2020年东营市中考数学压轴题型讲练——圆的证明与计算

1、精选优质文档-倾情为你奉上2020年东营市中考数学压轴题型讲练圆的证明与计算【题型导引】题型一：与圆的性质有关的证明与计算 （1）与圆内三角形、四边形为背景研究形状及其线段、周长面积等问题；（2）圆内多边形关于角的问题；（3）已知圆内特殊三角形背景下线段的长度计算等。题型二：与圆的切线有关的证明与计算 （1）已知圆的切线与特殊三角形的关系，计算半径、线段等问题；（2）已知圆与特殊三角形相关条件判定圆的切线及其线段计算等问题；（3）已知圆与特殊四边形相关条件判定圆的切线及其线段计算等问题。题型三：与扇形、弧长等有关的计算 （1）根据圆的性质及其相关条件进行计算弧长、扇形面积等问题；（2）根据圆的

2、性质及其相关条件进行计算圆锥等问题；【典例解析】类型一：与圆的性质有关的证明与计算例题1：（2019湖北省荆门市10分）已知锐角ABC的外接圆圆心为O，半径为R（1）求证：2R；（2）若ABC中A45°，B60°，AC，求BC的长及sinC的值【解答】解：（1）如图1，连接AO并延长交O于D，连接CD，则CD90°，ABCADC，sinABCsinADC=2R；（2）2R，同理可得：-=2R， 2R2，BC2RsinA2sin45°，如图2，过C作CEAB于E，BEBCcosBcos60°，AEACcos45°，ABAE+BE，ABA

3、RsinC，sinC 技法归纳：圆的性质综合运用题中，经常用到的重要性质及技法：运用圆是轴对称图形也是中心对称图形可以对相关结论作合理的猜测；利用垂径定理，通过在由半弦、半径、弦心距组成的直角三角形，运用勾股定理或锐角三角函数进行计算；在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距等量对等量关系，可以转化相等关系；由直径所对的圆周角是直角构造直角三角形；相似三角形、锐角三角函数、勾股定理是计算线段长度及其线段数量关系的重要手段类型二：与圆的位置关系有关的证明与计算例题2：(2018·娄底中考)如图，C，D是以AB为直径的O上的点，弦CD交AB于点E.(1)当PB是O的切线时，求证：PBDDA

4、B；(2)求证：BC2CE2CE·DE；(3)已知OA4，E是半径OA的中点，求线段DE的长【解析】 (1)AB是O的直径，ADB90°，BADABD90°.PB是O的切线，ABP90°，PBDABD90°，BADPBD.(2)ADCB，AEDCEB，ADECBE，即DE·CEAE·BE.如图，连接OC.设圆的半径为r，则OAOBOCr，则DE·CEAE·BE(OAOE)(OBOE)r2OE2.，AOCBOC90°，CE2OE2OC2OE2r2，BC2BO2CO22r2，则BC2CE22r2(O

5、E2r2)r2OE2，BC2CE2DE·CE.(3)OA4，OBOCOA4，BC4.又E是半径OA的中点，AEOE2，则CE2.BC2CE2DE·CE，(4)2(2)2DE·2，解得DE.技法归纳：与切线有关的证明与计算，最常用的辅助线是连接经过切点的半径，利用直径构造直角三角形，利用圆周角相等转移角的位置等运用三角形全等、三角形相似、勾股定理、锐角三角函数等知识进行证明与计算类型三：与扇形面积有关的证明与计算例题3：（2019湖北武汉8分）已知AB是O的直径，AM和BN是O的两条切线，DC与O相切于点E，分别交AM、BN于D.C两点（1）如图1，求证：AB24A

6、DBC；（2）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF若ADE2OFC，AD1，求图中阴影部分的面积【解答】（1）证明：连接OC.OD，如图1所示：AM和BN是它的两条切线，AMAB，BNAB，AMBN，ADE+BCE180°DC切O于E，ODEADE，OCEBCE，ODE+OCE90°，DOC90°，AOD+COB90°，AOD+ADO90°，AODOCB，OADOBC90°，AODBCO，,OA2ADBC，（AB）2ADBC，AB24ADBC；（2）解：连接OD，OC，如图2所示：ADE2OFC，ADOOFC，ADOBOC，B

7、OCFOC，OFCFOC，CFOC，CD垂直平分OF，ODDF，在COD和CFD中，CODCFD（SSS），CDOCDF，ODA+CDO+CDF180°，ODA60°BOC，BOE120°，在RtDAO，ADOA，RtBOC中，BCOB，AD：BC1：3，AD1，BC3，OB，图中阴影部分的面积2SOBCS扇形OBE2×××33技法归纳：求与圆有关的阴影部分的面积时，常常是通过把不规则图形的面积，用扇形的面积和三角形的面积的和差来解决特别地，对于旋转图形，要利用旋转的性质，确定旋转的中心(扇形的圆心)和旋转半径(相应的线段)的位置的变

8、化，常常运用三角形全等进行面积的割补 【变式训练】1. 如图所示，在ABC中，ABAC，其内切圆O与边BC，AC，AB分别切于点D，E，F.(1)求证：BFCE；(2)若ACB30°，CE2 ，求AC的长【解析】：(1)证明：连结AO并延长，ABAC，AO的延长线交BC于切点D，则BDCD.又由切线长定理，得BFBD，CDCE，BFCE.(2)CE2 ，CD2 .又ADBC，ADC90°.又ACB30°，AC4.2. （2019黑龙江省齐齐哈尔市8分）如图，以ABC的边BC为直径作O，点A在O上，点D在线段BC的延长线上，ADAB，D30°（1）求证：直

9、线AD是O的切线；（2）若直径BC4，求图中阴影部分的面积【解答】（1）证明：连接OA，则COA2B，ADAB，BD30°，COA60°，OAD180°60°30°90°，OAAD，即CD是O的切线；（2）解：BC4，OAOC2，在RtOAD中，OA2，D30°，OD2OA4，AD2，所以SOADOAAD×2×22，因为COA60°，所以S扇形COA，所以S阴影SOADS扇形COA23. （2018辽宁抚顺）如图，RtABC中，ABC=90°，以AB为直径作O，点D为O上一点，且CD=

10、CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E（1）判断直线CD与O的位置关系，并说明理由；（2）若BE=4，DE=8，求AC的长【解答】（1）证明：连接OCCB=CD，CO=CO，OB=OD，OCBOCD，ODC=OBC=90°，ODDC，DC是O的切线（2）解：设O的半径为r在RtOBE中，OE2=EB2+OB2，（8r）2=r2+42，r=3，tanE=，=，CD=BC=6，在RtABC中，AC= = =64. （2019甘肃庆阳8分）已知：在ABC中，ABAC（1）求作：ABC的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC6

11、，则SO【解答】解：（1）如图O即为所求（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E由题意OE4，BEEC3，在RtOBE中，OB5，S圆O5225故答案为255. （2018云南昆明）如图，AB是O的直径，ED切O于点C，AD交O于点F，AC平分BAD，连接BF（1）求证：ADED；（2）若CD=4，AF=2，求O的半径【解答】（1）证明：连接OC，如图，AC平分BAD，1=2，OA=OC，1=3，2=3，OCAD，ED切O于点C，OCDE，ADED；（2）解：OC交BF于H，如图，AB为直径，AFB=90°，易得四边形CDFH为矩形，FH=CD=4，CHF=90°，OHBF

12、，BH=FH=4，BF=8，在RtABF中，AB= = =2，O的半径为6. （2019四川省凉山州8分）如图，点D是以AB为直径的O上一点，过点B作O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F（1）求证：DF是O的切线；（2）若OBBF，EF4，求AD的长【解答】解：（1）如图，连接OD，BD，AB为O的直径，ADBBDC90°，在RtBDC中，BEEC，DEECBE，13，BC是O的切线，3+490°，1+490°，又24，1+290°，DF为O的切线；（2）OBBF，OF2OD，F30°，FBE90

13、°，BEEF2，DEBE2，DF6，F30°，ODF90°，FOD60°，ODOA，AADOBOD30°，AF，ADDF67. （2019山东省德州市 12分）如图，BPD120°，点A.C分别在射线PB.PD上，PAC30°，AC2（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A.C两点分别与射线PB和PD相切要求：写出作法，并保留作图痕迹；（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；（3）求所得的劣弧与线段PA.PC围成的封闭图形的面积【解答】解：（1）如图，（2）已知：如图，BPD120°，点A.

14、C分别在射线PB.PD上，PAC30°，AC2过A.C分别作PB.PD的垂线，它们相交于O，以OA为半径作O，OAPB，求证：PB.PC为O的切线；证明：BPD120°，PAC30°，PCA30°，PAPC，连接OP，OAPA，PCOC，PAOPCO90°，OPOP，RtPAORtPCO（HL）OAOC，PB.PC为O的切线；（3）OAPOCP90°30°60°，OAC为等边三角形，OAAC2，AOC60°，OP平分APC，APO60°，AP×22，劣弧AC与线段PA.PC围成的封闭图

15、形的面积S四边形APCOS形AOC2××2×2428. （2019湖北省鄂州市）（10分）如图，PA是O的切线，切点为A，AC是O的直径，连接OP交O于E过A点作ABPO于点D，交O于B，连接BC，PB（1）求证：PB是O的切线；（2）求证：E为PAB的内心；（3）若cosPAB，BC1，求PO的长【解答】（1）证明：连结OB，AC为O的直径，ABC90°，ABPO，POBCAOPC，POBOBC，OBOC，OBCC，AOPPOB，在AOP和BOP中，AOPBOP（SAS），OBPOAP，PA为O的切线，OAP90°，OBP90°，P

16、B是O的切线；（2）证明：连结AE，PA为O的切线，PAE+OAE90°，ADED，EAD+AED90°，OEOA，OAEAED，PAEDAE，即EA平分PAD，PA、PD为O的切线，PD平分APBE为PAB的内心；（3）解：PAB+BAC90°，C+BAC90°，PABC，cosCcosPAB，在RtABC中，cosC，AC，AO，PAOABC，PO59. 已知ABC的内切圆O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若=，如图1，（1）判断ABC的形状，并证明你的结论；（2）设AE与DF相交于点M，如图2，AF=2FC=4，求AM的长 【解答】解：（

17、1）ABC为等腰三角形，ABC的内切圆O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，CFE=CEF=BDO=BEO=90°，四边形内角和为360°，EOF+C=180°，DOE+B=180°，=，EOF=DOE，B=C，AB=AC，ABC为等腰三角形；（2）连接OB、OC、OD、OF，如图，等腰三角形ABC中，AEBC，E是BC中点，BE=CE，在RtAOF和RtAOD中，RtAOFRtAOD，AF=AD，同理RtCOFRtCOE，CF=CE=2，RtBODRtBOE，BD=BE，AD=AF，BD=CF，DFBC，=，AE=4，AM=4×=10.

18、 （2019山东威海12分）（1）方法选择如图，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD，ABBCAC求证：BDAD+CD小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DMAD，连接AM小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DNAD请你选择一种方法证明（2）类比探究【探究1】如图，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD，BC是O的直径，ABAC试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，井证明你的结论【探究2】如图，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD若BC是O的直径，ABC30°，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是 （3）拓展猜想如图，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD若BC是O的直径，BC：AC：ABa：b：c，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是 【解答】解：（1）方法选择：ABBCAC，A