与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析

1、与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析本文结合例题归纳六类与平行四边形有关的常见辅助线，供同学们借鉴：第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。例1如左下图1,在平行四边形 ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AE = CF ,请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已 有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）连结BFBF = DE证明：连结 DB,DF，设DB, AC交于点O四边形 ABCD为平行四边形. AO = OC,DO = OB. AE = FC. . AO-AE=OC - FC 即 OE = OF，四边形EBFD为平行四边形B

2、F = DE第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。例2如右图2,在平行四边形 ABCD中，对角线AC和BD相交于点O,如果AC = 12,BD=10, AB = m，那么m的取值范围是（）A1 二 m 二 11 B2 :二 m :二 22 C10 :二 m 二 12 D5 :二 m :二 6解：将线段 DB沿DC方向平移，使得 DB =CE ,DC = BE ,则有四边形CDBE为平行四边形，.在 AACE 中，AC =12,CE = BD = 10, AE = 2AB = 2m 12-10 <2m<12 + 10,即 2<2m<22 解得 1<m<1

3、1 故选 A第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。例3已知：如左下图3,四边形 ABCD为平行四边形、222222求证：AC BD = AB BC CD DA证明：过A,D分别作AE_LBC于点E, DF _L BC的延长线于点FAC2 =AE2 CE2 = AB2 - BE2 （BC - BE）2 = AB2 BC 2 - 2BE BC则 AC2 BD2 =AB2 BC2 CD2 DA2 2BC CF -2BC BE 四边形ABCD为平行四边形AB / CD且AB = CD , AD = BC /ABC =/DCF/AEB =/DFC =90°M

4、BE = ADCFBE=CF AC2 BD2 = AB2 BC2 CD2 DA2第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。例4：已知：如右上图4,在正方形 ABCD中，E,F分别是CD、DA的中点，BE与CF交于P点，求证：AP = AB证明：延长CF交BA的延长线于点 K .四边形 ABCD为正方形AB / CD 且 AB=CD, CD = AD , /BAD =/BCD =ZD =90° /1 =/K又: /D =/DAK =90°, DF = AFACDF 色 AKAF八八 1八1AK =CD =ABCE =CD,DF =AD . CE = DF22&

5、#163; CPB = 90°,则 / KPB = 90°/BCD =/D =90°ABCE ACDF，N1=/2 /1 +N3 =90°Z2 +/3 = 90°AP = AB第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。例5如左下图5,在平行四边形 ABCD中，点E为边CD上任一点，请你在该图基础 上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。解：延长AE与BC的延长线相交于 F ,则有AAED s AFEC , AFAB s AFEC , MED s AFAB第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线1 _ 一

6、例6已知：如右上图6,在平行四边形 ABCD中，AN = BN,BE=BC,NE3交BD于F ,求BF : BD解：连结AC交BD于点O,连ZON四边形ABCD为平行四边形OA=OC,OB =OD =BD2. AN = BN1八. BE BC 3,BF 2 . “ ， BO 一 5一 1 人 一 1 人ON /BC 且 ON =1BC22 . BE :ON =2:3 . BF : BD =1:5BEONBF _ 2FO 一 3BFFO综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形,为证明解

7、决问题创造条件。四边形平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为和 口， 平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。 上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片梯形的辅助线口诀：梯形问题巧转换，变为和口。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出 现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形 问题的基本思路。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 常见的几种 辅助线

8、的作法如下：作法图形平移腰，转化 为三角形、平行四 边形。平移对角线。转化为三角形、平 行四边形。延长两腰，转 化为三角形。作高，转化为 直角三角形和矩 形。中位线与腰中点连线。（一）、平移1、平移一腰:例 1.如图所示，在直角梯形 ABCtDK /A= 90° , AB/ DC AD= 15, AB=16, BO 17.求 CD的长.解：过点D作DE/ BC交AB于点E.又AB/ CD所以四边形BCDEI平行四边形.所以 DE= BO 17, C5 BE.在RDAE中，由勾股定理，得aU=dE AD,即 A= 172 152 = 64.所以A已8.所以B已AB- A已16-8 =

9、8.例2如图，梯形ABCD勺上底AB=3下底CD=8月要AD=4求另一腰BC的取 值范围。解：过点B作BM/AD交CD于点M 在/XBCW, BM=AD=4CM=CD DM=CD AB=8- 3=5, 所以BC的取值范围是： 5-4<BC<54,即 1<BC<9 2、平移两腰：例 3 如图，在梯形 ABCD中,AD/BC, / B+ / C=90° , AD=1 BC=3 E、F 分别是AD BC的中点，连接EF,求EF的长。解：过点E分别作AB CD的平行线，交BC于点G H,可得/ EGHk / EHG= B+ / C=90°则EGK直角三角形因

10、为E、F分别是AD BC的中点，容易证得F是GH的中点.11 ,所以 EF =GH = (BC -BG -CH )223、平移对角线:例 4、已知：梯形 ABCm，AD/BC, AD=1 BC=4 BD=3 AC=4 求梯形 ABCD的面积.解：如图，作DEE/ AC交BC的延长线于: AD/ BC四边形ACE北平行四边形BE=BC+CE=BC+AD=4+,1=DE=AC=4.在DBEt, BD=3,DE=4 BE=5丁. / BDE=90 .作 DHL BC于 H,贝U DHBD ED 12巳点.BE 5S梯形ABCD（AD BC） DH匚125 5 会二 62例5如图，在等腰梯形 ABCD

11、fr, AD/BC,AD=3 BC=7 BD=52 ,求证：AC± BQ解：过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E,易得四边形BCE北平行四边形,贝U DE=BC CE=BD=<12 ,所以 AE=AD- DE=AD- BC=* 7=10。在等腰梯形ABCDfr, AC=BD=6,所以在 ACE, AC 2 +CE2 =（5亚）2 十（5女）2 =100 = AE2 ,从而ACL CE,于是ACL BD例 6 如图，在梯形 ABCDt, AB/CD, AC=15cm BD=20cm 高 DH=12cm 求梯形ABCD勺面积。解：过点D作DE/AC,交BC的延长线于点E,则四边

12、形ACE北平行四边形,即 S &BD =S&CD SDCE q所以 S梯形ABCD = SaBE由勾股定理得EH = DE2 - DH 2 - AC2 - DH 2= 4152 -122 =9 7项BH = . BD2 -DH 2 = .202 -122=16(cm)C1一S DBE = BE 所以 212DH = (9 16) 12 =150(cm2)2,即梯形ABCD勺面积是2150cm。（二）、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。例 7 如图，在梯形 ABCLfr, AD/BC, / B=50° , C C=8（J , AD=2 BC=5 求CD的长

13、。解：延长BA CD交于点E。在 BCE, / B=50° , / C=80° 。所以/ E=50° ,从而 BC=EC=5同理可得AD=ED=2所以 CD=EGED=5- 2=3BC AO BD, AD= BC.判断例8.如图所示，四边形ABCLfr, AD不平行于四边形ABCD勺形状，并证明你的结论.解：四边形ABCD1等腰梯形.证明：延长AD BC相交于点E,如图所示.,. AO BD AD= BC AB= BA,. .DA皆 ACBA.丁 / DA四 / CBA.EA= EB.又 AD= BC a DE= CE / EDC= /ECD.而 / E+ / E

14、A计 / EBA= / E+ / EDCb / EC氏 180 ./EDC= /EAB-DC/ AB.又AD不平行于BC一四边形ABC此等腰梯形.（三）、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形。例 9 如图 6,在直角梯形 ABCm,AD/BC, AB±AD, BC=CD BH CDT点 E, 求证：AD=DE解：连结BD由 ADBC,得/ ADBW DBE由 BC=CD 得/ DBC=T BDC所以/ ADBN BDE又 / BADW DEB=90 , BD=BD所以 RtABAtDRtABED得 AD=DE（四）、作梯形的高1、作一条高例10如图，在直角梯形 ABCm,ABD

15、C, /ABC=90 , AB=2DC对角线A C±BD,垂足为F,过点F作EF/AB,交AD于点E,求证：四边形 ABFE是等腰 梯形。证：过点D作DGL AB于点G,则易知四边形DGBO矩形，所以DC=BG因为AB=2DC所以AG=GB从而 DA=DB 于是/ DABW DBA又EF/AB,所以四边形ABF式等腰梯形。2、作两条高例 11、在等腰梯形 ABCD, AD/BC, AB=CD / ABC=60 , AD=3cm BC=5c 成求：腰AB的长；梯形ABCD勺面积.解：作 AE! BC于 E, DF± BC于 F,又AD/ BC四边形 AEFD®矩形，

16、EF=AD=3cm.AB=DC.在 RtzXABE中，/ B=60° , BE=1cm . AB=2BE=2cm AE = 3BE = . 3cm(AD BC) AE2S梯形ABCD =4.3cm2例12如图，在梯形 ABCm,AD为上底，AB>CD求证：BD>AC证：作AE± BC于E,彳DF，BC于F,则易知 AE=DF在 RtzXABE和 RQDCF中，因为 AB>CD AE=DF所以由勾月£定理得BE>CF即BF>CE在 RtBDF和 RtCAE中由勾股定理得BD>AC（五）、作中位线1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线

17、。例13如图，在梯形 ABCm,AB/DC,。是BC的中点，/ AOD=90 ,求证:AB+ CD=AD1证：取AD的中点E,连接OE则易知OE是梯形ABCD勺中位线，从而OE» 2（AB+ CD 在AOD, /AOD=90 , AE=DE1所以OE=AD2由、得AB+ CD=AD2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延 长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。例14如图，在梯形 ABCDt, AD/BC, E、F分别是BD AC的中点，求证:,、一_ ，一 1 ,、(1) EF/AD; (2) EF=(BCAD) 2证：连接DF,并延长交BC于点G,易证A

18、AF CFG则 AD=CG DF=GF由于DE=BE所以EF是BDG勺中位线1 -从而 EF/BG,且 EF BG 2因为 ADBG, BG =BC-CG =BC-AD1 ,所以 EFAD, EF=(BCAD)23、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解 题的目的。例15、在梯形 ABCDt, AD/ BC / BAD=90, E是DC上的中点，连接 AE和 BE,求 / AEB=Z CBEE解：分别延长AE与BC,并交于F点 / BAD=90fi AD/ BC ./ FBA=18&- / BAD=90又 : AD/ BC / DAEW F（两直线平行内错角相等

19、）/AEDW FEC （对顶角相等）DE=EC（E点是CD的中点）. .AD陷 AFCE （AASAE=FE在 ABF中 / FBA=90 且 AE=FEBE=FE (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)在 FEB中 /EBFW FEB/ AEB=/ EBF+ / FEB=2 CBE例16、已知：如图，在梯形ABCm，AD/BC, AB±BC E是CD中点，试问:线段AE和BE之间有怎样的大小关系？BCF解：AE=BE理由如下：延长AE,与BC延长线交于点F. DE=CE / AEDN CEF/ DAEW F. .AD陷 AFCE .AE=EF. AB，BC a BE=AE例 17、已知：梯形 ABCLfr, AD/BC, E为 DC中点，EF±AB于 F点，AB=3c m, EF=5cm求梯形ABCD勺面积.解：如图，过E点作MN/ AB,分别交AD的延长线于M点，