《数学分析Ⅰ》教案(首页)

1、数学分析教案（首页）适用班级： 理A0721 、理A0731 课时90分钟课题§ 1 实数编号01教学目的要求：1）掌握实数的基本性质：实数的有序性，稠密性，阿基米德性，实数的四则运算2）掌握和熟练运用几个重要的绝对值不等式重点难点：用无限小数统一表示实数的意义以及引入不足近似值与过剩近似值的作用实施步骤方法教 学 内 容 提 要时间一、 组织上课二、 导入新课讲授“讲授法”“举例法”“提问法”“比较法”三、 课后总结四、 课后任务1、 前言2、 有理数定义回顾3、 实数大小的比较4、 实数的有理数近似表示5、 实数的一些主要性质6、 绝对值的主要性质板 书 设 计 Definiti

2、on 1.2 有理数Example 1.31.4 实数大小的比较Definition 1.5Definition 1.6实数的位不足近似值和的位过剩近似值Theorem1.7Example 1.8实数的一些主要性质Example1.20Example 1.211.23 绝对值主要性质课外作业P4：1、3（课堂教学效果记录在首页背面）后附讲稿（或讲授提纲）共 5 页前 言关于数学分析，大体上有两种不同的意见，一种是大范围的，其内容包括微积分、实分析、复分析及泛函分析初步等，一般也称为现代数学分析. 另一种是狭义的，即通常所谓的微积分学，国内现行的数学分析教本属于后一种,我们也指的是这一种.0.1

3、 框架概而言之,数学分析是四大结构:分析引论(基础) 、微分学、积分学、无穷级数与广义积分. 前两个学期主要是一元部分,后两个学期是多元的.数学分析的立论域是实数连续统(相关内容可参考实数的构造理论),研究对象是函数(与高中的区别),且对函数的研究以连续函数为主体,主要工具是极限,基本问题是无穷小及其运算,本学期学习前六章.1-12、2-14、3-16、4-12、5-18、6-18.0.2 函数研究的特征0.2.1 函数研究的个别性,基本上对指定的函数而言,不像泛函分析那样研究具有某种性态的函数类(函数空间).0.2.2 定义域的区间性.函数的定义域是一个或几个区间,即使定义域是若干个区间的并

4、集,也是一个一个区间分别考虑的.0.2.3 点态性.对函数的研究,不少问题着眼于某点及其附近.0.2.4 动态性 研究当自变量变化时,应变量的相应变化状态.上述两条相互联系,相互制约的.0.3 数学分析的地位数学分析是数学专业的基础课中的支柱,分析数学这一庞大的领域是以它为基础的,报考如何一个数学分支的硕士研究生都以它为必考的科目.0.4 局限性0.4.1 立论数域的局限性-实数.实数域对复数域而言,有其无法弥补的缺陷,复变函数中美妙的和谐是数学分析望尘莫及的.0.4.2 点集结构的局限性-点集拓扑.0.5 参考文献1.微积分学教程 菲赫金哥尔茨 人民教育出版社 经典的数学分析的百科全书 ,

5、论述严谨, 内容全面, 例题丰富, 对希望全面掌握数学分析理论的基地班学生是一本较好的参考书 2.数学分析 北大数学系方企勤、沈燮昌、廖可人等 高等教育出版社 本书阐述细致，引进概念注意讲清实际背景，定理证明、公式推演作了必要的分析，并提出一些值得思考的问题；通过大量不同类型例题，介绍解题基本方法和特殊技巧。全书还配有习题集一册，其中有不少难度较大的题目。适合要求进一步提高数学分析素养的同学。3. 数学分析 李成章 黄玉民 科学出版社 总体内容与华东师大教材相仿.书中有大量的习题可作为补充练习题. 4. 数学分析 陈纪修等 高等教育出版社 书中对三角级数阐述的较为详细 ,可供参考. 5. 数学

6、分析习题精解 吴良森等 高等教育出版社 数中题型丰富 , 可供较为优秀的学生选读. 6. Mathematical Analysis Tom M.Apostol.7.D语言数学分析 萧治经 广东高等教育出版社。8.数学分析 李成章 黄玉民 科学出版社。9.数学分析例题解析及难点注释 李惜雯 西安交通大学出版社10.数学分析内容、方法与技巧 孙清华 孙昊 华中科技大学出版社0.6 成绩:期末占60%,平时40%.0.6.1 平时成绩(100分制):分四部分（一）考勤(50分)1、满勤，出勤成绩为50分。2、旷课1次（2学时），出勤成绩扣12.5分，旷课5次及以上取消本门课程考试资格，必须重修。3

7、、病、事假(必须有请假条)10学时以内，出勤成绩为37.5分；10学时以上不到总课时的1/3的，出勤成绩为25分；超过1/3的，出勤成绩为零分。4、迟到或早退一次扣1.25分。（二）作业成绩(30分): 每周教一次, 作业A、B、C对应为3分、2分、1分,根据教的总次数加权求和。(三) 答疑(10分):一学期至少参加两次答疑.(四) 平时课堂表现(10分).第一章 实数集§ 1 实数1.1 数的发展：Definition 1.2 有理数： Example 1.3 设 正整数，若不是完全平方数，则是无理数证明：反证法。若是有理数，则可表示成：，从而整数可表示成： 是完全平方数，矛盾1.

8、4 实数大小的比较 若规定： 则有限十进小数都能表示成无限循环小数。例如： 记为 ；0 记为 ； 记为 Definition 1.5 给定两个非负实数其中 为非负整数，。若有1） 则称 与 相等，记为 2） 若存在非负整数 ，使得 ，而，则称 大于 （或 小于 ），分别记为 （或）。对于负实数，若按定义1.5有 ，则称 或 ；规定任何非负实数大于任何负实数；实数的有理数近似表示Definition 1.6 设 为非负实数，称有理数为实数的位不足近似值，而有理数称为的位过剩近似值。对于负实数 的位不足近似值规定为：；的位过剩近似值规定为：比如 ，则1.4, 1.41, 1.414, 1.4142

9、, 称为 的不足近似值；1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, 称为 的过剩近似值。Theorem1.7 设 为两个实数，则 Example 1.8 设 为实数，证明：存在有理数 满足Proof: 由 存在非负整数，使得 ，取 则 显然为有理数，且1.9 实数的一些主要性质a) 四则运算封闭性:Example1.20 设 为有理数，为无理数，则是无理数。证明：反证法。若是有理数 可表示成 ，因为有理数，也能表示成 ， 为有理数，矛盾b) 有序性 : 任何两个实数 ，必满足下述三个关系之一：c) 实数大小有传递性，即d) Achimedes性: e) 稠密性: 有理数和无理数的稠密性.f) 实数集的几何表示： 与数轴的一一对应) 实数完备公理(Dedekind公理)（见D语言数学分析萧治经P5） 若实数R的子集A、B满足：（1）；（2）；（3