人力资源规划问题

1、宁波大学第一届数学建模大赛参赛队员:_ _ _ 指导老师:_ _ _人力资源规划问题0. 摘要本文首先根据已给数据和要求，列出了从第0年（现在）到第3年年初和年末各类员工的人数（见表4），再由每年年初的员工人数与表1中数据的相对应关系，及表1表2中的约束，将问题转化成一个多步骤的整数规划问题。其中问题(1）的目标函数为：第0年到第2年年末每一年企业解雇人数最少；而问题（2）的目标函数为：第0年到第2年年末每一年企业费用最少。针对第一个问题我们列出了三个整数线性规划模型，且三个模型中,后一个模型中的一些数据需由前一个模型的解得到。这样我们就确定了三年招工、再培训、解雇、超员雇用的方案。用同样方法

2、我们也得到了当费用最少时，三年的招工、再培训、解雇、超员雇用的方案。接着比较两个问题的解，计算出每年每类岗位所节省的费用。结果见表5、表6、表7 。然后我们对模型的科学性和现实性进行了阐述和评价。最后，采用Markov模型对原有模型做了改进，引入时间序列，建立了动态规划模型。1. 问题重述某民营企业正经历一系列变化，这要影响到企业未来几年的人力资源安排。由于企业装备了新机器，对不熟练工的需求相对减少，对熟练工和半熟练工的需求相对增加；同时，预计下一年度的贸易量将下降，从而减少对各类人力的需求。现有人数及对未来三年人力需求的估计数见下表：分类不熟练工半熟练工熟练工现有人数200016001000

3、第一年需求100015001000第二年需求50020001500第三年需求025002000表1因工人自动离职和其他原因，存在自然减员问题。有不少人在受雇后干不满一年就自动离职；干满一年后，离职的情况就减少了。考虑到这一因素，设自然减员率如下表：分类不熟练工半熟练工熟练工工作不满一年25%20%10%工作一年以上8%5%5%表2若现在没有招工，所有的现有工人都是已受雇一年以上。对于招工、再培训、解雇、超员雇用，有以下的说明：关于招工每年能新招的各类人数：熟练工和不熟练工各不超过500人，半熟练工不超过800人。关于再培训每年可培训200名不熟练工成为半熟练工，每培训一名的费用开支为400元。

4、培训半熟练工成为熟练工，培训一名开支为500元；培训人数不超过所训岗位当时熟练工人数的四分之一。可以将工人降低熟练等级使用，这虽然不需要企业支付什么费用，但这样的工人有50%将离职（这一减员要另外加到上述的自然减员上）。关于解雇解雇一名不熟练工需支付他300元。解雇一名半熟练工或熟练工需支付他600元。关于超员雇用整个企业可超需要多雇用150人。额外费用每人每年为：不熟练工1500元；半熟练工2000元；熟练工3000元。表3问题：（1）确定未来三年招工，人员培训，解雇和超员雇用的决策方案，使企业达到解雇人数最少的目标；（2）确定未来三年招工，人员培训，解雇和超员雇用的决策方案，使企业达到费用

5、最少的目标；（3）比较问题（1）（2）的费用，计算出问题（2）能节省多少费用？并导出每年每类岗位所节省的费用。2. 模型假设为了简化问题，除了题目中已经存在的条件和假设，我们还作了下列合理假设：假设1：企业每年年初招工，并在年末根据整一年的绩效考核与素质评估，确定再培训的员工和降级的员工，且根据市场需求解雇一些员工。假设2：将不熟练工、半熟练工、熟练工对应分成一、二、三，三个熟练等级，工人每年评估中，降级员工只降低一级。假设3：在下一年初对上一年末确定的员工进行培训，新招员工不予以培训。假设4：企业在招工、培训、解雇上的时间都很短，与整年的工作时间相比可以忽略不计，不影响员工的正常工作。假设5

6、：为保证企业员工的持续供给，每年年初的各级员工的数目多于表1人力需求的估计数。假设6：每年年初招聘的员工中，区分普通雇用和超员雇用，超员雇用的工人一年后，转变为普通工人。第二年若有需要重新招收超员雇用工人。符号说明表：符号符号含义表示第j年第i级员工的招工人数，其中j=0,1,2,3;i=1,2,3表示第j年第i级员工培训到第i+1级员工的人数，其中j=0,1,2,3;i=1,2,表示第j年第i级员工解雇的人数，其中j=0,1,2;i=1,2,3表示第j年第i+1级员工降级到第i级员工的人数，其中j=0,1,2,3;i=1,2,表示第j年第i级员工的超员雇用人数，其中j=0,1,2,3;i=1

7、,2,3表示第j年第i级员工年初总人数，其中j=0,1,2,3;i=1,2,3表示第j年第i级员工年末总人数，其中j=0,1,2,3;i=1,2,33. 模型建立（一） 对问题的讨论人力资源规划（Human Resources Planning）是企业生产管理中的一个重要内容。它包括员工招聘、员工培训与开发、员工绩效评估和薪酬管理、员工解聘等。题目要求确定未来三年的招工、再培训、解雇和超员雇用的方案，以期达到预期的目标。考虑这些方面对企业生产效益，人力资源配置的影响。（二）多步骤整数规划模型的建立根据表1表2 表3及问题中的一些文字说明，和模型的假设，可以确定第0年（现在）到第3年，年初和年末

8、各类员工的人数，如下表：第0年不熟练工人数现有2000年末2000（1-8%）-+0.5半熟练工人数现有1600年末1600（1-5%）-+0.5-熟练工人数现有1000年末1000（1-5%）-第1年不熟练工人数年初+-+年末（-）（1-8%）+（+）（1+25%）-+0.5半熟练工人数年初+-+年末（-+）（1-5%）+（+）（1-20%）-+0.5熟练工人数年初+年末（+）（1-5%）+（+）（1-10%）-第2年不熟练工人数年初+-+年末(-)(1-8%)+(+)(1-25%)-+0.5半熟练工人数年初+-+年末(+-)(1-5%)+(+)(1-20%)-+0.5熟练工人数年初+年末(

9、+)(1-5%)+(+)(1-10%)-第3年不熟练工人数年初+-+半熟练工人数年初+-+熟练工人数年初+表4注：1）表中所有变量都是非负整数。 2）由于题目只对企业三年内的人力资源规划，所以表中并没有给出第三年年末的各类工人数。 3）上年年末确定解雇的员工，假定到下年初离开。根据表4所得结果，建立以下最优化模型：（下述模型中各变量均为非负整数约束）问题（1）：确定解雇人数最少目标模型：第1年：(1.1)第2年：(1.2)第3年：(1.3)问题（2）：确定费用最少目标模型：第1年：(2.1)第2年：(2.2)第3年：(2.3)4. 模型求解与结果4.1模型求解利用数学软件LINGO9.0求解上

10、述线性规划问题（程序见附录），得到解如下：第1年： （1.1）（人）（2.1）（人）差额 （元）A11000A21000A310500B11200080000B212500125000C10525700-52500C20000C30000D1070200D2020000E11000E21000E31000解雇人数 （人）525700总费用 （元）362500210000152500表5不熟练工节省费用为：27500 元；半熟练工节省费用为：125000 元；熟练工节省费用为： 0 元；第2年：（1.2）（人）（2.2）（人）差额 （元）A12000A226256250A323005000B12

11、200080000B2225050100000C11208408-60000C21000C31000D11000D21000E12000E22000E32000解雇人数 （人）208408总费用 （元）267400147400120000表6不熟练工节省费用为：20000 元；半熟练工节省费用为：100000 元；熟练工节省费用为： 0 元；第3年：（1.3）（人）（2.4）（人）差额 （元）A13000A238007840A3321550002337590142500C12248448-60000C22000C32000D12000D22000E13000E2369

12、0138000E33000解雇人数 （人）248448总费用 （元）479900179400300500表7不熟练工节省费用为：20000 元；半熟练工节省费用为：280500 元；熟练工节省费用为： 0 元；4.2结果分析从上述结果可以看出：1。由于没有考虑招员的费用，增加的员工时，大部分来自招员，而非其他渠道（如培训和超员雇用）；2。根据市场的要求和企业三年的需求变化，且相比其他类员工而言，解雇不熟练工费用最低，所以企业中解雇的员工都集中在不熟练工上，；3。由于半熟练工三年持续增加，第三年还要超员雇用，而不熟练工在减少，所以两个不同目标比较时，节省的费用都集中在半熟练工上。4。由于熟练工三

13、年也是持续增加，供不应求，且熟练工降级等都不会产生费用，而是将费用转嫁到了半熟练工的人员培训上。5. 模型评价和改进5.1模型优点：1。模型简单有效，易于推广，虽然模型是几个简单的整数规划的拼凑，但正由于这样，模型可以作为其他研究的基础加以推广。2。应用性强，作为解决人力资源规划的一个模型，对于其他规划问题也有借鉴作用。3。解决本问题的一些方法，有必要的科学理论依据（运筹学理论）（参考文献1），可操作性强。5.2模型不足和待改进方面：1。虽然本问题用很多数据求解，但对问题的解决过程中仍具有较强的主观因素，这体现在表4中各类员工人数的确定，这是本模型的基础，显然不同的模型假设会产生不同的人数确定

14、，从而影响到整个结果。2。题目和文中假设都没有给出招员费用，这势必在求费用最优化的过程中，增加员工时，倾向招员而非培训和超员雇用。所以若将招员费用考虑在内，可以建立起更符合实际的模型，更具适用性。3。对于表1中的人力需求估计，我们只取表4中每年年初的人数与之形成约束条件，存在疑义，是否取年末或年初年末的平均更好，有待进一步考虑。4。由于本模型过于简单，只是整数规划的小小应用，需要建立起理论性更强模型对原问题做一下改进，如著名的Markov模型在人力资源规划方面的应用。5.3模型改进 马尔可夫预测方法是以俄国数学家A。A。Markov的名字命名的一种预测方法，它将时间序列看作一个随机过程，通过对

15、事物不同状态的初始概率及状态之间的转移概率的研究，预测事物的未来状态。在预测过程中，可以建立变量之间相互关系。对于该人力资源规划问题，我们可以找到企业每年的招工人数、再培训人数、解雇人数、降级人数、超员雇用人数与企业对未来三年中每年人力需求的估计数之间关系，从而为我们求解线性规划问题提供约束条件（参考文献2）。 设njt为时刻t时企业内第j 类人员的人数；Pij为企业内人员从第i类转移为第j类的概率；ajt为在时间(t-1,t)内从外界补充进入第j类的人数；djt 为时刻t时企业解雇第j 类人员的人数；ejt 为时刻t时企业超员雇用第j 类人员的人数；。并且，引入向量表达式：N(t)=(n1t

16、,n2t,nkt) , A(t)= (a1t,a2t,akt)D(t)= (d1t,d2t,dkt) , E(t)= (e1t,e2t,ekt); (1) 从而，N(t)表示时刻t时企业内各类人员的人数，R (t)表示在时间(t-1,t)内各类从外界补充进入的人数，P为该企业人员的转移概率矩阵。根据人员转移的规律，可得到如下关系式：N(t)=N( t-1)P+R(t)，在此关系式中，至关重要的是如何正确在确定转移矩阵P。 因此，现在的问题是要确定转移概率。又由于统计资料有限，为方便起见，概率用频率来代替：Pij=lij/li。 (i,j=1,2,k)，其中，第i类人员的初始人数li。

17、的计算公式为： (2)即第i类人员转化为第j类人员的概率可由某一历史时段内转化为第j类人员的原第i类人员的人数占第i类人员的初始人数的比值来表示，这是合理的。 对于原第i类人员来说，他们会有三种可能的流向： （1）仍留在第i类中； （2）转入企业中的其他类别（包括培训升级，降级），即第j类(j=1,2,k且ji); （3）自然流失，退出企业。另外我们这里假设第（3）种情况仍属于向企业内部一个虚拟的部门转移。 现在我们可以预测第t+1年时，企业内各类人员的人数为： (t=0,1,2,) (3) 由企业每年人力需求估计数，可引入向量：W(t)=(w1t,w2t,w3t,w4t) 其中wjt (j=

18、1,2,3) 为企业第t年对第j级工人的需求估计数,w4t为企业第t年第j级工人转移到虚拟部门的人数，并假定n4t，a4t，d4t，e4t均表示虚拟的工人数，对于约束和结果没有影响。所以可得到： (t=0,1,2,3) (4)因此，可以得到如下约束条件为：N(1)=n11,n21,n31,n41=2000,1600,1000,0+0.75a11,0.8a21,0.9a31,0+e11,e21,e31,0-c11,c21,c31,01000,1500,1000,0；N(2)= n12,n22,n32,n42= n11,n21,n31,n41+0.75a12,0.8a22,0.9a32,0+e12

19、,e22,e32,0-c12,c22,c32,0500,2000,1500,0；N(3)= n13,n23,n33,n43= n12,n22,n32,n42+0.75a13,0.8a23,0.9a33,0+e13,e23,e33,0-c13,c23,c33,00,2500,1000,0。a1t500 , a2t800 , a2t500 , b1t200 , b2tn3t-1/4 , e1t+e2t+e3t150 (t=1,2,3)上述约束条件与目标函数便构成了一个动态的线性规划问题。6. 参考文献1 胡运权 运筹学教程 北京 清华大学出版社，1990年1月第二版2 苏妮娜 对Markov链在人

20、力资源供给预测中的应用一文的补充 数理统计与管理 21卷1期 2002年1月7. 附录（1.1）：MIN c10+c20+c30STa11-b11-c10+0.5d10+e11>-840a21-b21+b11-c20+0.5d20-d10+e21>-20a31+b21-c30-d20+e31>50a11-b11-c10+0.5d10+e11+a21-b21+b11-c20+0.5d20-d10+e21+a31+b21-c30-d20+e31<-6601.0a11<5001.0a21<8001.0a31<5001.0b11<2001.0b21<

21、;250e11+e21+e31<150END（2.1）：MIN 400b11+500b21+300c10+600c20+600c30+1500e11+2000e21+3000e31STa11-b11-c10+0.5d10+e11>-840a21-b21+b11-c20+0.5d20-d10+e21>-20a31+b21-c30-d20+e31>50a11-b11-c10+0.5d10+e11+a21-b21+b11-c20+0.5d20-d10+e21+a31+b21-c30-d20+e31<-6601.0a11<5001.0a21<8001.0a31

22、<5001.0b11<2001.0b21<250END（1.2）：MIN c11+c21+c31STa12-b12-c11+0.5d11+e12>-558a22-b22+b12-c21+0.5d21-d11+e22>575a32+b22-c31-d21+e32>550a12-b12-c11+0.5d11+e12+a22-b22+b12-c21+0.5d21-d11+e22+a32+b22-c31-d21+e32<7171.0a12<5001.0a22<8001.0a32<5001.0b12<2001.0b22<250e12+e22+e32<150END（2.2）：MIN 400b12+500b22+300c11+600c21+600c31+1500e12+2000e22+3000e32STa12-b12-c11+0.5d11+e12>-558a22-b22+b12-c21+0.5d21-d11+e22>575a32+b22-c31-d21+e32>550a12-b12-c11+0.5d11+e