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1、8.7 方向导数与梯度习题8.71. 求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数。解：方向为，单位化得，所以方向导数为2. 求函数在点沿方向的方向微商，并求在这点的梯度和最大的方向微商及最小的方向微商。解：最大的方向微商为，最小的方向微商为3. 求函数在点处的梯度向量解：4. 设有二元函数求在点处的绝对值减少最快的方向。解：其在处梯度向量为所以在点处的绝对值减少最快的方向是5. 求函数在点处的最大方向微商与最小方向微商。解：，所以最大方向微商为最小方向微商为6. 设，求解：7. 求函数在抛物线上点处，沿此抛物线在该点处偏向轴正向的切线方向的方向导数。解：抛物线上点处切向量为，单位化为，而，所以方向

2、导数为8. 求函数在点处沿曲线在这点的内法线方向的方向导数。解：曲线在点处的法线方向，内法线方向为，单位化为，而，所以方向导数为9. 求函数在点处沿方向角为的方向的方向导数。解：方向为，而，所以方向导数为10. 设过椭球面上点处的指向外侧的法向量为。求函数在点处沿方向的方向导数。解：过椭球面上点处的指向外侧的法向量为，单位化为，而，所以方向导数为11. 求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数。解：方向为，单位化得，所以方向导数为12. 求函数在曲线上点处，沿曲线在该点的切线正方向（对应于增大的方向）的方向导数。解：方向为，单位化得，所以方向导数为13. 求函数在球面上点处，沿球面在该点的外法线

3、方向的方向导数。解：方向为，单位化得，所以方向导数为14. 设在点处可微，在点给定个单位向量，相邻两个向量之间的夹角为，证明证明：15. 求函数的梯度。并问在何处其梯度（1）垂直于轴；（2）平行于轴；（3）等于零。解：，若垂直于轴，则，即点为。若平行于轴，则，即点。若等于零，则即点。16. 求函数在点与处两梯度之间的夹角。解：，所以，其夹角为17. 设求及。解：18. 设函数的各个偏导数都存在且连续，证明：（1）为常数）；证明：（2）证明：（3）证明：（4）证明：19. 求函数在点处变化最快的方向，并求沿这个方向的方向导数。解：，增加最快的方向为，方向导数为减少最快的方向为，方向导数为20. 设，求函数在点沿方向的方向导数，并分别确定角，使得此导数（1）有最大值；（2）有最小值；（3）等于零。解：，。当时取最大值；当时取最小值；当时等于零。21.

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