在4ABC中，BC=4,以线段AB为边作ABD, 使得 AD= BD, 连接DC ,再以DC为边作 AC DE,使得D C= D E, ZCDE =NADB =a .(1)如图2 ,当/ABC =45 口且a =90口时，用等式表示线段 AD, DE之间的数量 关系；(2)将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段 依题意补全图3,求线段AF的长；请直接写出线段EF，连接 BF, AF .若 a =90%AF的长(用含0的式子表示).备用图【例4】(13年房山一模)(1)如图1, AABC和4CDE都是等边三角形，且B、C、D三点共线，联结AD、BE相交于点

4、P,求证：BE=AD.(2)如图2,在4BCD中，/BCD 120：, ,分别以BC、CD和BD为边在 BCD外部作等边 4ABC、等边4CDE和等边 4BDF ,联结AD、BE和CF交于点P ,卜列结论中正确的是(只填序号即可)AD=BE=CF;/吃 亚 ZDPE =/EPC =/CPA =60；(3)如图2,在(2)的条件下，求证： PB+PC+PD图2 F【题型总结】到三个定理的三条线段之和最小，夹角都为。.旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，

5、解决问题的方法是运用旋转变换.考点2:角含半角模型：全等 秘籍：角含半角要旋转：构造两次全等【例1】（2012年西城期末）已知：如图，正方形ABCD的边长为a, BM正方形的两个外角， 且满足/MAN =45,连结MC , NC , MN .,DN分别平分猜想线段BM ,DN和MN之间的等量关系并证明你的结论.M【例2】(2014年平谷一模)(1)如图1,点E、F分别是正方形 ABCD的边BC、CD上的点，NEAF=45, 连接EF ,则EF、BE、FD之间的数量关系是： EF = BE + FD .连结BD , 交 AE、AF 于点 M、N ,且 MN、BM、DN 满足 MN 2 = BM

6、2 + DN 2,请证 明这个等量关系；(2)在4ABC中， AB = AC ,点D、E分别为BC边上的两点.如图2,当/BAC=60。，/DAE =30口时，BD、DE、EC应满足的等量关如图 3,当 ZBAC = a , (0 u 90, NDAE = -a 时，BD、DE、EC 2应满足的等量关系是 . 【参考： sin2 a + cos2a =11【题型总结】角含半角的特点有哪些，哪些是不变的量？由角含半角产生的数量关系都是有哪些？如何描述这类题 目的辅助线？考点3:对角互补模型常和角平分线性质一起考，一般有两种解题方法（全等型90）（全等型一120。）（全等型一任意角 力【例1】 四

7、边形ABCD被对角线BD分为等腰直角三角形 ABD和直角三角形 CBD ,其中/A和/C都是直角，另一条对角线 AC的长度为2,求四边形ABCD的面积.A【例2】 已知：点P是/MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA 绕点P逆时针旋车t交射线 ON于点B ,且使ZAPB +/MON =180：1.(1)利用图1,求证：PA = PB ；(2)如图1,若点C是AB与OP的交点，当S簪b =3Scb时，求PB与PC的比 值；图1图2【题型总结】对角互补模型经常在哪里题目里出现，题目中有哪些提示信息？经常和哪种图形同时出现?【例3】(初二期末)已知：如图，在4ABC中，AB

8、=AC , /BAC，且a笠20 . P为 4ABC 内部一点，且 PC=AC, NPCA=120+_o(.(1)用含口的代数式表示 ZAPC ,得ZAPC =;(2)求证：/BAP=/PCB；(3)求ZPBC的度数.【题型总结】一般涉及到线段的旋转都可以和圆联系起来，根据圆的相关性质解题是一种比较便捷的方法。rI全能突破【练1】(2015年昌平九上期末)如图，已知 LABC和JADE都是等腰直角三角形， NBAC =NDAE = 90, AB =AC , AD =AE .连接 BD 交 AE 于 M，连接 CE 交 AB于N , BD与CE交点为F ,连接AF .(1)如图 1,求证：BD

9、_LCE ；(2)如图1,求证：AF是/CFD的平分线；(3)如图 2,当 AC =2, /BCE =15时，求 CF 的长.【练2】(2014西城九上期末)已知： AABC , 4DEF都是等边三角形，M是BC与EF的中点，连接AD , BE .(1)如图1,当EF与BC在同一条直线上时，直接写出 AD与BE的数量关系和 位置关系；(2) A ABC固定不动，将图1中的|_|DEF绕点M顺时针旋转ct(0oa 90o) 角，如图2所示，判断(1)中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明； 若不成立，匚说明理由；(3) ABC固定不动，将图 1中的|_DEF绕点M旋转口(0owaw90o)角，

10、 作DH _LBC于点H .设BH = x ,线段AB , BE , ED , DA所围成的图形 面积为S.当AB=6, DE= 2时，求S关于x的函数关系式，并写出相应的x 的取值范围.图1图2备用图【练3】(2014年朝阳一模24题)在AABC中，AC = BC ,在AED中，AD = ED ,点D、E分别在CA、AB上，(1)图，若/ACB =/ADE =90 a,则CD与BE的数量关系是 ；(2)若/ACB =/ADE =120%将 AED绕点A旋转至如图所示的位置，则CD与BE的数量关系是 ;(3)若ZACB =/ADE =2ot(0 a 90 ),将4AED绕点A旋转至如图所示的

11、位置，探究线段CD与BE的数量关系，并加以证明(用含 a的式子表示)【练4】（2015年燕山九上期末）小辉遇到这样一个问题：如图1,在RtA ABC中，/BAC = 901 AB=AC,点，e 在边 BC 上，/ DAE =45 叱若 BD = 3 , CE=1 , 求DE的长.D小辉发现，将绕点 A按逆时针方向旋转 90o,得到ACF ,连接EF （如图2）, 由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及/ DAE = 45 ,可证 |_FAE DAE ,得 FE= DE .解 LIfCE ,可求得 EF （即 DE ）的长.请回答：在图2中，ZFCE的度数是 , DE的长为 RtL ABC

12、参考小辉思考问题的方法，解决问题：如图3,在四边形ABCD中，AB= AD , /B+ /D = 180. E, F分别是边BC, CD1上的点，且NEAF=2/BAD .猜想线段BE, EF , FD之间的数量关系并说明理由.【练5】（11年石景山一模）已知：如图，正方形ABCD中，AC,BD为对角线，将/BAC 绕顶点A逆时 针旋转（0 （0： a 45：）,旋转后角的两边分别交 BD于点P、点Q , 交BC , CD于点E、点F ,联结EF、EQ .（1）在ZBAC的旋转过程中， /AEQ的大小是否改变，若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；（

13、2）探究 MPQ与MEF的面积的数量关系，写出结论并加以证明.【练6】(2015年延庆九上期末)已知： ABC是L O的内接三角形，AB=AC,在/BAC 所对弧AC上，任取一点 D,连接AD, BD, CD ,(1)如图1, ZBAC =a ,直接写出/ADB的大小(用含值的式子表示)；(2)如图 2,如果 / BAC =60 = ,求证：BD +CD = AD ；(3)如图3,如果/ BAC =120)那么BD +CD与AD之间的数量关系是 什么？写出猜测并加以证明；(4)如果ZBAC =& ,直接写出BD +CD与ad之间的数量关系.【练7】(1)如图，在四边形 ABCD中，AB =AD

14、 ,NB =/D =90=E、F分别是边 BC、CD上的点，1且 /EAF = 一/BAD .求证：EF =BE +FD ； 2(2)如图在四边形 ABCD中，AB=AD, NB+D =180。，E、F分别是边BC、CD, 一 ，一1上的点，且ZEAF = /BAD , (1)中的结论是否仍然成立？不用证明. 2(3)如图，在四边形 ABCD中，AB = AD , /B+/ADC =180)E,F分别是边一 一1* 一 BC ,CD延长线上的点，且 ZEAF =/BAD , (1)中的结论是否仍然成立？2若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.【练8】 小华遇到这样一个问题

15、， 如图1, L ABC中，/ACB =300, BC =6, AC =5，在ABC内部有一点P,连接PA、PB、PC ,求PA+PB+PC的最小值.小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据 两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了.他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题.他的做法是，如图2,将LAPC绕点C顺时针旋转600,得到LEDC，连接PD、BE ,则BE的长即为所求.(1)请你写出图 2中，PA+PB+PC的最小值为 ;(2)参考小华的思考问题

16、的方法，解决下列问题：如图3,菱形ABCD中，/ABC =600,在菱形ABCD内部有一点P ,请在图3 中画出并指明长度等于PA+PB +PC最小值的线段(保留画图痕迹，画出一条即可)；若中菱形 ABCD的边长为4,请直接写出当 PA+PB+PC值最小时PB的长.B图3图2【练9】(2014年西城二模)在_ABC , /BAC为锐角，AB孑AC , AD平分/BAC交BC 于点D .(1)如图1,若一 ABC是等腰直角三角形，直接写出线段AC , CD , AB之间的数量关系；(2) BC的垂直平分线交 AD延长线于点E ,交BC于点F .但如图2,若/ABE =60%判断AC , CE , AB之间有怎样的数量关系并加以 证明；如图3,若AC +AB = J3AE ,求/BAC的度数.M*日【练10（2014年1月西城八年级期末试题 一附加题）已知：如图，/MAN为锐角，AD平 分/MAN，点B ,点C分别在射线 AM和AN上，AB =AC .（1）若点E在线段CA上，线段EC的垂直平分线交直线 AD于点F ,直线BE交直 线AD于点G ,求证：ZEBF =/CAG ;（2）若（1）中的点E运动到线段CA的延长线上，（1）中的其它条件不变，猜想/EBF 与/CAG的数量关系并证明你的结论 .备用图2备用图1【练11(2014