备战高考数学解答题高分宝典专题04立体几何(直通高考)理

1、专题04立体几何/直通高考1.(2017新课标全国I理科)如图，在四棱锥P-ABCD3,AB/CD,且BAPCDP90：.(1)证明：平面PABL平面PAD(2)若PA=PD=AB=DCAPD90：,求二面角A-PBC的余弦值.【解析】(1)由已知上瓦J产=/CD尸=90。得力31展,CD1BD.由于初优,故91PD,从而平面PAD.又以Su平面FAS3所以平面2日1平面PAD-(2)在平面尸&内作PF_L/D/垂足为F,由(I)可知/S_L平面尸疝,tABlPF；可得尸产_1_平面般CD.以F为坐标原点，FA的方向为X轴正方向，|XB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.

2、由(1)及已知可得A(,0,0),P(0,0,互)，B(,1,0),C(,1,0).2222(、2,0,0)设n(x,y,z)是平面PCB的法向量，则220,xyz0,即22可取0,、2x0,n (0, 1, J2).(0,1,0).0,即0,2x2y 0.与 0,可取 m(1,0,1).贝U cos<n, m>n m|n|m|_33所以二面角APB C的余弦值为 3设m(x,y,z)是平面PAB的法向量，则【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面

3、的法向量的夹角；求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.2.(2017全国2卷理科)如图，四棱锥P-ABCD3,侧面PAM等边三角形且垂直于底面ABCD1 CABBC-AD,BADABC90o,E是PD的中点.2(1)证明：直线CE/平面PAB(2)点M在PC上，且直线BM与底面ABC所成角为45°,求二面角MABD的余弦值.u£【解析】(1)取pa的中点f ,连结ef ,BF 1因为E是PD的中点，所以EF/AD,EFAD,由BADABC90得BC/AD,21又BC-AD,所以EF上BC,四边形BCEF是平行四边形，

4、CE/BF.2-又BF平面PAB,CE平面PAB,故CE/平面PAB.为单位长,(2)由已知得BAAD,以A为坐标原点，银的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则Hqqo),司lqo),p(o,l出b而=ae卷1刀=心。河设Af工,贝IJHM=(x=3尸一1逐一回,因为为Af与底面ABCD所成的角力45ffin=他。1)是底面ASCD的法向量所以 cos BM ,nsin 45PM，x i2PC,则 x,y i,z .3 .32_z2 0.x 1 x 12由解得y 1(舍去)，y.6Z z2、,221 .i2所以M(1也，1,逅)，从而AM(1,1,).2222、江mAM0

5、,口u(2.2)x02y0、6z00设mx0,y0,Z0是平面ABM勺法向量，则T即mAB0,x00,所以可取m因此二面角MAB D的余弦值为或0.5mnJ0(0,J6,2).于cos(m,n)-，mn5【名师点睛】(1)求解本题要注意两点：两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算.(2)设3n分别为平面a,(3的法向量，则二面角0与<簿n>互补或相等，故有|cos0|=|cos<mn>|=-m-.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.mn3.(2017全国3卷理科)如图，四面体ABCDKABB正三角形，A

6、C0直角三角形，/ABB/CBDAB=BD.(1)证明：平面ACD_平面ABC(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEG巴四面体ABC赤成体积相等的两部分，求二面角D-AE-C的余弦值.【解析】1)由题设可得，血©D,从而&=DC.又ahcd是直角三由形j所以加c0，取月曲中点口，连接0a月a则DCLUlCQgAa又由于是正三角形故一所以ND。百为二面角D-AC-B的平面角.在中，3。，+/。'二加二又ABBD,所以BO2DOBO2AOAB2BD2,故DOB90：.所以平面ACD_平面ABC(2)由题设及(1)知，OA,OB,OD两两垂直，以O为坐标原点，OA的方向

7、为x轴正方向，OA为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.则A1,0,0,B0,J3,0,C1,0,0,D0,0,1由题设知,四面体.”年的体积为四面体.数CD的体积的i,从而£到平面儿BC的距离为Q到平面45c的距离的即总为功的申点得比o,金故而三1一1,住1).就二(一20,0),益三-L设口= x,y,z是平面DAE勺法向量，则0,即0,0,2z 0.一甘3可取n1,3,1.3设m是平面AEC勺法向量，则0,同理可取m0,0,1,-3贝Ucosn,m所以二面角DAEC的余弦值为【名师点睛】(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方

8、程思想进行向量运算时，要认真细心，准确计算(2)设m,n分别为平面a,(3的法向量，则二面角0与(m,n)互补或相等，故有cos|cos(m,n)|Ryn.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角m|n14 .如图，在四棱锥P-ABC珅，AD/BC/ADOZPAB=90°,BC=CD="D,E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90。.(1)在平面PAB内找一点M使得直线CM平面PBE并说明理由；(2)若二面角P-CDA的大小为45。，求直线PA与平面PCE成角的正弦值.【解析】(1)在梯形ABCtD3,AB与CM平行.如图，延长ABDCffi交于点M(

9、MC平面PAB,点M即为所求的一个点.理由如下：由已知，知BC/ED且BC=ED所以四边形BCDE1平行四边形，从而CM/EB又EB?平面PBECM平面PBE所以CM/平面PBE(2)由已知，81用,CD1AD,RiCiAD=A,所以CD_L平面班3从而CD1PD,所以NP必是二面角P-CD-A的平面角,所以因为以员所以以_L平面源CD设BC=1,则在RtPADF,PA=AD=2,作Ay，平面PAD以A为原点，以AD,AP的方向分别为x轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0),所以PE=(1,0,-2),

10、EC=(1,1,0),AP=(0,0,2).设平面PCE勺法向量为n=(x,y,z),n-PE=0,x-2z=0,由一得n-EC=0,x+y=0.令x=2,则n=(2,-2,1)则 sin a = in |n|设直线PA与平面PC所成角为a,=2=1>/22+22+12X23,，、1所以直线PA与平面PC即成角的正弦值为-3.一.兀5 .如图，在三棱柱ABC-ABG中，已知ABL侧面BBGC,AB=BC=1,BB=2,/BCC=.3(1)求证：BC，平面ABC(2)设CE=入CC1(0w入w1),且平面ABE与BBE所成的锐二面角的大小为30°,试求入的值.【解析1证明；酹月5

11、1侧面金EG匚恻面叫CC故在13chmr在ASCC1中,8C=l?ZSCCi=y3r所以£0二X。+92丹0(7。185/381=信+2之一2乂1乂2匕啊=3,所以S5二业故bC+bC=cC,所BCLBC,而B6AB=B,所以BC，平面ABC(2)由(1)可知，ABBCBC两两垂直.以B为原点，BCBABC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.C(0,0 , m).则B(0Q0),A(0,1,0),B(-1,0,仙),1,0,0)所以CC1'=(1,0,a/3),所以cE=(入，0,小入)，日1入，0,小入),则AE=（i-入，-i,小人）,ab1=(-1,i,木).设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),xy3zy3z0人.33