向量公式汇总

1、向量公式汇总平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。AB+BC=ACa+b=(x+x' , y+y')。a+0=0+a=a 。向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么 a=-b , b=-a , a+b=0. 0的反向量为AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y')贝 U a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数人和向量a的乘积是一个向量，记作 入a,且I a a I = I入I ? I当人0时，

2、入a与a同方向；当入V0时，入a与a反方向；当人=0时，入a=0,方向任意。当a=0时，对于任意实数 入，都有 入a=0o注：按定义知，如果 入a=0,那么 入=0或a=0实数人叫做向量a的系数，乘数向量入a的几何意义就是将表示向量 a的有向 线段伸长或压缩。当I人I 1时，表示向量a的有向线段在原方向（人0）或反方向（入v 0） 上伸长为原来的I入I倍；当I人I v 1时，表示向量a的有向线段在原方向（人0）或反方向（入v 0） 上缩短为原来的I入I倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：（入 a）?b=入（a?b）=（a?入 b）。向量对于数的分配律（第一分配律）：（入+（i）a=入a+

3、da.数对于向量的分配律（第二分配律）：入（a+b尸入a+入b.数乘向量的消去律：如果实数 人乎。且ka=k b,那么a=b0如果a乎0且入a=da,么入=吗。4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量 a,b o作0人=2,08则角AOBW作向量a和向量b的夹角，记作a,b并规定00 a,b %定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作 a?bo若a、b不共线，贝Ua?b=|a|?|b|?cosa,b；若a、b共线，贝Ua?b=+- lai I b I 0向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y'。向量的数量积的运算律a?b=b?a （交换律）；（入a）?b=

4、入（a?b）（关于数乘法的结合律）；（a+b）?c=a?c+b?c （分配律）；向量的数量积的性质a?a=|a|的平方。a ± b=a?b=0o|a?b| <|a|?|b| 。向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律，即：（a?b）?c乎a?（b?c）;例如：（a?b）A2 aA2?bA202、向量的数量积不满足消去律，即：由 a?b=a?c （a乎0）,推不出b=c。3、|a?b| 乎 |a|?|b|4、由 |a|=|b|,推不出 a=b 或 a=-b。5、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作 axbo若a、 b不共线，

5、则aXb的模是：I axb I =|a|?|b|?sin a, b； aXb的方向是：垂 直于a和b,且a、b和aXb按这个次序构成右手系。若 a、b共线，则axb=0。向量的向量积性质：I ax b I是以a和b为边的平行四边形面积。ax a=0。a II b二ax b=0o向量的向量积运算律axb=-bxa;（入 a） x b=k （aXb） =ax （入 b）;(a+b) xc=axc+bxc.注：向量没有除法，“向量 AB/向量CD是没有意义的。向量的三角形不等式1、I I a I - I b I I < I a+b I < I a I + I b I ； 当且仅当a、b反

6、向时，左边取等号； 当且仅当a、b同向时，右边取等号。2、I I a I - I b I I < I a-b I < I a I + I b I 0 当且仅当a、b同向时，左边取等号； 当且仅当a、b反向时，右边取等号。6.定比分点定比分点公式（向量 P1P3 ?向量PP2）设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数入，使 向量P1P3 ?向量PP2,人叫做点P分有向线段P1P2所成的比。若 P1 （x1,y1） , P2（x2,y2） , P（x,y）,则有OP=（OP1+OP2）（1 +入）；（定比分点向量公式）x=（x1+ 入 x2）/（1

7、+ 入），y=（y1+入y2）/（1+入）。（定比分点坐标公式）我们把上面的式子叫做有向线段 P1P2的定比分点公式三点共线定理若OC=< OA +dOB，且 入+d=1，贝A、B、C三点共线三角形重心判断式在 ABC中，若 GA +GB +GC=OJG为4ABC的重心编辑本段向量共线的重要条件若b乎0,则a空间向量令 a=(a i,a2,a3), b (口也初)，则共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合a / b ai bi,a2b2,a3b3( R)aibia 2 b2如果三个向量 a b c不共面：那么对空间任一向量 a3b3P ,存在一个唯一的

8、有序实数组X、V、 z,使p xa yb zc.推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组 x、v、z使 OP xOA yOB zOC (这里隐含 x+y+zi).向量垂直 a b a1bl a2b2 a3b3 0。空间两个向量的夹角公式(a= (ai©®), b= (bihh)。空间两点的距离公式d 一 (x2 xi)2 (V2 yi)2 (z2 zi)2 .利用法向量求点到面的距离 ：如图，设n是平面 的法向量，AB是平面 的一条射线，其中 A ,则点B到平面 的距离Vr lr|AB n|为 .|n|.异面直线间的距离uur rnd |CDr n|(ii/2是两异面直线,其公垂向量为n , C、D分别是li12上任一点，d为li12间的 |n|距离).B到平面的距离uur uu r的一条斜线，Ad |AB n (n为平面 的法向量，AB是经过面|n|直线AB与平