安徽省黄山市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含解析

1、黄山市2019-2020学年度第一学期期末质量检测高二（理科）数学试题第I卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.）1 .若直线a平行于平面a ,则下列结论错误.的是（）A.直线a上的点到平面 a的距离相等B.直线a平行于平面a内的所有直线C.平面a内有无数条直线与直线 a平行D.平面a内存在无数条直线与直线 a成90角【答案】B【解析】【分析】由题意，根据两直线的位置关系的判定，以及直线与平面的位置关系，逐一判定，即可得到 答案.【详解】由题意，直线 a平行于平面a ,则对于A中，直线a上的点到平面

2、a的距离相等是 正确的；对于B中，直线a与平面”内的直线可能平行或异面，所以不正确；对于C中，平面a内有无数条直线与直线 a平行是正确的；对于D中，平面a内存在无数条直线与直线 a 成90角是正确的，故选 D.【点睛】本题主要考查了空间中两直线的位置关系的判定，其中解答中熟记空间中两条直线的三种位置关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题2 .在空间直角坐标系中，点关于平面xOz的对称点为E ,则以，曲=（）A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意，根据点AP：13关于平面xdz的对称点BQJ3）,求得6（定的坐标，利用向量的数量 积的坐标运算，即求解【详解】由题意，

3、空间直角坐标系中，点A(Z-1、3)关于平面xOz的对称点所以dk = Q,-lJ),6b = (NL3),则6b = 2 x 2 + (-1) x 1 + 3 乂3 =】2 ,故选 D.【点睛】本题主要考查了空间直角坐标系的应用，以及空间向量的数量积的坐标运算，其中解答中熟记空间向量数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运 算能力，属于基础题.3 .已知 aEEtbER,贝 U “直线 +1 =0与直线(H-Dxfay+ 1 =0垂直”是 “ a = 3 ” 的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由两直线

4、垂直求得则 己=0或;* = 3,再根据充要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，直线 ax + 2y- 1 =。与直线i l)x-2ay十1 = 0垂直”贝十 1)+ 2 x (-2a) = 0,解得 a = 0或;U = 3 ,所以“直线ax + 2y-l =0与直线(l 1加-2号-1 =Q垂直”是“ a = 3 ”的必要不充分条件，故选 B.【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系，及必要不充分条件的判定，其中解答中利用两 直线的位置关系求得a的值，同时熟记充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与 论证能力，属于基础题.4 .设矩形边长分别为 心bgb),将其按两种方式卷成高

5、为 和b的圆柱(无底面)，其体积分别 为凡和。则%与明的大小关系是()A.B. C.匕 0 表示直线x-y-2 = Q的右上方的部分， 作出图形，求得其面积，根据面积比的几何概型， 即可求 解概率.【详解】由题意，可知圆（x-l）2 iy2=l,表示圆心坐标。，半径是I的圆，其中仅 1），/三】表示的区域为圆及圆内的部分，又由不等式x-y-2三C表示直线x-y-2 = 口的右上方的部分，1,17T-2如图所示，则阴影部分的面积为Si r-x I x I =,4 24,冗-2又由圆的面积为S =所以概率为P=二,故选C.5 4兀【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型及其概率的计算问题，其中解答中

6、根据题意，画出相应的图形，分别求解其面积，利用面积比求解概率是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题11 .两圆十十2次十J 4 = 0在R）与c1d十2by-十产=忡 E R）只有一条公切线，贝Ua十b的最小值为（）A. B. C.D.【答案】C【解析】【分析】由两圆的标准方程，求得圆心坐标和半径，再由题意可知两圆相内切，求得/ +=,利用基本不等式即可求解 己十卜的最小值，得到答案.【详解】由题意可知两圆相内切，又由两圆的标准方程为C1：（x + a）3 I y2 = 43C2：x2 l收=h/= 可的圆心分别为。（-白，。）了式。工），半径分别为2和1,则 W I b2 = 2

7、 - 1 = 1 ,所以 a2 + b2 = 1 ,又由（a d = a2 I tT + 2ab =1 +- a2 I b* = 2 ,当且仅当a = b时等号成立，所以-亦WMbWm,所以己十匕的最小值为已 故选C.【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系的应用，以及利用基本不等式求最值，其中解答中根据两圆的位置关系，求得 十!？ 二 1是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的 能力，属于基础题.12 .已知F,F?是椭圆和双曲线的公共焦点，点 P是它们的一个公共点，且=,设椭圆1 I和双曲线的离心率分别为 、，则;7士；的最大值为（）ei 飞4343【答案】D【解析】【分析】由题意，设

8、点 P是椭圆与双曲线的第一象限内的交点，且 |PFj = mPF=n,则根据椭圆和双11 m曲线的定义求得 帆i% = m,再由曲线的离心率得到 一 + 一 二 一 ,在第1鼻中，由正弦定理化简 q C可得一=耳8皿12。-白），即可求解.【详解】设椭圆的长半轴为 电，双曲线的实半轴为 打，半焦距为C,由题意，设点P是椭圆与双曲线的第一象限内的交点，且 |PF|=mjPF=n,则根据椭圆和双曲线的定义可得!加一“】，则力+ % =|m-n = 2a2e j ,c cm 2c在.狂犬取中，由正弦定理得sinZPF/j sin6。m 2sm4PF.Fi 4_44布工即一=-；=siMPF?F =

9、, 故选 D.c sm60/器 【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线的离心率的定义和性质的应用，其中解答中根据椭圆和双曲线的离心率的定义，借助在AFPFa中，合理利用正弦定理运算求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题第II卷（非选择题满分90分）二、填空题（本大题共 4小题，每小题5分，共20分.）13 .命题“MxER,使得x町2k + 5 = Q”的否定是 .【答案】VxER,都有xi 2x + ”。【解析】【分析】由题意，根据全称命题与存在性命题的否定关系，即可得到答案【详解】由题意，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“%ER,使得/十改-5 = 0”的否

10、定是“4毛此都有小十六“。”.【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，合理、准确求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题14 .如图，圆+1, = 10与圆I (y -|=50交于A、E两点，则公共弦AB的长是【答案】【解析】【分析】由两圆的方程相减求得公共弦的方程2x + y = 0,在根据圆的弦长公式，即可求解.【详解】由圆疔+ w =1。与圆(X1寸 7y I可得公共弦 AB的方程为(x-2)2 + (y- I)2 10 (X-I行I (y卜3)乙50 = 口，整理得公共弦 AB的方程为2x + y = 0,因为圆G：

11、(x-2+1f=1。的圆心(2,1),半径为何，J 厂圆心到直线 AB的距离为d = 忑=力，所以公共弦AB的长为1 = 2y二系=求同不帚=邱.【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，以及直线与圆的位置关系及弦长的求法，其中解答中根据两圆的方程相减，得到公共弦的方程，再由圆的弦长公式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.15 .长方体ABCD-AB5Di中，|&=命|=2,区%|=3,则异面直线BD1与DC1所成角的余弦值为【解析】【分析】由题意，以D点为原点，建立适当的空间直角坐标系，求得 旧) = (-2,-2,3)元=(。23),禾1J用空间向量的夹角公式，即可求解

12、.【详解】由题意，以 D点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则.,所以丑旦=(-223),氏1 =(023)，阮忘可得眄 |Dg|-2x0 + (-2) x 2 + 3 x 3 _ 521#一2尸卜(-2)一,梦 22 31 221【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解异面直线所成的角,其中解答中根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题16 .已知抛物线x2 = 4y,斜率为1的直线:过抛物线的焦点，且与抛物线相交于 AB两点，若以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切于点P ,则点P到直线.AB的距离为 .【答

13、案】.【解析】【分析】设直线AB的方程为 S b ,线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切与点P,列出方程，求得b=l,得出直线AB的方程x十药-2 = 0,从而求出点P的坐标和AB的方程，即可得出答案【详解】设直线 AB的方程为y = -i ib,代入抛物线x2 = 4y可得-Qb十)y + b2 = 0,设4(方必)卫的，文 AB的中点为M、j,Yi +y2 2b + I则i十右=比十1,当为二6,所以=,所以 IABI =- 4/2b 十 1)-4二国4b - 1 ,因为线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切与点巳所以真妇1)=而、:砺T,2解得b=l,即直线AB的方程为y =4 1 ,即x

14、+2y-2 = C,所以点P的坐标为(-1.-1),|- 1 -2- 2|所以点P到直线AB的距离为d = -【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及简单的几何性质，以及直线与抛物线位置关系 的应用，其中设出直线，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系和题设条件，列出方程求 得h的值，得出直线的方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档 试题.三、解答题(本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17 .设命题P：在矩形ABCD中，AD=l,AB = a,线段CD上存在一点使得命题 q：VxER,函数f(x)=x，(a W)x+1图象与x轴没有交点

15、.如果命题“p V q”是真命题，且“p 吊q”是假命题，求实数a的取值范围.【答案】【解析】【分析】 由题，由于则点M在以nB为直径的圆上，所以直线CD与圆。有公共点，根据ADwR, 求得a兰2;再由命题q中，根据32若命题q为真： =。日V5由题可知，命题P、q一真一假，则 5或上；,二5解得.【点睛】本题主要考查了根据复合命题的真假求得参数的取值范围问题，其中解答中根据圆的性质和二次函数的图象与性质，正确求解命题P闺是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18 .如图，圆柱。1内有一个直三棱柱a,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆0直径，AC = CB = 2 .

16、 E,F分别为内上的动点，且CE = BF .(I)若该圆柱有一个内切球，求圆柱的侧面积和内切球的体积.(n)在(I)的条件下，当 CE=【时，求异面直线0也与所成角的余弦值.【答案】(I ) 3%(!) 313【解析】【分析】(I)由圆柱。1有一个内切球，求得 AR = AA=2忑,进而得到圆柱的底面半径和高，进而求得求得半径，利用球的体积公式，即可求解 (n)由题意，以 C为坐标原点，所在方向分别为xj中的正方向建立空间直角坐标 系分别求得向量E瓦,F0的坐标，利用向量的夹角公式，即可求解【详解】(I)由题可知AB赤，由于圆柱0。1有一个内切球, 所以AE = AA=2& .ABC-因此，

17、圆柱0。1的底面半径为 三=叵 高为AA = 2之，所以圆柱的侧面积为由题可知，圆柱的内切球的半径为；a八1 =也，4 3 8 (-所以该内切球的体积(n)由于CE= I, CE = RF,所以E，F分别为AG BC的中点.由题可知CRCA,CC两两垂直，所以可以以 C为坐标原点，心工IcG所在方向分别为x,y花的正方向建立空间直角坐标系(如图)由(I)的条件可得：.EBt =.12松，必1 = (=1、。、响，EH/g _ 8-2 _2四E百吟1| %仁3 13 即异面直线BE与所成角的余弦值为【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征的应用，球的体积的计算，以及利用空间向量求解异面直线所成的角

18、，其中解答中正确认识组合体的结构特征， 以及建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理 与运算能力，属于基础题.19 .如图所示，在平面直角坐标系 xOy中，平行于x轴且过点A(342)的入射光线L被直线 hc-J如=0反射，反射光线“交y轴于B点，圆c过点A,且与L、必相切.(I)求所在直线的方程；(n)求圆c的方程.【答案】(I)招K-yT = U () (x3干广+ 6+ 1)3 = 9【解析】【分析】(I)设】|与:交于点D,求得D点的坐标，进而利用直线的倾斜角求得直线的斜率，再利用直线的点斜式方程，即可求解.(II)设圆心C(a.b),根据圆心C在过

19、点D且与:垂直的直线上，且C点在d点的下方，求得b = r余4 8,再由圆心C在过点A且与垂直的直线上，求得a工的值，进而求得圆的方程.【详解】(I)如图，直线：y = 2,设】|与:交于点D,则D Q忑,2).的倾斜角为30。%的倾斜角为60。，即k若所以反射光线L所在直线方程为 力2=廊.2回即.-(n)设圆心C(a,b),由题意可知：圆心 C在过点D且与:垂直的直线上，且C点在&点的下方,又圆心C在过点A且与】垂直的直线上，,，虱-1故圆C的半径r = 2-(-1) = 3,所以圆C的方程为乂-3由f+ (y+$=9.【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，以及圆的标准方程的求解，其中解答

20、中根据题设条件的对称性，求得直线 “的斜率，以及第二问中根据圆的性质求得圆心的坐标是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题20 .如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA _L平面ABCD ,点E是棱12的中点，点F是 PC的中点.(I )求证：直线PB评面ACE ；( 2)平面BDF 1平面PAC ；(n)若底面ABCD为正方形，PR = B,求二面角C-AF-B大小.Bc【答案】(i)详见解析(n)60【解析】【分析】(1) (1)中，设菱形ABCD的对角线相交于点O,连接OE.根据中位线的行贿，证得PB/OE , 进而利用线面平行的判定定理，即可得到PE/平面A

21、CE；(2)由于PAJ平面ABCB,证得所以PABD,再由菱形ABCD,得BDAC,利用线面垂直 的判定定理，证得平面PAC,进而利用面面垂直的判定定理，即可得到平面BDFJ平面PC.(n)由题意，分别以 向、&一点的方向为坐标轴方向，建立空间直角坐标系.分别求得平面CAF和平面DAF的一个法向量利用向量的夹角公式，即可求解【详解】(I)证明：(1)设菱形ABCD的对角线相交于点O,连接OE.由题可得点0、E分别 为线段BD、PD的中点，J.PE/OE,又PR亡平面ACEQE匚平面ACE,平面ACE.(2)由于PAJ平面ABCD, ED匚平面ABCD,所以g_LBD,由菱形ABCD可得BDLA

22、C,又PA. AC是平面PA2内两相交直线，.0_1_平面口想2,因为HD仁平面BDF,故平面BDF 平面PAC.(n)由题可知 AB、AD、AF两两垂直，则分别以XL、&的方向为坐标轴方向，建立空间直角坐标系.由沼=3AB可得AP = AB ,于是可令AP = AB = AD = 2 , 则设平面CAF的一个法向量为n = (x,l,0).由于品=Q2。)，所以= Q,N0”(xJ，S = 2乂+2 = 0,解得 x= - I ,所以 = (- I，口)因为、轴u平面DAF,所以可设平面DAT的一个法向量为m=(l ,0,z)由于盛=(I,LI),所以 Ai： m =(1.1,1) (1,0

23、,z) = + z = O,解得工=-I ,所以Im n| 14一 = -.所以二面角C-AF-D的大小为6。, .小|m| |n| 2【点睛】本题考查了立体几何中的线面位置关系的判定与证明，以及二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关 键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理；同时 对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向 量的夹角公式求解.21.如图，森林的边界是直线I,图中阴影部分是与：垂直的一道铁丝网，兔子和狼分别位于草 原上点A和点B处，其中AB = EC = 1km ,现兔子随机

24、的沿直线 AD ,以速度北准备越过森林边界 :逃入森林，同时，狼沿线段 BH以速度v进行追击，若狼比兔子先到或同时到达点M处，狼就会吃掉兔子.某同学为了探究兔子能否逃脱狼的追捕，建立了平面直角坐标系xCy （如图），并假设点W的坐标为（K,y）.（I）求兔子的所有不幸点 M （即可能被狼吃掉的地方）组成的区域的面积S；（n）若兔子随机沿与 AC成锐角e（e = zcad）的路线越过i向森林逃跑，求兔子能够逃脱的概率.2 2【答案】（I） 丁（ n）-【分析】(I)由题意，可知狼要想吃掉兔子，就必须先到达M点或与兔子同时到达 M点，即t眼Wt先，化简可求解相应的不等式关系，得到答案 .(n)过点A作半圆P：父卜= 的切线，