教师招聘考试数学专业知识通版讲义

1、第一部分 小学数学第一章 数与代数第一节 数的认识一、基础知识（一）整数：1.整数的读法和写法例：“3121700”读作：三百一十二万一千七百2.整数的近似数“四舍五入”3.整数的运算加法：减法：乘法：除法：四则混合运算：4.自然数：5.数的整除：整数a除以整数b(b0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。如果数a能被数b（b0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。个位上是0或5的数，都能被5整除。一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。一个数各位数上的和能被

2、9整除，这个数就能被9整除。 能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。 一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。偶数、奇数一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数）一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。注意：1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。几个数公有的约数，叫做这几

3、个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：1和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质；两个不同的质数互质。当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。（二）小数：1.小数的读法和写法:2.小数的分类：纯小数、带小数有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数；无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限.循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次

4、不断重复出现，这个数叫做循环小数。（三）分数：1.分数的意义把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。2.分数的分类真分数：假分数：带分数：3.约分和通分把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫做约分。分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。4.百分数表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或

5、百分比。百分数通常用"%"来表示。百分号是表示百分数的符号。（四）常见的量1.时间2.长度3.面积4.体积5.容积6.质量二、能力训练1一个九位数，最高位是是奇数中最小的合数，百万位上是最小的质数，万位上是最大的一位数，千位上是同时能被2和3整除的一位数，百位上是最小的合数，其余各位上都是最小的自然数，这个数写作_，读作_。2.三个连续奇数的和是645。这三个奇数中，最小的奇数是_。3.在一条长50米的大路两旁，每隔5米栽一棵树（两端都要栽），一共可栽_棵树。4.被减数减去减数，差是0.4，被减数、减数与差的和是2，减数是_。5.两个数的积是45.6，一个因数扩大100倍，

6、另一个因数缩小到原来的,积是_。6.的分数单位是_，它含有_个这样的单位，它的倒数是_。7.的分子加上12，要使分数的大小不变，分母应加上_。8.一个三位小数，保留两位小数取近似值后是5.60，这个三位小数最小是_，最大是_。9.5是8的_%，8是5的_%，5比8少_%，8比5多_%。10.自然数按因数的个数分，可以分为（ ）.A.奇数和偶数B.素数和合数C.奇数、偶数和1D.素数、合数、0和111.已知a+b=5，（a、b均为自然数），则a和b两个数的最大公因数是（ ）。A.5B.bC.aD.112.分数单位是1/11的最大真分数和最小假分数的和是（ ）。A21/11B.2C.20/11D.

7、113.下面各组数，一定不能成为互质数的一组是（ ）。A.质数与合数B.奇数与偶数C.质数与质数D.偶数与偶数 14.把210分解质因数是（ ）。A.2102×7×3×5×1B.2102×5×21C.2103×5×2×7D.210=2×5×21×115.两个奇数的和（ ）。A.是奇数B.是偶数C.可能是奇数，也可能是偶数D.一定不是奇数16.一个合数至少有（ ）个约数。A.1B.2C.3D.417.有4、5、7、8这四个数，能组成（ ）组互质数。A.3B.4C.5D.618.

8、四位数“3AA1”是9的倍数，则A=_。19.能同时被2，3，5整除的最大三位数是_。20.所有能被3整除的两位数的和是_。三、拓展提高1.在10以内任意选两个不同的素数，就可以写一个分数，其中最小的是_。2.如果A和B是自然数，并且A÷B=5.那么A和B的最小公倍数是_，5是_的因数。3.两个素数的和是31，这两个素数的积是_。4.将循环小数和转换成分数。5.有三十个数：1.64,1.64+，1.64+，1.64+，1.64+，如果取每个数的整数部分（例如：1.64的整数部分是1,1.64+的整数部分是2）。并且将这些的整数相加，那么它们的和是多少？6.设一个五位数，其中d-b=3

9、，若这个数能被11整除，则a的范围是_，c=_。7.能同时被2,5,7整除的最大五位数是_。8.六位数X2010Y能被88整除，则X、Y的取值分别为多少？A.X=9，Y=4B.X=7，Y=4C.X=9，Y=8D.X=8，Y=49.有一大筐苹果和梨分成若干堆，如果你一定可以找到这样的两堆，其苹果数之和与梨数之和都是偶数，最少要把这些苹果和梨分成_堆。10.有两个容器，一个容量为27升，一个容量为15升，如何利用他们从一桶油中倒出6升油来？要点回顾第二节 比与比例一、基础知识1.比的意义和性质（1）比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的

10、数叫做比的后项（比的后项不能是零）。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。（2）比的性质：比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。（3）求比值和化简比求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。（4）比例尺数值比例尺：图上距离：实

11、际距离=比例尺线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。2.比例的意义和性质（1）比例的意义表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。（2）比例的性质在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。（3）解比例根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。3.正比例和反比例（1）成正比例的量两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量

12、，他们的关系叫做正比例关系。用字母表示y/x=k(一定）（2）成反比例的量两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。用字母表示x×y=k(一定)二、能力训练1.在比例中，两个内项的积是6，其中一个外项是，另一个外项_。2.如果y=5x，那么x和y成_比例。3.一幅地图上用5厘米表示实际距离20千米，这幅地图的比例尺是_。4.1.2千克250克化成最简整数比是_，比值是_。5.一个三个角形三个内角度数的比是141，这是一个_三角形。6.如果7x=8y，那么xy=_。7.男生人数比女生多20

13、，则女生人数与男生人数的比是_，女生比男生少_。8.已知甲数的1/6相当于乙数的1/5，那么甲数的一半相当于乙数的_。9把一堆化肥装入麻袋，麻袋的数量和每袋化肥的重量（ ）A成正比例B成反比例C不成比例10和一定，加数和另一个加数（ ）A成正比例B成反比例C不成比例11在汽车每次运货吨数，运货次数和运货的总吨数这三种量中，成正比例关系是（ ），成反比例关系是（ ）A汽车每次运货吨数一定，运货次数和运货总吨数B汽车运货次数一定，每次运货的吨数和运货总吨数C汽车运货总吨数一定，每次运货的吨数和运货的次数三、拓展提高1.把280棵树苗栽在两块长方形地上，一块长15米，宽8米；另一块长12米，宽4米，

14、如按面积大小分配栽种，这两块地分别要栽多少棵？2.配制一种农药，其中药与水的比为1150。要配制这种农药755千克，需要药和水各多少千克？有药3千克，能配制这种农药多少千克？如果有水525千克，要配制这种农药，需要放进多少千克的药？要点回顾第三节 计算和巧算一、基础知识1.运算定律（1）加法交换律：a+b=b+a。（2）加法结合律：（a+b)+c=a+(b+c)。（3）乘法交换律：a×b=b×a。（4）乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)。（5）乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c。（6）减法

15、的性质：a-b-c=a-(b+c)。2.运算顺序（1）小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。（2）分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。（3）没有括号的混合运算:同级运算从左往右依次运算；两级运算先算乘、除法，后算加减法。（4）有括号的混合运算:先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。（5）第一级运算：加法和减法叫做第一级运算。（6）第二级运算：乘法和除法叫做第二级运算。二、能力训练1.有13个自然数，小红计算它们的平均数精确到百分位是12.56，老师说最后一个数字写错了，那么正确的答案应该是_。2.直接写出得数：（1）_（2）8.5÷0.01=_（3）

16、0.1×99-0.1=_（4）_（5）27.25×4÷27.25×4=_（6）777×9+111×37=_（7）1÷0.625=_（8）_3.计算下列各题：（1）123+234+345+456+567+678（2）789×788788-788×789789（3）1627+27018×25（4）0.888×125×73+999×3（5）6789×6789-6790×6788三、拓展提高1.（1）（2）2.（1）（2）要点回顾第二章 空间与图形第一节

17、 平面图形一、基础知识1长方形（1）特征：（2）计算公式：c=2(a+b)；s=ab。2正方形（1）特征：（2）计算公式：c=4a，s=a²。3三角形（1）特征：（2）计算公式：s=ah/2。（3）分类：按角分锐角三角形：直角三角形：钝角三角形：按边分不等边三角形：等腰三角形：等边三角形：4平行四边形（1）特征：（2）计算公式：s=ah。5梯形（1）特征：（2）计算公式：s=(a+b)h/26圆（1）圆的认识圆心：半径：直径：（2）圆的画法：（3）圆的周长：C =d，C=2r（d是直径，r是半径）（4）圆的面积：s=r27扇形（1）扇形的认识：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的

18、图形叫做扇形。圆上AB两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。(2)扇形面积计算公式：。8环形(1)特征：由两个半径不相等的同心圆相减而成，有无数条对称轴。(2)计算公式：s=(R²-r²）。9轴对称图形特征：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。正方形有4条对称轴，长方形有2条对称轴。等腰三角形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴。等腰梯形有一条对称轴，圆有无数条对称轴。菱形有4条对称轴，扇形有一条对称轴。二、能力训练1.一个平行四边形底缩小10倍，高扩大10倍，这个平行四边形的面积( )。A.大小与原来

19、相等B.缩小10倍C.扩大10倍D.扩大100倍2.将一个长方形拉成一个平行四边形（四条边长度不变），它的面积( )。A.比原来小B.比原来大C.与原来相等D.无法比较3.两个完全一样的直角三角形，不可能拼成一个（ ）。A.梯形B.正方形C.三角形D.平行四边形4.在面积为42平方米的平行四边形内画一个最大的三角形，这个三角形的面积是（ ）。A.21B.30C.14D.425.周长都相等，（ ）的面积最大。A.正方形B.长方形C.圆D.一样大6.面积都相等，（ ）的周长最大。A.正方形B.长方形C.圆D.三角形7.下列叙述中，正确的是( )A只有一组对边平行的四边形是梯形B矩形可以看作是一种特

20、殊的梯形C梯形有两个内角是锐角，其余两个角是钝角D梯形的对角互补8等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的3倍，则底角的度数是( )A30º和150ºB45º和135ºC60º和120ºD都是90º9菱形和矩形一定都具有的性质是（ ）A对角线相等B对角线互相平分C对角线互相垂直D每条对角线平分一组对角10下列说法正确的是（ ）A对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B对角线互相垂直的平行四边形是菱形C对角线互相平分且相等的四边形是菱形D对角线相等的四边形是菱形三、拓展提高1.将一个平行四边形拼成一个长方形，面积_，周长_；将一个平行

21、四边形拉成一个长方形，面积_，周长_。（填“增大”或者“减小”）A变大B.变小C.不变D.无法比较2.能拼成一个平行四边形的两个三角形必须具备( )。A.面积相等B.形状相同C.完全一样D.任意两个均可3.周长相等的一个正方形，一个长方形，一个平行四边形，( )面积最大。A.正方形B.长方形C.平行四边形D.无法比较4.把一个平行四边形任意分割成两个梯形，这两个梯形的( )总是相等的。A.高B.面积C.上、下底的和D.无法确定5.一个三角形和一个平行四边形底相等，面积也相等，如果平行四边形的高是6厘米，那么三角形的高是( )厘米。A.6B.3C.12D.186.一个梯形的上底长36dm，如果补

22、上一块底为64dm，面积为64dm2的三角形， 就变成了一个平行四边形，这个梯形的面积是( )。A.200dm2B.136dm2C.272dm2D.68dm2要点回顾第二节 空间图形一、基础知识（一）长方体1特征：2.计算公式：s=2(ab+ah+bh)，V=sh，V=abh（a表示长，b表示宽，h表示高）。（二）正方体1.特征：2.计算公式：S表=6a²，v=a³（a表示棱长）。（三）圆柱1.圆柱的认识：圆柱的上下两个面叫做底面。圆柱有一个曲面叫做侧面。圆柱两个底面之间的距离叫做高。2.计算公式：S表=S侧+S底×2，V=sh/3。（四）圆锥1.圆锥的认识：2.

23、计算公式：V=sh/3。二、能力训练1.一个正方体的底面周长与高分别与一个圆柱体的底周长和高相等，那么体积比较（ ）A.正方体大B.圆柱体大C.两者一样大D.无法判断2.一个圆锥的底面半径和高都扩大2倍，体积扩大了（ ）A12倍B.8倍C.4倍D.6倍3.一个底面积为24平方厘米的圆锥体和一个棱长为4厘米的正方体的体积相等，圆锥的高是（ ）。A.3厘米B.4厘米C.8厘米D.12厘米4.圆柱底面直径是圆锥底面直径的1/2，如果高相等，那么圆锥的体积是圆柱体积的（ ）A.B.C.D.5.把一个棱长2分米的正方体锯成两个长方体，表面积总和（ ）。A.不变B.增加4平方分米C.增加8平方分米D.不一

24、定要点回顾第三章 统计与可能性一、基础知识（一）统计：1.条形统计图：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直线按照一定的顺序排列起来。优点：很容易看出各种数量的多少。2.折线统计图：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。优点：不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。3.扇形统计图：用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。优点：很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。4.平均数：中位数：众数：（二）可能性：随机事件的概率二、能力训练1.从标有1，2，3，4的四张卡片中任

25、抽一张。（1）抽到卡片“1”的可能性是_。（2）抽到卡片“2”、“4”的可能性是_。（3）抽到数字小于4的卡片的可能性是_。2.口袋里有大小相同的6个球，1个红球，2个白球，3个黄球，从袋中任意摸出一个球。（1）摸出什么颜色的球的可能性最大，是多少？（2）摸出什么颜色的球的可能性最小，是多少？（3）摸出不是红球的可能性是多少？3.盒子装有15个球，分别写着115各数。如果摸到是2的倍数，小刚赢，如果摸到不是2的倍数，小强赢。（1）这样约定公平吗？为什么？（2）小强一定会输吗？4.某商品举行促销活动，前100名的购买者可以抽奖，一等奖20个，二等奖30个，三等奖50个。（1）这次抽奖活动，中奖的

26、可能性是_。（2）第一个人抽奖中一等奖可能性是_，中二等奖的可能性是_，中三等奖的可能性是_。（3）抽奖到一半，已经有8人中一等奖，15人中二等奖，24人中三等奖。这里李明第51个抽奖，中一等奖的可能性是_，中三等奖的可能性是_，中三等奖的可能性是_。5.下面记录的是五（3）班第1组女生的一次跳远成绩。（单位：m）2.83 3.32 2.75 3.17 2.58 2.65 3.24 3.29 3.41 3.26 2.98 3.52（1）这组数据的中位数，平均数各是多少？（2）用哪个数代表这个组数据的一般水平更合适？（3）如果2.80m以上为及格，有多少名同学及格了，超过半数了吗？6.8个数的平

27、均数是2.1，前3个数的平均数为2.6，后4个数的平均数为1.4，第四个数是多少？要点回顾第四章 实践与综合应用一、基础知识1.归一问题含义：在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题数量关系：总量÷份数1份数量1份数量×所占份数所求几份的数量另一总量÷（总量÷份数）所求份数解题思路：先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。2.归总问题含义：解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量

28、、几小时行的总路程等。 数量关系：1份数量×份数总量总量÷1份数量份数总量÷另一份数另一每份数量 解题的思路和方法：先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。3.和差问题含义：已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。 数量关系：大数（和差）÷2小数（和差）÷ 2 解题思路和方法：简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。 4.和倍问题含义：已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。数量关系：总和&

29、#247;（几倍1）较小的数总和较小的数较大的数较小的数×几倍较大的数解题思路和方法：简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。5.差倍问题含义：已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。数量关系：两个数的差÷（几倍1）较小的数较小的数×几倍较大的数解题思路和方法：简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。6.倍比问题含义：有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。数量关系：总量÷一个数量倍数另

30、一个数量×倍数另一总量解题思路与方法：先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。7.相遇问题含义：两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。数量关系：相遇时间总路程÷（甲速乙速）总路程（甲速乙速）×相遇时间解题思路和方法：简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。8.追及问题含义：两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。数量关系：追及时间追及路程&

31、#247;（快速慢速）追及路程（快速慢速）×追及时间解题思路和方法：简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。9.植树问题含义：按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。数量关系：线形植树棵数距离÷棵距1环形植树棵数距离÷棵距方形植树（端点不植树）棵数距离÷棵距4三角形植树（端点不植树）棵数距离÷棵距3面积植树棵数面积÷（棵距×行距）解题思路和方法：先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。10.年龄问题含义：这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点

32、是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。数量关系：年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。解题思路和方法：可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。11.行船问题含义：行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。数量关系：（顺水速度逆水速度）÷2船速（顺水速度逆水速度）÷2水速顺水速船速×2逆水速逆

33、水速水速×2逆水速船速×2顺水速顺水速水速×2解题思路和方法：大多数情况可以直接利用数量关系的公式。12.列车问题含义：这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。数量关系：火车过桥：过桥时间（车长桥长）÷车速火车追及：追及时间（甲车长乙车长距离）÷（甲车速乙车速）火车相遇：相遇时间（甲车长乙车长距离）÷（甲车速乙车速）解题思路和方法：大多数情况可以直接利用数量关系的公式。13.时钟问题含义：就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。数量关系：分

34、针的速度是时针的12倍，二者的速度差为。通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。解题思路和方法：变通为“追及问题”后可以直接利用公式。14.盈亏问题含义：根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。数量关系：一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：参加分配总人数（盈亏）÷分配差如果两次都盈或都亏，则有：参加分配总人数（大盈小盈）÷分配差参加分配总人数（大亏小亏）÷分配差解题思路和方法：大多数情况可以直接利用数量关系的公式。15.工程问题含义：工程问

35、题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。数量关系：解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。工作量工作效率×工作时间工作时间工作量÷工作效率工作时间总工作量÷（甲工作效率乙工作效率）解题思路和方法：变通后可以利用上述数量关系的公式。16.正反比例问题含义：两种相关

36、联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。数量关系：判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。解题思路和方法：解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应

37、用题。正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。17.按比例分配问题含义：所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。数量关系：从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。总份数比的前后项之和解题思路和方法：先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。18.百分数问题含义：百分数是表示一个数是另一个数的百分之

38、几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。数量关系：掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：百分数比较量÷标准量标准量比较量÷百分数解题思路和方法：一般有三种基本类型：（1）求一个数是另一个数的百分之几；（2）已知一个数，求它的百分之几是多少；（3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。百分数又叫百分率，百

39、分率在工农业生产中应用很广泛，常见的百分率有：增长率增长数÷原来基数×100%合格率合格产品数÷产品总数×100%出勤率实际出勤人数÷应出勤人数×100%出勤率实际出勤天数÷应出勤天数×100%缺席率缺席人数÷实有总人数×100%发芽率发芽种子数÷试验种子总数×100%成活率成活棵数÷种植总棵数×100%出粉率面粉重量÷小麦重量×100%出油率油的重量÷油料重量×100%废品率废品数量÷全部产品数量

40、5;100%命中率命中次数÷总次数×100%烘干率烘干后重量÷烘前重量×100%及格率及格人数÷参加考试人数×100%19.“牛吃草”问题含义： “牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。数量关系：草总量原有草量草每天生长量×天数解题思路和方法：解这类题的关键是求出草每天的生长量。20.鸡兔同笼问题含义：这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做

41、第二鸡兔同笼问题。数量关系：第一鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有兔数（实际脚数2×鸡兔总数）÷（42）假设全都是兔，则有鸡数（4×鸡兔总数实际脚数）÷（42）第二鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有兔数（2×鸡兔总数鸡与兔脚之差）÷（42）假设全都是兔，则有鸡数（4×鸡兔总数鸡与兔脚之差）÷（42）解题思路和方法：解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。21.方阵问题含义：将

42、若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。数量关系：（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数（每边人数1）×4每边人数四周人数÷41（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数每边人数×每边人数空心方阵：总人数（外边人数）（内边人数）内边人数外边人数层数×2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数（每边人数层数）×层数×4解题思路和方法：方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。22.商品利润问题含义：

43、这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。数量关系：利润售价进货价利润率（售价进货价）÷进货价×100%售价进货价×（1利润率）亏损进货价售价亏损率（进货价售价）÷进货价×100%解题思路和方法：简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。23.存款利率问题含义：把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。数量关系：年（月）利率利息÷本

44、金÷存款年（月）数×100%利息本金×存款年（月）数×年（月）利率本利和本金利息本金×1年（月）利率×存款年（月）数解题思路和方法：简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。二、能力训练1.东西两城相距75千米，小东从东向西而走，每小时6.5千米；小希从西向东而走，每小时走6千米；小辉骑自行车从东向西而行，每小时走15千米。三人同时动身，途中小辉遇见了小希即折回向东行；遇见了小东又折回向西而行；再遇见小希又折回向东行，这样往返一直到三人在途中相遇为止，小辉共行了多少千米？2.食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢

45、慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？3.甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？4.甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？5.粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍？6.凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元？全县16000亩果园共收入多少元？7.甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人

46、在距中点3千米处相遇，求两地的距离。8.兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？9.孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。10.一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？11.甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现

47、在的岁数时，你才4岁”。乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？12.甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时；乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间？13.一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒，以同样的速度通过一条长1250米的大桥用了58秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？14.四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？15.修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米？16.学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45人

48、，就刚好坐完。问有多少车？多少人？17.一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？18.修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米？19.学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？20.从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的，二儿子分总数的，三儿子分总数的，并规定不许把羊宰

49、割分，求三个儿子各分多少只羊。21.红旗化工厂有男职工420人，有女职工525人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之几？22.一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？23.一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完？24.有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人？25.有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队学生共多少人？26.某种商品，甲店的

50、进货价比乙店的进货价便宜10%，甲店按30%的利润定价，乙店按20%的利润定价，结果乙店的定价比甲店的定价贵6元，求乙店的定价。27.李大强存入银行1200元，月利率0.8%，到期后连本带利共取出1488元，求存款期多长。28.银行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%，三年期8.28%，五年期9%。如果甲乙二人同时各存入1万元，甲先存二年期，到期后连本带利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同时取出，那么，谁的收益多？多多少元？三、拓展提高1.某飞机所载油料最多只能在空中连续飞行4小时，飞去时速度为900千米/小时，飞回时速度为850千米/小时。问该飞机最远飞出多少千米就返回？（保留整数）

51、2.某人执行爆破任务时，点燃导火线后往70米开外的安全地带奔跑，其奔跑速度为7米/秒。已知导火线燃烧的速度是0.112米/秒。问：导火线的长度至少多长才能确保安全？（精确到0.1米）3.老师在黑板上写了13个数，让小明求平均数（保留到两位小数），小明的答案是12.43。老师说最后一位数字错了，其他的都对。正确的答案是什么？4.小红看一本书，第一天看了全书的4/7，第二天看了剩下的3/5，还剩42页没有看，这本书共多少页？5. 鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露。数清脚共五十双，各有多少鸡和兔？6. 一次数学竞赛共有20道题。做对一道题得5分，做错一题倒扣3分，刘冬考了52分，你知道刘冬做对了几道题

52、？第二部分 中学数学第一章 数与代数一、基础知识1.实数的分类2.数轴，绝对值，相反数数轴：原点、正方向、单位长度。绝对值：相反数：3.有理数的运算加法法则：减法法则：乘法法则：除法法则：4.整式（定义及运算）（1）单项式：都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。（2）多项式:几个单项式的和叫做多项式。（3）整式：单项式和多项式统称为整式。（4）同类项：（5）整式的乘法：5.平方（根）、立方（根）二、能力训练1的绝对值是（ ）ABC6D62下列结论正确的是（ ）A.B.C.D.3下列各组数中互为相反数的是（ ）A.B.C.D.4如果代数式有意义，那么x的取值范围是（ ）ABCD且5若式子有意义

53、，则x的取值范围是（ ）Ax2Bx2且x1Cx2Dx2且x16有理数在数轴上表示的点如下图所示，则的大小关系是（ ）A.B.C.D.7已知，那么_.8如图是一个数值转换机若输入数3，则输出数是_三、拓展提高1.32÷7商的小数点后面第2014位数是几？2.如果和2（2x+y-3）2互为相反数，那么x、y的值分别为_.3.计算：3019.08（3.20.299÷0.23）×0.54.某农具厂计划在6天内生产某种新式农具144件，第一天已生产了19件，后5天平均每天应当生产多少件？5.一列火车从甲地开往乙地，如果将车速提高20，可以比原计划提前1小时到达；如果先以原速度行驶240千米后，再将速度提高25，则可提前40分钟到达，求甲、乙两地之间的距离及火车原来的速度。6甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50的利润定价，乙服装按40的