二次函数中的分类讨论思想

1、二次函数中的分类讨论思想、例题分析归类:(一)、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：(1)轴定，区间定；(2)轴定，区间变；(3)轴变，区间定；(4)轴变，区间变。1.轴定区间定例1. ( 2008年陕西卷)22.本小题满分14分)设函数 f(x) = x3+ax2a2x+1,g(x) = ax22x+1，其中实数 a00.(i)若a0,求函数f(x)的单调区间；(n)当函数y = f (x)与y = g(x)的图象只有一个公共点且g(x)存在最小值时，记 g(x)的最小值为h(a),求h(a

2、)的值域；(出)若f(x)与g(x)在区间(a,a+2)内均为增函数，求 a的取值范围.2 .轴定区间动例2.(全国卷)设a为实数，函数f (x) =x2 + | x -a | +1,a亡R,求f(x)的最小值。3 .轴动区间定2f (x)在m,n评注：已知f(x)=ax +bx+c(a00),按对称轴与定义域区间的位置关系，由数形结合可得 上的最大值或最小值。例3.求函数y = -x(x -a)在x w _1 , 1上的最大值。4 .轴变区间变2-22例 4.已知 y =4a(xa)(a 0),求 u=(x3) +y 的最小值。(二)、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中的

3、参数值。例5.已知函数f (x) =ax2+2ax+1在区间3,2上的最大值为4,求实数a的值。2x例6.已知函数f (x) =-+x在区间m, n上的值域是3m,3n,求m, n的值。练习：1、( 2008 江西卷 21).14132 24已知函数 f(x)= x ax -ax a (a 0)43(1)求函数y = f(x)的单调区间;(2)若函数y=f(x)的图像与直线y=1恰有两个交点，求 a的取值范围.32、已知二次函数 f (x) =ax2+(2a1)x+1在区间,2上的最大值为3,求实数a的值。23、( 2008山东卷21.)(本小题满分 12分)设函数f (x) = x2ex，+

4、ax3+bx2,已知乂 = 一2和乂=1为f(x)的极值点.(i)求a和b的值；(n)讨论f(x)的单调性；2 32(又g(x)=3x-x，试比较f”g(x)的大小.二次函数中的分类讨论思想例题答案:例 1.解：(I): f (x) =3x2 +2ax -a2 =3(x -)(x + a),又 a0, 3,、 a 一. .一a 一.一当 x时，f (x) 0 ；当a x 时，f(x)0时，f (x)在(*,a)和(一，收)内是增函数，g(x)在(一，收)内是增函数.3aa 0.一一 a -一由题息得a上一，解得a 1 ；3 a1 ， ,-)内是增函数.aa、 一a 0由题意得a +2 Ma ,

5、解得a -3;当a 0时，f (x)在(,?和(-a,y)内是增函数,3a 2 -1 a综上可知，实数 a的取值范围为(3，-3U1,) .1 O 3例 2. (1)当 x 之 a 时，f (x) = (x + )+ a2 4113右 a M，则 f(x)min = f() = a； 2241 2.若 a A，则 f (x)min = f(a) =a +121 23(2)当 xa 时，f(x)=(x)+a 2412右 a ，则 f (x)min = f (a) =a + 1 ； 2113右 a ,则 f(x)min = f( )= +a 2241 .311.2 .1 ,综上所述，当 aW -时

6、，f(x)min= - a;当一一a时，f (x) min = a +1；当 a 之一时, 24222一、 3 f ( x)min = - a 42例3.解析：函数y = _(xa)2 +a-图象的对称轴方程为x=?,应分1 Ma M1 ,1,242222IP -2a2, a2这三种情形讨论，下列三图分别为(1) a -2;由图可知 f (x)max = f(1)(2)-2 a 2；由图可知刈max 二 f(2)(3) a A2 时；由图可知 f(x)max=f(1)7(-1), a -2(a +1) , a 1)例 5.解析：f (x) =a(x+1)2 +1 a,x3,2(1)若 a=0,

7、 f (x) =1,不合题意。(2)若 a 0,则 f (x)max= f(2) =8a+1，-. ,口3由 8a +1=4,佝 a= 8(3)若 a 0时，则 f (x)max = f(-1) =1 -a由 1 a =4 ,得 a =-33综上知a =或a = 38例6.解析1:讨论对称轴* = 1中1与m, mn , n的位置关系。若2 max = f(n) =3n解得f (x)min = f (m) =3m 0若f(x)max=f(1) =3n 无解 f (x)min = f (m) =3m若f(x)f(x)maxmin=f (1) = 3n,无解=f (n) =3m若I 0时，f (x

8、)在f(x)=0根的左右的符号如下表所示x(0, -2a)-2a(-2a,0)0(0,a)a(a*)f (x)0+00+f(x)L极小值口极大值极小值所以f(x)的递增区间为(2a,0)与(a,)f(x)的递减区间为(*,2a)与(0, a)5 47 4 由(1)倚到 f(x)极小值=f(2a) = a, f(x)极小值=f(a)=-a 312f(x)极大值=f(0)=a4 5 ,7要使f(x)的图像与直线y=1恰有两个交点，只要 _5a4 1 a4或a4 1 ,312即a a1或0 Wa 0与a0两大类五种情形讨论，过程繁琐不2、分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分堪。若注意到f

9、(x)的最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程简明。2a -11解：(1)令 f (-) = 3,得 a =2a23 一1此时抛物线开口向下，对称轴为笨=7,且2到万，2 故2 =-万不合题意；，一一31 一 _1 (2)令f (2) =3 ,得a =,此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴远些，故 a =符合题意;224 _2_2(3)若f () =3 ,得a =,经检验，符合题意。331 ,、2综上，a =或a = 2 3评注：本题利用特殊值检验法，先计算特殊点(闭区间的端点、抛物线的顶点)的函数值，再 检验其真假，思路明了、过程简洁

10、，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法。3、21 .解：(I)因为 f(x) =ex(2x+x2)+3ax2+2bx =xex,(x + 2) + x(3ax + 2b),又x = 2和x=1为f(x)的极值点，所以f(2) = f(1)=0 ,工 6a 2b =01因此a解方程组得a = 1, b = 1 .3 3a 2b -031x _1(n)因为 a=, b = 1,所以 f (x)=x(x+2)(e 1), 3令 f (x) =0 ,解得 x1 = -2 , x2 = 0 , x3 =1 .因为当 xW (，2) U(0,1)时，f(x)0.所以f (x)在(2,0)和(1,+8)上是单调递增的；在(-0%2)和(0,1)上是单调递减的.(出)由(I)可知 f (x) =x2ex4-x3 -x2,3故 f (x) -g(x) =x2exq-x3 =x2(ex-x),令 h(x) =ex4-x ,则 h(x) = ex，-1 .令 h(x) = 0 ,得 x=1,因为 xw (-00,1时，h(x) 0 0,所以h(x)在x三(-%1】上单调递减.故 xJ-