第15讲倾斜的天平——由相等到不等

1、第十五讲倾斜的天平一一由相等到不等现实世界既包含大量的相等关系，又存在许多不等关系， 许多现实问题是很难确定（有时也不需确定）具体的数值，但可以求出或确定这一问题中某个量的变化范围或趋势，从而 对所研究问题的全貌有一个比较清晰的认识.不等式（组）是探求不等关系的基本工具，不等式（组）与方程（组）在相关概念、解法上有着相似点，又有不同之处，主要体现在：等式、不等式两者都乘以（或除以）同一个数时，等式仅需考虑这个数是否为零，而不等 式不但要考虑这个数是否为零，而且还需注意这个数的正负性；解方程组时，我们可以“统一思想”，即可以对几个方程进行“代人”或“加减”式的 加工，解不等式组时，我们只能“分而

2、治之”，即只能分别求出每个不等式的解集，然后再求公共部分，才能得出不等式组的解集.例题5-2>x> -1 【例1】 已知关于X的不等式组3无解，则X的取值范围是；、x-a >0（2）已知不等式3xaw。的正整数解恰是1, 2, 3,则a的取值范围是 .（重庆市中考题）思路点拨 （1）从数轴上看，原不等式组中两个不等式的解集无公共部分；（2）由题意知不等式的解在 x<4的范围内.【例2】（1）若不等式（ax 1）（x十2）>0的解集是一 3Vx<2,那么a等于（）.A. 1 B. - C. 3 D. 一 3（湖北省宜昌市中考题 ）33一，2_， 一（2）已知一

3、 1<a<0, xa=a ,则x的取值范围是（）.A. 一 l<x<0 B. 0<x<1 C. 一 2<x<0 D, 0<x<2（太原市竞赛题）思路点拨（1）由有理数的乘法法则，将不等式转化为不等式组，由不等式组的解集逆推出参数a的值；（2）把x用a的代数式表示，由a的范围来确定x的取值范围，注意分类讨 论.注：类比是根据对象或两类事物的一些属性相同或相似，猜测另一些属性相同或相似 的思维方法，方程与不等式可以从几个方面类比学习：（1）相关定定义；（2）基本性质；（3）解法；（4）解的情况的讨论.【例3】解下列关于x的不等式（组）：（

4、1） （2mx +3） <3x + n ；（2） x -2 W2xT0;ax - 4 < 8 - 3axKa +2）x-2 >2（1 -a）x+4思路点拨 与方程类似，解含字母系数的不等式（组）需要对字母系数进行讨论；解含绝 对值符号白不等式（组）的关键是去掉绝对值符号，化为一般的不等式来求解，而“零点分段讨论法”是最有效的方法.【例4】 已知三个非负数a、b、c满足3a + 2b + c = 5和2a + b - 3c = 1 ,若 m=3a+b-7c,求m的最大值和最小值.（江苏省竞赛题）思路点拨本例综合了方程组、不等式组的丰富知识，解题的关键是通过解方程组，用 含一个字

5、母的代数式来表示m,通过解不等式组，确定这个字母的取值范围， 在约束条件下，求m的最大值与最小值.【例5】 求X5 3yz =7850中的数字x、v、z.（全俄第19届中学生竞赛题）思路点拨 从估算玩3yz值的大小，建立关于 x的不等式组入手.b . b .注：若一兀一次不等 ax >b后，则当a>0时，x >9 ；当a<o时，x<»（3）当a=0,aab>0,则解集为所有数；若 b<0,则这个不等式无解.了解含绝对值符号的不等式，常用到绝对值概念与性质：（1）若 x <a（a 之0）,则a <x <a ； （2）若 x &

6、gt;a ,则 x a a或x < -a ；（3）若 a > a ,则 a <0； （4）若 a| a b ,则 a2 >b2.相等与不等是矛盾的两个方面，既对立，又统一，具体体现在：（1）运用不等式（组）讨论方程（组）的解的正负性；（2）运用不等式（组），用逼近的方法求特殊方程 （组）的解；对于含 有等式、不等式的混合型问题，综合运用方程（组）（消元思想）、不等式（组）（逼近思想）求解.确定不等式（组）中参数的取值范围常用的方法有：（1）逆用不等式（组）解集确定，（2）分类讨论确定；（3）借助数轴确定.【例6】若关于x的不等式组j 54 1（1）的解集为x<4,

7、则m的取值范围x m ：二 0 （2）是.思路点拨由得x<4 .由得 x<m. =其解集为 x<4 , rn>4, 1- m< 4.4【例7】 右不等式（2ab）x+3a4b<0解集是x > ,则不等式（a-4b）x+2a 3b > 0的解集是.思路点拨原不等式可化为（2ab）x4b3a4 x 9'2a-b<081. <；4b -3a _ 4 ,可得a = 8b,b < 0，代入所求的不等式得解集为x> .豆丁 974注：不等式系数的符号决定了不等式解集中的不等号的方向，其数值决定了取值范围的边界，所以，反过来，我

8、们可以通过不等式的解集来确定不等式中系数的符号及参数的取值范围，通常用直观分析法或数轴分析法.5x -7【例8试确定c的取值范围，使不等式组x 3-(2x 5) - (1)51.5c -0.5(x 1) 0.5(c -x) 0.5(2x -1) (2)只有一个整数解；(2)无整数解.(2)只有一个整数解毒味着有解，且思路点拨 由(1)得x>1.7,由(2) x<c(1)只有一个整数解，则整数解为一1, 1<c & 0 ；(2)若无整数解，则c<- 1【例9】 在满足x+2yW3, z>0, y>0的条件下，2x+y能达到的最大值是 思路点拨 : x+

9、2y <3, x< 3-2y , 2x 十 y w 2(3-2y)+y= -3y+6 1-y>0, 2x+yW6.故2x+y的最大值为6.【例10】设x1，x2,，x7 为自然数，且x1 < x2< x 3< , < x6< x7,又x1+ x2+x7=159,则x1+ x2+x3的最大值为 .思路点拨 :*1, x2,，x7为自然数，且x1< x2< *3<-< x6< x7,159= x+ x2+ +x7>x+ (x+1) + (x+2) +,+ (x+6) =7x1 +21,.x1W195,，x1 的最大

10、值为 19;7又 19+x2+x3+x7=159 ,140Ax2+(x2+1)+( x 2+2)+ +(x2+5)=6x 2+15,x2 20x2 的最大值为 206当 Xi , x2 都取最大值时，有 120=x3+x4+x7> x3+( x 3+1)+ (X3+4)=5x 3+10.-.X3< 22, X3 最大彳1 为 22.Xi+ X2+X3 的最大值为 19+20+22=61 .学力训练x +6 x1,若关于x的不等式组541的解集为x<4 ,则m的取值范围是 x m ：二 0.2x a<1, 2 .若不等式组的解集为一 l< x<l ,则(a+1

11、)(b-1)的值等于.,x-2b >3(重庆市中考题)3 .已知a<0,且axa,则2x -6 - x - 2的最小值为(“希望杯”邀请赛试题)'x + 2y = 6 4 .当k=时，方程组，有正整数解.、x - y = 9 - 3k5 .已知a为整数，关于x的方程a2x20=0的根是质数，且满足 ax-7 > a2,则a等于().A. 2 B. 2或 5 C. ± 2 D. 2(江苏省竞赛题)4x+y =k+1，-6 .若方程组的解满足条件<x + y<1,则k的取值范围是().x +4y =3A. 4<k<1 D, 一 4<

12、k<0 C. 0<k<9 D. k>一4(河南省竞赛题)7.要使不等式 a7 <a5 <a3 <a <a2 <a4 <a6 <成立，有理数 a的取值范围是().A. 0<a<1 B. a<1C. - 1<a<0 D. a>1(河北省初中数学创新与知识应用竞赛题)18 .已知a、b为常数，右ax+b>o的解集是x <-,则bx-a<0的解集是().3A. x>一 3 B. x< 3C, x>3 D. x<3(江苏省竞赛题)9 .解下列关于x的不等式(组)

13、：a b(1) qx+b a qx+ab ;(2) 2x -1 < 3 ；(3) x - 4 - 2x -3 < 1;x > a +1(4) ax -1 > ax -1 ；(5) *x <2a -1'x - y=2什、"/士10.已知方程组,，若万程组有非负整数解，求正整数m的值.mx + y = 6+忖xby+8 =0 的解,求不等式组x = 1 口，-、E/ C、2如果 是关于x、y的万程(ax + by12) j = 213x +14Jx a > b 的解集.ax - 3 ； x 3x -112.已知不等式组< x<1x

14、<1 -k,1 .当k =一时，不等式组的解集是 ；当k=3时，不等式组的解集是 ；2当k = - 2时，不等式组的解集为 .(2)由(1)知，不等式组的解集随数k值的变化而变化，当 k为任意有理数时，不等式组的解集为.（常州市中考题）10 、13 .如果关于 x的不等式（2m n）x m 5n>0的解集为x < ,那么关于 x的不等式mx>n（rn w 0）的解集为.（哈尔滨市竞赛题）'x y = a+3 - 一14 .已知关于x, y的方程组的解满足x>y>0,化简a+3 a=.2x + y=5a（2003年呼和浩特市中考题）15 .不等式（x

15、+x）（2x） <0的解集是.2x <3（x -3） +1a的取值范围是（).16 .关于x的不等式组3x+2有四个整数解，则a x + a,411B.:二 a4C.11 . 一 a4D.115-： a ：二-142（泰安市中考题）17 . 一共有（）个整数小x适合不等式I x - 2000 + x < 9999A. 10000 B. 20000 C. 9999D. 80000（“五羊杯”邀请赛试题）18 .已知 m、n 是整数，3m+2=5n+3,且 3m+2>30 , 5n+3<40,贝U mn 的值是（)A. 70, B. 72 C . 77D. 8411一

16、c<a+b<2c619.若正数a、b、c满足不等式组35-a <b +c<-a，235,11一b<a+c< b24则a、b、c大小关系是（)A. a<b<cB. b<c<a C . c<a<bD.不确定（“祖冲之杯”邀请赛试题 ）2x -3y = -5 -20 .已知m是整数且一 60Vm<30,关于x, y的二元一次方程组 ,有整数3x _ 7y = m解，求x2十y的值.（希望杯数学竞赛）21 .已知x、y、z是三个非负有理数，且满足 3x+2y+z=5 , x+y-z = 2,若s=2x=y-z ,求s的 取值

17、范围.9x-a>0 22 .如果不等式组 ,的整数解仅为I, 2, 3,那么适合这个不等式组的整数a、b8xb <0的有序数对（a, b）共有多少个？青说明理由.（全国初中数学联赛试题）23 .解下列不等式（组）.2x x 4（1） 1（河南省竞赛题）a a a（2） _1 1叱2（太原市竞赛题）x n x24.求所有满足下列条件的四位数：能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数之和.（“弘晟杯”上海市竞赛题 ）99 n25.通过比较两个分数（式）与99n （其中n为正整数）的大小，可以得出结论：19 n99 99n 门 >问：19 19 n（1）从上面两数的大小关系，

18、你发现了什么规律？（2）根据你自己确定的99 +n与99之间的正整数的个数来确定相应的正整数n的取值.19 n 19参考答案圈修斜的天平一由相等到不等1例题求解】例工 选H 惬派r由已知禅产 3。式, 得_!_<<一£连匚 梃示：当时+上= > 十心则一;VY Ij + 2>0U + 2<0。，。当V口时, 一£斗心. -例3 由原不等式将rErH-3hr<H-3,当 汴一>。.即 2,时.耳解集为 E当加TC0*即用得明其嘛集 吕inffr w1为4号*当2.=3,即皿=弓时且*>3,筹集为所有败，若拚=,且"吗3

19、.不等式无解； 工JPI 口占Ur J-20 jr_ 2<f0逋）由r>8, fh ：，福工信4,故原不等式的解集为m丸Ij2<2j-Id12-j2t-10|ddt上<1上pi12心。原不等式组牝为-，当p>。时.不等式期鼾第为上 <<亘.当时,不等式电的解革力士丁工匕王，当Ubj->6u<t«««=0时，原不等式姐无懈,卷不；由已知箭件愤加+外=5£" 小炳:& = "一§14=7 一 1 h上）。加-33口期如=3l2.由v占台。 得 ）7 llr）。解傅方.

20、七争0L>0故用的最大值期一.M小值为一手，例5提示；因同。<酝<41小故需方达需，19<芸<"-11 9HW一3V27.解得上的正整数*为* = 3而荻* 4lJujUH要-31，所以I学力训练】i. mC -4 工 T * 5 提示#L原,式三4一1次5J, 2成35r D 6, A 7, B 8rB丸门）当«>6时Q融二斜当«<5时，缈二普 d -bci 6（2）-.t<E提示& #<!.等<，£2>4三钟情况时说,原不等式的解靠为 D市由之提示皿T<"呷 3

21、U*当心配解为当时+解为工>5+若*=时.解为一切敷（5）当。+1云如一,即0哲之时，原不等式期无解若。+1<加一，即。>£时，原不等式组的解集为u + Vj<2a-L用+1 rx>o由,m=1或m3提示？解方程期将 ,一 由 一 得 一】0吗3 _ 日-e11y>。I “ 押 +1IL提示由非负数性由求得&=Ej= 5.愿不等式爆的解集为H<-*11门）-1工十；无解如当上号。时.不等式俎的解集为一】VbGr当o<t<2时,不静式期的耨集为一IV urVl-Jh骂*>2时,不等式组的解集为空集.13,工之圣提示/？

22、011制下工>用+ 5川工时一nV口，一丹丽CD35*4一4 34 ftt 力） f14 .当之V&W3时，原式=箝当肝。3时t原式=2日-乱15 .若工nG时.|工|义=一工+ * =。.柢4>如此时（I工I斗工N2一£1u?冢?一#>C。，得3 hC。，即i>Z.打石；1万占lbr选E 提示；第需8V工一媪，出愿意得12<-4届<13.故一一 全17, C 股章士若才）2。&0.烟（一：?叩以十 内9的3那加>0冠上45q醺共有4D。力整数，若<了<；加00,蚪（WWO-hJ+h（ 99991卸0”打+恒成立.又槎2W 个整软很合若工。明改100一工+£ 1）后船99,1W耨蒯-5W上C。.并有 明即个 呼救适6 T台针有的曲个整敦适合题设不带式.IS. D19, B 提示+b+cV3c年。<。+6十+与a>1c>c3c>/b.c>W"b>b.20, 3二与四，又加都是整数且15 2m为奇数.所以15 -