第四章-离散系统分析和离散傅里叶变换

1、第四章 离散系统分析和离散傅里叶变换 系 分 叶变 信号处理基础 z概述 z周期序列的傅里叶级数 z非周期序列的离散时间傅里叶变换 z离散傅里叶变换 z快速离散傅里叶变换 信号处理基础 4.1 概述 傅里叶变换实现了时域到频域的转换，在连续信号和离散 信号处理技术领域有广泛的应用。 为利用计算机计算傅里叶变换,对信号与频谱有如下要求： 1、信号与频谱应是离散的 2、数据长度都是有限的 本章介绍 如何将傅里叶级数和傅里叶变换的分析方法应用 于离散时间信号，即序列的傅里叶分析，它们是由傅里叶变换 发展而来的一种变换方法。 离散傅里叶变换(DFT和快速傅里叶变换(FFT在理论上解 决了利用计算机进行

2、傅里叶分析的问题。 信号处理基础 4.2 周期序列的傅里叶级数(DFS DFS的推导： 连续周期函数f(t表示为指数形式的傅里叶级数为 f (t = 傅里叶级数的复系数Fn为 n= F e n jn0t 1 T2 Fn = T f (t e jn0t dt T 2 2 T 式中，T是f(t的周期，角频率 0 = 根据上述公式，可导出周期序列的离散傅里叶级数。 信号处理基础 若 fP(n 是周期信号 f(t 的抽样序列，即 fP(n=f(t|t=nTs ， Ts 为 抽样间隔，它与信号周期T的关系为NTs=T，则fp(n可写为 + f P ( n = f ( t |t = nT s = = k

3、= jk 0 nT s F e k + 2 nk N k = Fe k + j 2 T s nk T = 将上式等号两边同乘指数函数 e j 2 nm N k = Fe k j 上式变为 再取和式 n=0 j 2 nk N N 1 f n =0 N 1 p ( n e j 2 nm N = = + N 1 + n = 0 k = F e k N 1 n =0 j k e j 2 nm N k = F e 2 n( k m N 注意到Nn=因为k-m当km时,当k=m时,因而有可得上式表明:F p(k与傅里叶级数复系数将上式两边同乘以指数函数上式称为DFS也是离散周期的。即k次谐波成分为当已知F

4、 p (k其余各周期的全部数值。的。4.3非周期序列的离散时间傅里叶变换的傅里叶变换当N 定义非周期序列=j e F (n f =(limN F (e j 是序列的傅里叶变换具有如下性质:z 线性特性(n x n z时间位移特性(y (n x z频率位移特性(n x z对称特性(n x 在深入讨论离散傅里叶变换式的傅里叶变换对。1、(连续=n F 2、(连续F (k F (3、离散傅里叶级数p 4、离散时间傅里叶变换j e F (z通过以下变换对可以看出是非周期散频谱z以下变换对可以看出周期的频谱。z以下变换对可以看出期的频谱,谱。11N NNz以下变换对可以看出频谱,而时域的非周期对应于频域

5、的连续。类别(连续傅里叶级数(连续傅里叶变换离散傅里叶级数离散时间傅里叶变换4.4离散傅里叶变换(机上运算,因为除了DFS和IDFS以外,至少在一个域(时域或频域中函数是连续的。因为从数字计算角度,我们感兴趣的是时域及频域都是离散的情况。而工作中经常要对有限长序列进行频谱分析,这就是我们这里要谈到的离散傅里叶变换。可借助于DFS定义DFT,思路如下:(1 把时域周期序列看作是有限长序列(把频域周期序列看作是有限长序列(2(3 这样只要把主值区间对现借助于DFS的概念对有限长序列进行傅里叶分析:设(为有限长序列:x n为引用周期序列的有关概念,假定一个周期序列是以N为周期将表示为:符号(n”。R

6、 N(n是矩形脉冲序列1、DFT正变换:反变换:如何区分在意义上有差别,在形式上相同。DFS表明时域中的周期序列得到的频谱也是周期离散的。它是严格按照傅里叶分析的概念得来的。由前面的分析已知,有限长序列是非周期性的,故其傅里叶变换应当是连续、周期性的频谱。只是一种借用形式,一种算法。DFT相同。注意:-列的一个周期来表示,都隐含有周期性意义。取主值(fn(Rn pN通常记X上两式可写为矩阵形式和例:利用的离散傅里叶变换。法一:和(n x法二:QXXXX故:例:已知(x n=IDFT解:因N可见求出的结果是前例的逆运算结果。2、离散傅里叶变换的性质1式中,2 圆周位移特性x (n 为我们可以这样

7、来理解上式所表达的圆周位移的含义。首先,将x (n 列最后取主值序列。n x ( 圆周位移过程示意图3圆周卷积特性(n和设x1若则两个序列的圆周卷积定义为质上将其中一个序列周期延拓后,反褶、圆周移位,再与另一个序列相乘、求和的过程。它要求两个序列长度均为N。例:已知两个有限长序列(h n =n+1R n 试用图解方法求圆周卷积n =x n h n 和(4(试用图解方求圆积y (解:将x (n 与h (n 的自变量n 置换为m ,见右图(a,(bh 反褶圆周移位后的(m 反褶、圆周移位后的图形:h (0-m h (1-m h (2-m m h (3-m 由公式:m=0得:y(0=1×1

8、+1×4+1×3+0×2=8 y(1=1×2+1×1+1×4+0×3=7(2=1×3+1×2+1×1+0×4=6y(y(31×41×31×20×19(3=14+13+12+01=9由此得:线性卷积两个序列的线性卷积定义为:设和(nx序列(xh(n序列所以,序列长度为: 例:线性卷积与圆周卷积比较(1线性卷积N=7(2圆周卷积5b圆周卷积需进行周期延拓,而线性卷积无需周期延拓:c圆周卷积的反褶(并取主值区间:e相乘(0=5y(05×y(1

9、=5×y(2=5×f 得到圆周卷积的结果可见,线性卷积与圆周卷积一致(当法二:用图表求解圆卷积解:已知卷积。(1将(2将(3反褶并取主值区间得到(4作图表。x(mh0(m(mh1h(m2h3(m(mh4h(m5h(m6=nny5+(14若圆周卷积取长度为x(k543求得圆周卷积y(0=5*1+2*3+1*2=13 y(1=5*2+4*1+1*3=17 y(2=5*3+4*2+3*1=26法二:用图表求解圆卷积解:已知x(1x(2将(3反褶并取主值区间得到(4作图表。(x 1(h 0(h 2(h 3(h 4(h圆周卷积和线性卷积的比较相同点:两者均有反褶、相乘与求和运算过程差异:¾线性卷积的移位是平移,而圆周卷积的移位是圆周移位。¾线性卷积不要求两个序列h(n的长度分别为则要求两序列长相等¾当圆周卷积的长度卷积的和线性卷积一致。4.4 快速傅里叶变换(FFTz直接利用长度N以利用z1965年库利法,这就是少,特别是当序列长度z FFT并不是