常州大学怀德学院大学数学A（中）试题库

1、常州大学怀德学院大学数学A（中）试题库（一）定积分应用一、选择题1图中阴影部分的面积的总和可表示为 ( ) . （A）; （B）; （C）;（D）.2曲线与轴所围成的图形面积为（ ）（A）; （B）;（C）;（D）.3由曲线和直线，所围成的图形面积为（ ）（A）; （B）;（C）; （D）+.4曲线与直线及轴所围成的面积值为（ ）（A）; （B）;（C）; （D）.5曲线与该曲线过原点的切线及y轴所围成的面积值为（ ）（A）; （B）;（C）; （D）.6曲线所围成图形的面积A为（ ）（A）; （B）;（C）; （D）.7曲线、及直线所围成图形绕轴旋转而成的旋转体的体积为（ ）（A）; （B）

2、;（C）; （D）.8曲线在上的一段弧长为（ ）（A）; （B）;（C）; （D）.9矩形闸门宽，高，将其垂直放入水中，上沿与水面平齐，则闸门一侧所受压力为（ ）（A）; （B）;（C）; （D）.10*矩形闸门宽，高，将其垂直放入水中，上沿与水面相距为，则闸门一侧所受压力为（ ）（A）; （B）;（C）; （D）.二、填空题1.由围成图形的面积 。2.设曲线在上连续，则曲线及轴所围成的图形的面积 。3.曲线与轴及两直线围成平面图形绕轴旋转产生的旋转体的体积为 。4.设平面图形由曲线及射线 围成，则其面积可用定积分表示为 5.椭圆所围图形的面积为 。6.由曲线与直线及所围成的图形的面积是 。7

3、.曲线所围成的平面图形的面积为 。8. 曲线、和轴所围成的图形绕轴旋转产生的旋转体的体积为 。9. 心形线 的弧长 。10弹簧拉长002m，需要98N的力，弹簧拉长010m所作的功为 。三、计算题（基本题20题）1.计算曲线，与直线所围成的图形的面积。2. 计算曲线，与直线所围成的图形的面积。3. 计算曲线所围成的图形的面积.4. 计算曲线与直线和y=0所围成的图形的面积.5.求由曲线y=x2与y=2-x2所围成的图形的面积. 6.求由曲线y=x3与直线x=0、y=1所围成的图形的面积. 7.求在区间上, 由曲线y=sin x与直线x=0、y=1所围成的图形的面积. 8.计算心形线所围成的图形

4、的面积。9.求曲线y=ln x，x=2及x轴围成的平面图形的面积10.求抛物线与直线围成的图形的面积11. 计算由抛物线与直线所围成的图形的面积12.计算阿基米德螺线上相应于从0到的一段弧与极轴围成的图形的面积13. 计算由椭圆所围成的图形绕轴旋转而成的旋转体的体积14. 连接坐标原点及点的直线、直线及轴围成一个直角三角形.求这个直角三角形绕轴旋转所成的旋转体体积15.求由曲线，轴围成的平面图形绕轴旋转而成的旋转体的体积16. 计算曲线上相应于的一段弧的弧长17.求心形线 的弧长.18.计算摆线的一拱的长度.19.已知弹簧拉伸1厘米需要的力是3牛顿，如果把弹簧拉伸3厘米需要作的功是多少？20.

5、设在轴的原点处放置了一个电量为+q的点电荷，则距原点处单位正电荷受到的电场力，求单位正电荷沿x轴从x=a移动到x=b时电场力所作的功. 四、综合题与应用题（20题）1.求c(c>0)的值, 使两曲线y=x2与y=cx2所围成的图形的面积为. 2.求由心形线与圆所围成的标有阴影线部分的图形的面积3求曲线 及所围成图形的公共部分的面积。4求摆线的一拱与x轴围成的图形的面积5.求摆线，的一拱，和轴所围成图形绕轴旋转产生的旋转体的体积6求介于曲线与它的一条通过原点的切线以及y轴之间的图形的面积.7.计算曲线y=x3与直线x=2、y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转产生的立体的体积. 8.和轴，

6、所围成图形分别绕轴和轴旋转所产生的旋转体的体积；9. 求曲线与直线x=1、x=4、y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转产生的立体的体积. 10.求曲线x2+y2=1与所围成的两个图形中较小的一块分别绕x轴、y轴旋转产生的立体的体积. 11.两根电线杆之间的电线，由于其本身的重量，下垂成曲线形，这样的曲线称为悬链线，悬链线方程为，其中为常数，计算悬链线上介于与之间（对应于两根电线杆之间）的一段弧长12.求星形线所围成图形绕x轴旋转产生的立体的体积13.求星形线的弧长14. 一物体按规律作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比计算物体由移至时，克服媒质阻力所作的功15*过抛物线上一点作切线，问为

7、何值时所作切线与抛物线所围成的图形面积最小？16*.设y = x2定义在0 , 1上，t为内的一点，问当t为何值时图2中两阴影部分的面积A1与A2之和具有最小值。 图2 图317.一个底半径为R(m)，高为H(m)的圆柱形水桶盛满了水，要把桶内的水全部吸出，需要作多少功(水的密度为103kg/m3，g取10m/s2)?18有一闸门，它的形状和尺寸如下图所示，水面超过门顶米求闸门上所受的水压力19*.一等腰梯形的闸门，两底长分别为10m与6m，高为20m，且上底位于水面，计算闸门一侧所受到的水压力20*一底为米、高为米的等腰三角形水泥板，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面米

8、，水的密度为，试求它一侧所受的压力21*.一根弹簧按螺线盘绕，共计10圈，已知每圈的间隔10 mm，试求弹簧的全长（二）常微分方程一、选择题1微分方程的阶数是（ ）(A) (B) (C) (D)2在下列函数中，能够是微分方程的解的函数是（ ）(A) (B) (C) (D)3下列方程中是一阶线性方程的是（ ）(A) (B) (C) (D)4方程的通解是（ ）(A) (B) (C) (D)5微分方程满足初始条件的特解是（ ）(A) (B) (C) (D)6微分方程的通解是（ ）(A) (B) (C) (D)7微分方程的通解是（ ）(A) (B) (C) (D)8微分方程满足初始条件的特解是（ ）(

9、A) (B) (C) (D)9 方程的通解是（ ） （A） （B） （C） （D）10求微分方程的一个特解时应设特解的形式为（ ） （A） （B） （C） （D）二、填空题1.微分方程的阶数为。2.设某微分方程的通解为，且，则，。3.通解为（为任意常数）的微分方程是。4.满足条件的微分方程是。5.的通解为。6.的满足初始条件的特解为。7.设是微分方程的通解，则任意常数的个数。8.设曲线上任意一点的切线垂直于该点与原点的连线，则曲线所满足的微分方程为。9设是的一个特解，是该方程对应的齐次线性方程的通解，则该方程的通解为；10已知是的一个特解，则，该一阶线性方程的通解为；11齐次方程作变换可化为分

10、离变量的微分方程，且通过此方法可求得该齐次方程的通解为；12微分方程不是一阶线性微分方程，但是将看作因变量，而将看作自变量，则可化为一阶线性微分方程，进而用此方法可求得该方程的通解为。13已知和是（均为常数）的两个解，则该方程的通解为。14的通解为。15的通解为。16的通解为。17设二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程的两个根为，则该二阶常系数齐次线性微分方程为。18设为方程（其中均为常数）的特征方程的两个根，则该方程的通解为。19微分方程的特解可设为形如 20设均是（其中都是常数）的三个特解，则该方程的通解为 三 解答题1求微分方程，满足初始条件 的特解。2求微分方程，满足初始条件的特解。3

11、求微分方程，满足初始条件 的特解。 4求微分方程，满足初始条件的特解。5求微分方程的通解。 6求微分方程的通解。7求微分方程的通解。 8求微分方程的通解。9求微分方程 的通解。 10求微分方程的通解。11求解微分方程 。 12求解微分方程。13求解微分方程 ，。14求微分方程 的通解。 15求微分方程的通解。16求微分方程 的通解。 17求微分方程 的通解。18求方程的通解。 19求方程的通解。20求方程 的通解。 21求方程的通解。22求方程的通解。 23求方程的通解。24求方程的通解。 25求方程的通解。26求方程的通解。 27求方程的通解。28求方程的特解。 29求方程的特解。30求方程

12、的特解。31求方程的特解。32求方程 的特解。33求方程的特解。34求方程的特解。35求方程 的通解。 36求方程的通解。37求方程的通解。 38求方程的通解。39求方程 的通解。 40求方程的通解。41求方程的通解。 42求方程的通解。43求方程的通解。 44求方程的特解。45求方程的特解。46验证函数是微分方程的通解，并求满足初始条件的特解。47验证函数是微分方程的解。48求一曲线的方程：这曲线过原点，并且它在点处的切线斜率等于。49已知函数满足（1）；（2），求。50求方程的积分曲线，使其在点处与直线相切。51已知某曲线经过点，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程。52设函

13、数是微分方程的通解，求函数53一条曲线通过点（2，3），它在两坐标轴间的任意切线段被切点平分，求该曲线方程54质量为克的质点受外力作用作直线运动，这外力和时间成正比，和质点运动的速度成反比在秒时，速度等于，外力为克问从开始经过了分钟后质点的速度是多少?55 求微分方程的通解.56试求曲线，使它每一点的斜率为，且过点，又当为何值时切线的斜率为？57已知上凸曲线过点及点，且对曲线上任一点与弦所围面积为，求曲线的方程.58已知某曲线，它的方程满足，且与另一曲线相切于点，求此曲线的方程59一个单位质量的质点在数轴上运动，开始时质点在原点处且速度为在运动过程中，它受到一个力的作用，这个力的大小与质点到原

14、点的距离成正比（比例系数），而方向与初速一致又介质的阻力与速度成正比（比例系数）求质点的运动规律60一个质量为的质点从水面由静止开始下沉，所受阻力与下沉速度成正比（比例系数为）求此质点下沉深度与时间的函数关系（三）向量代数与空间解析几何一、选择题和填空题1.设向量，则（ ）A.2 B.3 C.-2 D.-32. 设向量，则夹角为（ ）A. B. C. D.3.过点（1，-1，2）和点（2，1，-1）的直线方程为（ ）A.B. C. D. 4在空间直角坐标系中，方程的图形是（）A通过z轴的平面B垂直于z轴的平面C通过原点的直线D平行于z轴的直线5.设有平面p:x-2y+z-1=0和直线L:,则p

15、与L的夹角为（）A. B. C. D.6.过点(3,-2,-1)并且平行于xoz坐标面的平面方程为（）A.x-3=0B.z-1=0C.y+2=0D.y-2=07.在Oxy面上的曲线绕x轴旋转一周，所得的曲面方程为( )A.B.C.D.8下列曲面中，母线平行于y轴的柱面为（ ）Az = x2Bz = y2Cz = x2 + y2Dx + y + z =19. 方程y2+z24x=0，表示（ ）A.单叶双曲面B.双叶双曲面C.旋转抛物面D.锥面10在空间直角坐标系下，方程2x2+3y2=6表示的图形为（）A椭圆B柱面C旋转抛物面D球面11.在空间直角坐标系中,方程表示的图形是( )A.椭圆抛物面B

16、.圆柱面C.单叶双曲面D.椭球面12.在空间直角坐标系中，方程x2+y2=2的图形是（）A.圆B.球面C.圆柱面D.旋转抛物面13以（-1，2，-3）为球心，2为半径的球面方程为（ ）A（x-1）2+（y+2）2+（z-3）2=4B（x+1）2+（y-2）2+（z+3）2=2C（x+1）2+（y-2）2+（z+3）2=4D（x-1）2+（y+2）2+（z-3）2=214.在空间直角坐标系中，方程x2+2y2=2的图形是（）A.圆B.球面C.柱面D.旋转抛物面15下列曲面中，母线平行于x轴的柱面为（ ）Az = x2Bz = y2Cz = x2 + y2Dx + y + z =116. 方程y2

17、+z24=0，表示（ ）A.单叶双曲面B.圆柱面C.旋转抛物面D.锥面17.过点(2,-3,5)并且平行于yoz坐标面的平面方程为（）A.x-2=0B.z-5=0C.y+3=0D.y-3=018. 在Oxy面上的曲线绕x轴旋转一周，所得的曲面方程为( )A.B.C.D.19. 在Oxy面上的曲线绕x轴旋转一周，所得的曲面为( )A.双曲面B.圆柱面C.抛物面D.椭球面20. 在Oxy面上的曲线绕x轴旋转一周，所得的曲面为( )A.双曲面B.圆柱面C.抛物面D.椭球面21点P（0，2，1）到原点的距离为_ 22. 向量的模为_ _ 23. 已知两点A(4,7,1),B(6,2,z)之间的距离为1

18、1,则z=_ _ 24. 点到轴的距离为 25. 已知两点A(5,1,3),B(3,2,3),则向量的模为 26. 向量与x轴的夹角余弦cos_ _ 27. 点P（1，1，2）到平面x+y-z+1=0的距离为_ 28.向量在向量上的投影为_ _ 29.向量与向量的夹角余弦= 30.已知向量，则与同方向的单位向量为_ 31.向量与z轴的夹角余弦cos_ _32.若向量与平行，则k= 33已知向量与垂直，则常数k=_ _ 34. 过点(-1，2，5)并且平行于oxz坐标面的平面方程为_ _ 35. 平面的法向量为_ _ 36. 设平面和平面 与的夹角为 37.过点P1（1，2，-4）和P2（3，-

19、1，1）的直线方程为 38.过点P1（2，2，3）和原点的直线方程为 39.过点P1（1，1，2）且平行于向量的直线方程为 40.设平面：，直线L:,平面与直线L的夹角为 二、计算题41. 设向量，求（1），（2）.42. 设向量，求(1),(2) 在上的投影.43. 设向量，单位向量满足,求.44. 设向量，求向量的夹角余弦.45. 设向量，求以为边的平行四边形的面积.46. 设向量为单位向量，且满足，求47. 一平面过点且垂直于两个已知的平面，求此平面方程.48. 求过点(3,1,3)且通过直线L: 的平面方程.49. 求过点P（-1,2，-3），并且与直线x=3+t，y=t，z=1-t垂

20、直的平面方程.50. 求过点P(2,-1,3),并且垂直于平面的直线方程.51将直线化为参数式和对称式方程.52设平面过点P1（1，2，1）和点P2（5，2，7），且平行于y轴，求平面的方程.53. 求过点P(3,-1,0)并且与直线垂直的平面方程.54求过点P（4，-1，2）并且与直线L：平行的直线方程.55. 求过点（-1，-2，3）并且与直线垂直的平面方程. 56求过点P1（4，2，1），P2（2，3，0）和P3（0，1，0）的平面方程.57求过点(3，-1，5)并且与直线平行的直线方程58求直线与平面2x+3y-z+1=0的交点坐标.59. 求过点（3，3，-2）并且与平面2x-y+z

21、-3=0垂直的直线方程.60. 求与点P1(3,-1,2)和点P2(5,0,-1)的距离都相等的动点轨迹方程.61求过点P1（1，2，-4）和P2（3，-1，1）的直线方程.62设平面经过点P1（4，2，1）和P2（-2，-3，4），且平行于y轴，求平面的方程.63. 求过点（-1，-2，3）并且与直线垂直相交的直线方程.64. 求过点（1,2，-1）与直线平行的直线方程.65. 求过点P(3,-1,0)并且通过直线的平面方程.66. 求以P1（1，2，1），P2（1，3，5）和P3（2，1，4）为顶点的三角形面积.67. 已知.68. 将xoz坐标平面上,曲线分别绕x轴和z轴旋转一周，求所生

22、成的曲面方程.69. 求曲线在xoy坐标平面上的投影曲线，并指出原曲线是什么曲线.70求过点P（1，-3，2）且垂直于直线L：的平面方程.71. 求平面与直线L：的夹角72. 将xoy坐标平面上曲线分别绕x轴和y轴旋转一周，求所生成的曲面方程.73. 求平面与各坐标平面的夹角余弦.74. 求过点(2,1，-1),且在x轴和y轴上的截距分别为2,1的平面方程.75. 求曲线在yoz坐标平面上的投影曲线，并指出原曲线是什么曲线.三、证明题76. 证明：以P1（1，2，0），P2（2，0，-1），P3（2，5，-5）为顶点的三角形为直角三角形.77. 证明：平面垂直于平面.78. 证明：平面垂直于直

23、线L：.79证明：平面平行于直线L：.80. 证明：直线L1：垂直于直线L2：.（四）多元函数微分学一、 选择题1. 函数在点处连续是它在该点偏导数存在的 （ ）（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件2. 函数在点处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ ）（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件3.函数 则极限等于（ ）（A）不存在 （B）等于1 （C）等于零 （D）等于24设，则的值为 （ ）（A）59 （B）56 （C）58 （D）555.若则为 （ ） （A） （B） （C） （D）

24、 6. 设，则等于 （ ）（A） （B）（C） （D）7.设 则等于（ ）（A）3; （B）6; （C） ; （D）.8. 已知则等于 （ ）（A）; （B） ; （C）; （D）.9. 函数在条件下的极大值是 （ ）（A） （B） （C） （D）10. 曲线，在点处的切线向量与三个坐标轴的夹角相等，则点对应的值为（ ）（A）0 （B） （C） （D）11. 曲线在某一点处的切向量与三个坐标轴正向的夹角相等，求此点相应的值等于 （ ）（A） （B）2 （C） （D）112.曲面上对应于点处与轴正向成锐角的法向量可取为 （ ）(A) (B) (C) (D)13.设，而，具有二阶连续导数，则为（

25、） （A） （B） （C） （D） 14. 设，而，具有二阶连续导数，则等于 （ ）（A） （B）（C） （D）15.设由方程所确定，则等于 （ ）(A) 0 (B) (C) (D) 二、填空题16. 函数的定义域为 17. 函数的定义域为 18. 设，则= 。19. 若，则= 20. 设函数在点处可微，则点是函数的极值点的必要条件为 21.设，则在点（1,1）处的全微分_.22设具有连续的一阶偏导数，其中则_.23设，则= . 24. 函数在条件下的极大值是 25.曲面上的点（1，-2,1）处的切平面方程为_法线方程为_.三、计算题26. 求下列函数 的定义域。 27. 求下列函数.的定义域

26、。28. 求极限 。 29. 求极限.30. 证明极限不存在.31.求函数的一阶偏导数。32.求函数的一阶偏导数。33. 求函数的一阶偏导数。 34.设函数，求.35 求函数的一阶偏导数。36设函数，求.37. 设函数，求，；38. 设函数，求；39. 设函数，求. 40.设函数,求.41. 求函数的全微分.42. 设函数，求.43. 求函数的全微分.44. 设，而，求45. 设，而，求46. 设，而，求，47. 设，而，为可导函数，求证48. 设，（其中有二阶连续的偏导数）,求.49. 设函数二阶连续可微，求的二阶偏导数50. 设，（其中有二阶连续的偏导数）, 求.51. 设，（其中有二阶连

27、续的偏导数）,求；52. 设（其中有二阶连续的偏导数）,求53. 设，求.54.由方程所确定的函数在点处的全微分.55.函数由方程所确定，其中具有连续的偏导数，求.56.函数由方程所确定，其中具有连续的偏导数，求.57.设其中分别具有一阶导数和偏导数，求.58. 设，求，.59. 设，求，60. 设具有连续偏导数，已知方程求.61. 设，求62. 设，求.63. 求曲线，在处的切线与法平面方程64求出曲线，上的点，使在该点的切线平行于平面65. 求曲面的平行于平面的切平面方程.66求曲线 在点处的切线方程67求曲面在点处的切平面与法线方程68在曲面上求一点，使该点处的法线垂直于平面，并写出法线

28、方程69求曲面上平行于平面的切平面方程70求函数的极值。71. 求函数的极值。72求函数在条件下的极值73. 求在区域D：上的最值.四、证明题74设，证明函数在处偏导数存在，但不连续75设，证明76证明由方程（具有连续的偏导数，为常数）所确定的函数满足关系式五、应用题。77建造容积为一定的矩形水池问怎样设计，才能使建筑材料最省78求内接于半径的球且有最大体积的长方体79在椭圆上求一点，使其到直线的距离最短80.求平面和柱面的交线上与平面距离最短的点.81. 求函数在条件下最大值和最小值.（五）二重积分1. 若其中是由所围成的区域,则( ).(A) (B) (C) (D) 02. 若区域, 则的

29、值=( )(A) 256 (B) (C) (D) 03. 累次积分可化为( ) (A) (B) (C) (D)4. 若区域, 则的值( )(A)小于0 (B) 大于0 (C) 非正数 (D) 偏导数存在5. 不作计算,估计取值的范围是 ,其中是椭圆闭区域：.6. 比较积分大小， ,其中是三角形闭区域,三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).7. 比较积分大小， ,其中是矩形闭区域:.8. 当函数在闭区域上_时,则其在上的二重积分必定存在.9. 设对闭区域任意点有，则积分的几何意义是_.10. 将化为直角坐标系下的累次积分： ,其中是由所围成的闭区域.11. 将化为直角坐标系下的累次积分：

30、 ,其中是由及所围成的闭区域.12. 将化为极坐标系下的累次积分： ,其中.13. 将化为极坐标系下的累次积分： ,其中14. 改变积分的次序 .15. 改变积分的次序 .16. 写出积分的极坐标二次积分形式 ,其中积分区域.17. 将二重积分,其中是由轴及半圆周所围成的闭区域,化为先对后对的二次积分,应为_.18. 将二重积分,其中是由直线及双曲线所围成的闭区域,化为先对后对的二次积分,应为_.19. 将二次积分改换积分次序,应为_.20. 将二次积分改换积分次序,应为_.21. 交换积分次序 .22. 计算, 其中23. 计算, 其中是由所围平面闭区域.24. 计算, 其中是由所围平面闭区

31、域.25. 求,其中是由抛物线和所围平面闭区域.26. 求,其中D是以为顶点的三角形.27. 计算.28. 计算,其中D是由中心在原点,半径为的圆周所围成的闭区域.29. 计算,其中是顶点分别为,的三角形闭区域.30. ,其中是由所确定的闭区域.31. 其中是由直线及所围成的闭区域.32. 计算,其D为由,及直线,所围成的平面闭区域.33. 计算二重积分,其中积分区域为.34. 计算其中为圆域.35. 计算其中为圆域.36. 计算其中D:.37. 计算其中为由所围成的区域.38. 计算其中为由所围成的区域.39. 计算40. 计算其中是由在第一象限所围成的区域.41. 计算其中是由所围成的区域.42. 计算其中.43. 计算其中.44. 设计算其中.45. 计算.46. 计算.47. 计算其中.48. 计算其中是由直线及所围成的闭区域. 49. 计算其中是由直线及所围成的闭区域.50. 计算其中是由直线及所围成的闭区域.51. 计算其中是由中心在原点、半径为的圆周所围成的闭区域.52. 求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积. 53. 求由下列曲面所围成的立体体积,.54. 设平面薄片所占的闭区域由直