竞赛课件11：天体运动种种

1、开普勒三定律开普勒三定律 面积定律面积定律 轨道定律轨道定律 周期定律周期定律万有引力定律万有引力定律2GMmFr 牛顿运动定律牛顿运动定律32akT 2222GMmvmmrrTr t3t4Bt2t1A行星行星太阳太阳ba机械能守恒机械能守恒赤道平面轨道赤道平面轨道极地轨道极地轨道其它轨道其它轨道角速度角速度周期周期速度速度加速度加速度与轨道半径关系与轨道半径关系轨道半径轨道半径R中心天体半径中心天体半径R00020GMagR2GMagR21aR0000GMvR gRGMvRgR1vR300022RRTgGM322RRTgGM 3TR0300gGMRR 3gGMRR 31R 20GMmFR 引

2、引F引引mF向向202FmRT 向向20202GMmGmRTR mF引引F向向202cosFmRT 向向地面上物体随地球自转所需向心力只是地心引力极小一部分地面上物体随地球自转所需向心力只是地心引力极小一部分天上卫星绕地球转动所需向心力由全部地心引力提供！天上卫星绕地球转动所需向心力由全部地心引力提供！22mMmRMR mMRMRm mMMRLMmmRLMm ,mMmMvvRR mMvMvm mMaMam 模型特征：模型特征：故有故有之二：之二：角速度相同，即角速度相同，即之三：之三：两天体做圆周运动的向心力大小相等，两天体做圆周运动的向心力大小相等，之四：之四：之一：两天体做圆周运动的向心力

3、均为两天体间的万有引两天体做圆周运动的向心力均为两天体间的万有引力，大小相等，即力，大小相等，即模型规律：模型规律：ORmmMRMvMvm两颗相近的天体绕它们连线上的某两颗相近的天体绕它们连线上的某点（质心点（质心）以共同的角速度做匀速）以共同的角速度做匀速圆周运动圆周运动 .222GMmMmLLTMm 由由 32LTG Mm 之五：之五：双星系统动量守恒双星系统动量守恒GM m2mR 22RT 4G 3 3R2R4 2 2RT23GT 地球公转轨道平面地球公转轨道平面日DXQCh对北半球而言对北半球而言, ,在冬季过近日点在冬季过近日点, ,夏季过远日点夏季过远日点t3t4Bt2t1A行星行

4、星太阳太阳ba1122abvt avt b abvavbab abvv 如图所示为地球绕太阳运行示意图，图中椭圆表示地球公如图所示为地球绕太阳运行示意图，图中椭圆表示地球公转轨道，转轨道，Ch、Q、X、D分别表示中国农历节气中的春分、秋分、夏至、冬至时分别表示中国农历节气中的春分、秋分、夏至、冬至时地球所在的位置试说明，一年之内秋冬两季比春夏两季要少几天的原因地球所在的位置试说明，一年之内秋冬两季比春夏两季要少几天的原因 地球公转轨道平面地球公转轨道平面日日DXQCh由面积定律由面积定律: :321224T R gR 同步轨道半径设为同步轨道半径设为R1同步卫星轨道在影区的弧所对圆心角同步卫星

5、轨道在影区的弧所对圆心角2，有有11sinRR 因卫星在影区、不反射阳光而看不到的时间为因卫星在影区、不反射阳光而看不到的时间为tT 112RTg 由由2R 某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为，地球表面处的重力加速度为g,地球自转地球自转周期为周期为

6、T，不考虑大气对光的折射，不考虑大气对光的折射R132124sinRgTT 极地卫星周期为极地卫星周期为hTnT每昼夜卫星经日照下的赤道的次数为每昼夜卫星经日照下的赤道的次数为322hRhTR g 每次应拍摄每次应拍摄3224R hRlnTg 侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行，侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为它的运行轨道距地面高度为h，要使卫星在一天的时间内将地面上，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的全部情况全都拍摄下来，卫星在通过赤道赤道各处在日照条件下的全部情况全都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道

7、圆周的弧长是多少？上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球半径为设地球半径为R，地面重力加速度为，地面重力加速度为g，地球自转的周期为，地球自转的周期为T.3201RhTTRh 故故222GMmmrTr 由由322210RhTRhT 知知022TT 321RhRh 卫星下方地面处于卫星下方地面处于东经东经3211180RhRh 0180移动卫星经半周期又通过赤道上空，此间地移动卫星经半周期又通过赤道上空，此间地球自转了球自转了角，有角，有 电视转播用的电视转播用的“地球同步卫星地球同步卫星”的轨道高度为的轨道高度为h，转动周期为转动周期为T0；卫星定位系统用的某；卫星

8、定位系统用的某“移动卫星移动卫星”沿通过地球的南沿通过地球的南北两极的圆形轨道运行，离地面高度为北两极的圆形轨道运行，离地面高度为H，地球半径为，地球半径为R0 该移该移动卫星连续两次通过地球北极点上空的时间间隔是多少？动卫星连续两次通过地球北极点上空的时间间隔是多少？该移动该移动卫星某时刻恰位于经度为卫星某时刻恰位于经度为0度的赤道上空，那么它下一次通过赤道上度的赤道上空，那么它下一次通过赤道上空时，下方地面的经度是多少？空时，下方地面的经度是多少？ 要使一颗人造地球通讯卫星（同步卫星）能覆盖要使一颗人造地球通讯卫星（同步卫星）能覆盖赤道上东经赤道上东经75.0到东经到东经135.0之间的区

9、域，则卫星应定位在哪个之间的区域，则卫星应定位在哪个经度范围内的上空？地球半径经度范围内的上空？地球半径R = 6.37106m地球表面处的重力地球表面处的重力加速度加速度g = 9. 80m/s2 3020022RRTgR g2200324T R gR 44.2 10kmkm 2210322436006410104 解答解答同步轨道半径设为同步轨道半径设为R R同步同步, ,其覆盖经度范围的几何关系如图其覆盖经度范围的几何关系如图: :RR同步同步 116.37coscos01428.RR 同同步步 7581156 156 751350 18054 恰能覆盖东经恰能覆盖东经75的卫星定位的卫

10、星定位:恰能覆盖东经恰能覆盖东经135的卫星定位的卫星定位:1358154 读题读题同步轨道半径设为同步轨道半径设为R0：2020GMRR 由由302GMR 得得卫星在同步轨道的引力势能为卫星在同步轨道的引力势能为0pGMmER 同同动能：动能：2200GMmvmRR 由由002kGMmGMmGMmERhRR 空空3218kGMmRhGME 空空02kGMmER 同同卫星在空间站的引力势能为卫星在空间站的引力势能为pGMmERh 空空由机械能守恒：由机械能守恒： 地球质量为地球质量为M，半径为，半径为R，自转角速度为，自转角速度为，万有引力恒量，万有引力恒量为为G，如果规定物体在离地球无穷远处

11、势能为，如果规定物体在离地球无穷远处势能为0，则质量为，则质量为m的物体离地心距离为的物体离地心距离为r时，具有的万有引力势能可表示为可供航天员居住与进行科学实验的空间航天时，具有的万有引力势能可表示为可供航天员居住与进行科学实验的空间航天站离地面高度为站离地面高度为h，若在该空间站上直接发射一颗质量为，若在该空间站上直接发射一颗质量为m的小卫星，使其能到达的小卫星，使其能到达地球同步轨道并能在轨道上正常运行，则该卫星在离开空间站时必须具有多大的地球同步轨道并能在轨道上正常运行，则该卫星在离开空间站时必须具有多大的动能？动能？ LMM(1)32222423222LMMLGGMNTLL 3312

12、MNL 根据对某一双星系统的光学测量确定，该双星系统中每个根据对某一双星系统的光学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是星体的质量都是M,两者间相距两者间相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动试试计算该双星系统的运动周期；计算该双星系统的运动周期；若实验上观测到运动周期为，且若实验上观测到运动周期为，且 ,为了为了解释两者的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在暗物质作为解释两者的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在暗物质作为一种简化的模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布这种暗一种简化的模型，我们假定在以这两个星

13、体连线为直径的球体内均匀分布这种暗物质，而不考虑其它暗物质的影响，试根据这一模型和上述观察结果确定该星系物质，而不考虑其它暗物质的影响，试根据这一模型和上述观察结果确定该星系间这种暗物质的密度间这种暗物质的密度 1TTN:322LTGM 22222GMLMTL 由由F星F暗22GM mvmLL 黑黑(1)由(1)由353.6 10M 黑黑可可得得kgkg(2)(2) 天文学家根据观察宣布了下列研究成果，银河系天文学家根据观察宣布了下列研究成果，银河系中可能存在一个大中可能存在一个大“黑洞黑洞”，距黑洞，距黑洞60亿千米的星体以亿千米的星体以2000km/s的的速度绕其旋转，接近速度绕其旋转，接

14、近“黑洞黑洞”的所有物质即使速度等于光速也被的所有物质即使速度等于光速也被“黑洞黑洞”吸入，试计算吸入，试计算“黑洞黑洞”的质量和最大半径的质量和最大半径 2GMvcR黑黑逃逃max22GMRC 黑黑11351626.67 103.6 109 10 85.3 10 m m “大爆炸学说大爆炸学说”认为：宇宙是很久以前发生的一认为：宇宙是很久以前发生的一次大爆炸使聚集于某处的物质分离开来而成的，直到现在，这大爆次大爆炸使聚集于某处的物质分离开来而成的，直到现在，这大爆炸的炸的“碎片碎片”宇宙中的各星系仍在以不同的相对速率相互远宇宙中的各星系仍在以不同的相对速率相互远离观察表明：离我们越远的星系远

15、离我们飞去的速度越大例如，离观察表明：离我们越远的星系远离我们飞去的速度越大例如，牧夫座内一星云离我们银河系的距离为牧夫座内一星云离我们银河系的距离为2.74109Ly(Ly为为“光光年年”，而，而1 Ly=9.461015 m)，它正以，它正以3.93107 m/s的速率飞离银河的速率飞离银河系若大爆炸后形成的各星系分别是以不同的速率从大爆炸前物质系若大爆炸后形成的各星系分别是以不同的速率从大爆炸前物质的聚集处沿各个方向匀速飞离，则在下列两种情况下求宇宙的年龄的聚集处沿各个方向匀速飞离，则在下列两种情况下求宇宙的年龄T 假设大爆炸后银河系与牧夫座的那个星云分别以速率假设大爆炸后银河系与牧夫座

16、的那个星云分别以速率V1和和V2沿相反方向飞离大爆炸前物质的聚集处；沿相反方向飞离大爆炸前物质的聚集处；假设大爆炸后银河系与假设大爆炸后银河系与牧夫座的那个星云分别以速率牧夫座的那个星云分别以速率V1和和V2沿夹角为沿夹角为的两个方向飞离在大的两个方向飞离在大爆炸前物质的聚集处爆炸前物质的聚集处 s s9157122.74 109.46 10(1)3.93 10sstvvv 相相a a8210 10 两天体分离速度成角度时，两天体分离速度成角度时，相对速度情况如图所示相对速度情况如图所示v1v2v相对相对s s91572.74 109.46 103.93 10stv 相相a a8210 10

17、M1M2CR6060 地、月在相互间的万有引力作用下，绕它们的连地、月在相互间的万有引力作用下，绕它们的连线上的一点线上的一点C做等角速度的转动太空城的首选位置在月球轨道上做等角速度的转动太空城的首选位置在月球轨道上与月球及地球等距的地方，如图所示这里，太空城在地、月引力与月球及地球等距的地方，如图所示这里，太空城在地、月引力共同作用下，相对于地、月均处于平衡试证明，太空城在这里所共同作用下，相对于地、月均处于平衡试证明，太空城在这里所受地、月引力的合力作用线指向受地、月引力的合力作用线指向 地球地球月球月球太空城太空城C设地球质量为设地球质量为MM1 1，月球质量为，月球质量为MM2 2 ，

18、地球与月球间距离为地球与月球间距离为R R，如图，如图122212121222cos60tan3()sin60GMGMMMRRGMGMMMRR 2122tan32MRRMMR 设太空城所受合力作用线与地、月连设太空城所受合力作用线与地、月连线的中垂线夹角为线的中垂线夹角为 ，太空城所在位置和，太空城所在位置和C C点的连线与中垂线夹角为点的连线与中垂线夹角为 ，则，则F1F2F 12123()MMMM 估算空间太阳能电站一昼夜间由于被估算空间太阳能电站一昼夜间由于被地球遮挡而不能发电的最长时间取地球本影长为地地球遮挡而不能发电的最长时间取地球本影长为地球半径的球半径的216倍，同步轨道高度为地

19、球半径的倍，同步轨道高度为地球半径的5.5倍倍日日地地卫星卫星 影影 110000coscosRRnRRtT RR0nR0m mi in n1111coscos2166.52460t 61min 估算估算从地球表面向火星发射火星控测器设地球从地球表面向火星发射火星控测器设地球和火星都在同一平面上绕太阳做圆周运动，火星轨道半径约为地球和火星都在同一平面上绕太阳做圆周运动，火星轨道半径约为地球轨道半径轨道半径R0的的1.5倍，简单而又比较节省能量的发射过程可分为两步倍，简单而又比较节省能量的发射过程可分为两步进行：第一步，在地球表面用火箭对探测器进行加速，使之获得足进行：第一步，在地球表面用火箭对

20、探测器进行加速，使之获得足够动能，从而脱离地球引力作用成为一个沿地球轨道运动的人造行够动能，从而脱离地球引力作用成为一个沿地球轨道运动的人造行星；第二步是在适当时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机，在星；第二步是在适当时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机，在短时间内对探测器沿原方向加速，使其速度增加到适当值，从而使短时间内对探测器沿原方向加速，使其速度增加到适当值，从而使得探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半得探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道正好射到火星上，如图甲当探测器脱离地球引力并沿个椭圆轨道正好射到火星上，如图甲当探测器脱离地球引力并

21、沿地球公转轨道稳定运行后，在某年地球公转轨道稳定运行后，在某年3月月1日零时测得探测器与火星之日零时测得探测器与火星之间的角距离为间的角距离为60，如图乙所示已知地球半径为：，如图乙所示已知地球半径为：Rr=6.4106 m；地球公转周期为：地球公转周期为：Te=365天，（时间计算仅需精确到天，（时间计算仅需精确到日）日）求出火星的公转周期和探测器沿半个椭圆轨道运动的时间；求出火星的公转周期和探测器沿半个椭圆轨道运动的时间；通过计算说明在何年何月何日点燃探测器上火箭发动机方能使探通过计算说明在何年何月何日点燃探测器上火箭发动机方能使探测器恰好落在火星表面？测器恰好落在火星表面？ 331.51

22、.840; 1.251.400 解答解答飞船飞船太阳太阳地球地球火星火星地球地球探测器探测器o60甲甲乙乙由开三律由开三律:23323671.15eeeTRTTTR火火火火火火日日255t 日日233321.252511eeeeTRTTTRR 探探探探火火日日则探测器沿半椭圆运动时间为则探测器沿半椭圆运动时间为探测器沿半椭圆运动时间内火星通过的角度为探测器沿半椭圆运动时间内火星通过的角度为360255137671 则探测器开始进入椭圆轨道的位置应与火星的角距离成则探测器开始进入椭圆轨道的位置应与火星的角距离成43!36036017365671t 由由 38t 日日从从3月月1日探测器与火星的角

23、距离成日探测器与火星的角距离成60经经38天到天到4月月8日日时时成成 43读题读题v0bacde2012GMmEmvr0E 2dvGMr 0E bvGMr 0E 2evGMr 轨道与轨道与能量能量引力势引力势能能2012GMmEmvr 恒恒量量轨道与轨道与能量能量两个天体相互作用过程中，如果其它星系离它们很遥远，对它们的作两个天体相互作用过程中，如果其它星系离它们很遥远，对它们的作用可以忽略的话，这两个天体的总动量守恒，两个天体从相距很远到相互用可以忽略的话，这两个天体的总动量守恒，两个天体从相距很远到相互作用直到远离，它们的始末速度满足弹性碰撞的方程组，那么在它们相互作用直到远离，它们的始

24、末速度满足弹性碰撞的方程组，那么在它们相互作用的前后相对速度遵守作用的前后相对速度遵守“反射定律反射定律”，如果是一维方向上的，如果是一维方向上的“弹性碰弹性碰撞撞”，则相对速度等值反向若一个飞船向外喷气或抛射物体，则系统的，则相对速度等值反向若一个飞船向外喷气或抛射物体，则系统的动量守恒而机械能不守恒动量守恒而机械能不守恒 角动量角动量若作用在质点上的力对某定点的力矩为零，则质点对该定点的角动量保若作用在质点上的力对某定点的力矩为零，则质点对该定点的角动量保持不变，这就是质点的角动量守恒定律物体在受有心力作用而绕着中心天持不变，这就是质点的角动量守恒定律物体在受有心力作用而绕着中心天体运动，

25、或几个天体互相绕其系统质心运动时，由于有心力必过力心，对力体运动，或几个天体互相绕其系统质心运动时，由于有心力必过力心，对力心的力矩为零，故系统的角动量守恒即心的力矩为零，故系统的角动量守恒即 sinmvr 恒恒量量示例示例模型与模型与方法方法A1A2AnA3r1rnMm 物体只在引力作用下绕中心天体运行，其机械能守物体只在引力作用下绕中心天体运行，其机械能守恒引力是保守力，引力场是势场，在平方反比力场恒引力是保守力，引力场是势场，在平方反比力场中，质点的引力势能取决于其在有心力场中的位置中，质点的引力势能取决于其在有心力场中的位置在中心引力场中，在中心引力场中，m从从A A1 1移至无穷远处

26、，引力移至无穷远处，引力做负功为：做负功为： 121limniiniiGMmWrrr 12231111111limnnnGMmrrrrrr 111limniiniiirrGMmr r 1111limnniiiGMmrr 111nGMmrr 以无穷远处为零引力势以无穷远处为零引力势能位置，能位置，物体在距中心物体在距中心天体天体r远处的引力势能为远处的引力势能为pEGMmr 返回返回OpmOr矢量矢量r称位置矢量，或称矢径称位置矢量，或称矢径绕定点圆运动质点的（线）动量为绕定点圆运动质点的（线）动量为方向总是与矢径方向总是与矢径r r垂直垂直pvm 定义定义: : 质点动量大小质点动量大小mv与

27、矢径大小与矢径大小r的乘积为质点对的乘积为质点对定点（圆心）定点（圆心）O的角动量：的角动量：L=pr 当当p与与r方向不垂直而成角度方向不垂直而成角度： prA角动量大小角动量大小sinLpr 等于动量大小与等于动量大小与O点到动量矢点到动量矢量量p的垂直距离的乘积的垂直距离的乘积 ;方向方向遵守右手定则遵守右手定则,矢量定义式为矢量定义式为Lrp 返回返回r2r1mO 2 1 1S 2S M12122212,S mS mFGFGrr 两面元质量各为两面元质量各为1124MSSr 2224MSSr r两面元对壳内质点两面元对壳内质点m的引力各为的引力各为由几何关系由几何关系: :2111co

28、sSr 2222cosSr 12FF 整个球壳对球壳内物整个球壳对球壳内物质的万有引力为零质的万有引力为零! 对于一个质量均匀半径为对于一个质量均匀半径为R的实心球，在距球心的实心球，在距球心r（R）处质点只受半径为处质点只受半径为r的球内质量的球内质量的万有引力，而的万有引力，而r以外球壳（即以外球壳（即R为外径为外径r为内径的球壳）则对为内径的球壳）则对质点无引力的作用质点无引力的作用 rMRm距球心距球心r处所置质点受到引力大小处所置质点受到引力大小 332rM mRFGr 3MmGrR 距球心距球心r处所置质点的引力势能处所置质点的引力势能 32pMm RrGMmGRrERR 由由 2

29、2332pMmGrRRE 返回返回理想化方法理想化方法轨道极限模型轨道极限模型矢量法与微元法矢量法与微元法 试推导地球上的第三宇宙速度试推导地球上的第三宇宙速度v3 地球质量地球质量M 太阳质量太阳质量MS 地球半径地球半径R 日地距离日地距离r 物体质量物体质量m第一宇宙速度v1： (地球环绕速度地球环绕速度) 这是以日为参照物之速度，而地球对太阳的公转速度这是以日为参照物之速度，而地球对太阳的公转速度= =29.8 km/s；则以地球为参照物，这个速度为；则以地球为参照物，这个速度为212vGMmmRR 由由17.9 km/sGMvR 第二宇宙速度v2： (地球逃逸速度地球逃逸速度)由能量

30、守恒由能量守恒2212GMmmvR 211.2 km/s2GMvR 第三宇宙速度v3： (太阳逃逸速度太阳逃逸速度)原处于太阳系中地球轨道位置的物体离原处于太阳系中地球轨道位置的物体离开太阳系所需开太阳系所需“逃逸速度逃逸速度” 242.21km/ssGMvr 2vv 地地日日 由能量守恒：由能量守恒： 22321122GMmmvm vvR 地地日日 23216.5km/s2GMvvvR 地地日日2圆RstT RRbv0vp012vt R RbstT 橢12Pvt b 0pvv 要发射一台探测太阳的探测器，使其与地球具有相同的绕日运要发射一台探测太阳的探测器，使其与地球具有相同的绕日运动周期，

31、以便发射一年后又将与地球相遇而发回探测资料由地球发射这样一台动周期，以便发射一年后又将与地球相遇而发回探测资料由地球发射这样一台探测器，应使其具有多大的绕日速度？探测器，应使其具有多大的绕日速度？ 取发射时的一小段时间取发射时的一小段时间t0002bRbRVTRg 火箭矢径的火箭矢径的“面积速度面积速度”为为: :火箭飞行期间矢径扫过的面积火箭飞行期间矢径扫过的面积: :00222bRbRS 则则 02RStVg 34.1 10 s sv1 火箭从地面上以第一宇宙速度竖直向上发射，返回火箭从地面上以第一宇宙速度竖直向上发射，返回时落回离发射场不远处空气阻力不计，试估算火箭飞行的时间，时落回离发

32、射场不远处空气阻力不计，试估算火箭飞行的时间，地球半径取地球半径取R0=6400 km 竖直上抛运动中，以竖直上抛运动中，以T表示到达最高点所用时间，以表示到达最高点所用时间，以H表示最高点离地球表面的距离，表示最高点离地球表面的距离，R表示地球半径，表示地球半径，M表示地球质量，表示地球质量，G为万有引力恒量，不计空气阻力，从考虑万有引力是为万有引力恒量，不计空气阻力，从考虑万有引力是“平方反比平方反比力力”出发，确定时间出发，确定时间T的数学表达式的数学表达式 从考虑万有引力出发，物体在从考虑万有引力出发，物体在平方反比力作用下所做的平方反比力作用下所做的“竖竖直上抛运动直上抛运动”，其轨

33、迹应是以，其轨迹应是以地心为焦点的一个狭长的椭圆地心为焦点的一个狭长的椭圆上的一部分，该椭圆的长轴可上的一部分，该椭圆的长轴可取作取作R R+ +H H，该椭圆是许多绕地，该椭圆是许多绕地卫星可能的开普勒轨道中的一卫星可能的开普勒轨道中的一个，如图示个，如图示: :地心地心v1R RH H设在这样的轨道上运动的设在这样的轨道上运动的物体的运行周期为物体的运行周期为T, b RHVT 物体的物体的“面积速度面积速度”为为:续解续解物体的物体的“面积速度面积速度”为为:3202THRTR 物体运动的周期与物体运动的周期与“贴地贴地”卫星周卫星周期关系由开三律：期关系由开三律： 2RHTRHGM 物

34、体飞行期间矢径扫过的面积物体飞行期间矢径扫过的面积:SSS yx,2RHx 由椭圆方程由椭圆方程222212xybRH ,0b2 RHxbRH 122SxR 2 RHbRRH 2GbHVMR 读题读题读图读图2222RHSRHRHSbb 其中其中1cosRHRH 211cos222R HR HR HSRHR H 1cos2R HR HR HSbb RHR HR H 1cos2RHRHSbb RHRH 1cos2RHRHbb RHRHTV 1cos22RHRHRHRHGMRHT 设想宇宙中有一由质量分别为设想宇宙中有一由质量分别为m1、m2mN的星体的星体1、2N构构成的孤立星团，各星体空间位置

35、间距离均为成的孤立星团，各星体空间位置间距离均为a，系统总质量为，系统总质量为M由于万有引力的由于万有引力的作用，作用，个星体将同时由静止开始运动试问经过多长时间各星体将会相遇？个星体将同时由静止开始运动试问经过多长时间各星体将会相遇？ 设系统质心为设系统质心为O星体星体1与与i位矢如图位矢如图r1ri星体星体1与与i的万有引力大小为的万有引力大小为112iiGmmFa a 1113iiiGm ma F Fr rr r同理同理 1221213Gmma F Fr rr r 1331313Gmma F Fr rr r 1113NNNGmma F Fr rr r 11 12 21213N NNG m

36、mmmm mma 1 1F Fr rr rr rr r系统的角动量守恒系统的角动量守恒0 M 113Gm Ma 1 1FrFr设矢量设矢量r1大小大小r1=ka, 3121Gmk MFr 1 1 质点质点1在这个平方反比力作用下，在以在这个平方反比力作用下，在以O为一个焦点，以为一个焦点，以ka/2为长半轴而短半轴逼近为长半轴而短半轴逼近于零的于零的“椭圆轨道椭圆轨道”运动运动 1 3322kaTtG k M 38aGM i质心质心 远点在木星轨道而绕日运行的彗星称为木星彗星，它的形成可远点在木星轨道而绕日运行的彗星称为木星彗星，它的形成可看成是从无限远处落向太阳的天体经木星吸引偏转而成为太阳

37、的彗星，求其近日看成是从无限远处落向太阳的天体经木星吸引偏转而成为太阳的彗星，求其近日点（已知木星的公转轨道半径为点（已知木星的公转轨道半径为R） 理想化模型：理想化模型：从无限远处落向太阳的天体在木星轨道经与木从无限远处落向太阳的天体在木星轨道经与木星发生星发生“弹性碰撞弹性碰撞”改变运动方向进入绕日轨道，如图改变运动方向进入绕日轨道，如图木星轨道木星轨道太阳太阳v0vVv1202M MvGMRR 日日由由得木星得木星“碰撞碰撞”前速度为前速度为0MvGR 日日由机械能守恒，从无限远处被由机械能守恒，从无限远处被太阳吸引到木星轨道附近时速太阳吸引到木星轨道附近时速度度v满足满足 2102M

38、mmvGR 日日022MvGRv 日日与木星与木星 “ “完全弹性碰撞完全弹性碰撞” ” 过程速度矢量关系如图：过程速度矢量关系如图： 续解续解rv0vV接近接近V分离分离V“完全弹性碰撞完全弹性碰撞”接近速接近速度与分离速度大小相等！度与分离速度大小相等！ 2200023VVvvv分分离离接接近近0VVv分分离离而而 031Vv 天体进入太阳彗星轨道，设其绕日轨道近日点距太阳天体进入太阳彗星轨道，设其绕日轨道近日点距太阳r，过近日，过近日点时速度为点时速度为v1 1读图读图由机械能守恒有由机械能守恒有 2211122M mM mmVGmvGRr 日日日日由角动量守恒有由角动量守恒有 1mVR

39、mv r 1RvVr 312rR yxO 如图所示，地球沿半径为如图所示，地球沿半径为R0的圆轨道绕太阳运动，彗星绕太阳的圆轨道绕太阳运动，彗星绕太阳沿抛物线轨道运动已知此抛物线与地球圆轨道一直径的两端相交，不计地球与沿抛物线轨道运动已知此抛物线与地球圆轨道一直径的两端相交，不计地球与彗星之间的引力，试求彗星在地球轨道内的运行时间彗星之间的引力，试求彗星在地球轨道内的运行时间 0,0R 00,R准线准线00,2R v0vOxyy=R0ABCC0S续解续解0CABC太阳、彗星、地球质量依次为太阳、彗星、地球质量依次为M、m、m0S0S解题方向解题方向比较两天体比较两天体矢径扫过的矢径扫过的面积，

40、比较面积，比较两天体两天体“面面积速度积速度”，可得两天体可得两天体运行时间关运行时间关系！系！彗星轨迹为抛物线，由机械能守恒，有关系式彗星轨迹为抛物线，由机械能守恒，有关系式20102/2MmmvGR由由02GMvR 而地球绕日运行有关系式而地球绕日运行有关系式 2000200MmvGmRR 由由00GMvR 02v 设彗星以速率设彗星以速率v通过其轨道顶点通过其轨道顶点C历时历时t（ t 0）读图读图0122RSvt 地球以速率地球以速率v0通过其轨道顶点通过其轨道顶点C0历时历时t 0（ t0 0）000012SvtR00 042R vR vSt 00 002SR vt 两者的两者的“面

41、积面积速度速度”相同！相同！2000222323RSRR20012SR 00043StttS 于于是是有有23 a a 一卫星在半径为一卫星在半径为r的圆形轨道上运动，旋转周期为，如果给卫的圆形轨道上运动，旋转周期为，如果给卫星一个附加的径向速度星一个附加的径向速度un或一个附加的切向速度或一个附加的切向速度ut，卫星都将沿一个椭圆轨道运，卫星都将沿一个椭圆轨道运动动 确定在上述二种情况中卫星的旋转周期确定在上述二种情况中卫星的旋转周期 所附加的径向速度所附加的径向速度un和切向速和切向速度度ut必须满足什么关系，才能使两种情况下，卫星旋转周期相等？必须满足什么关系，才能使两种情况下，卫星旋转

42、周期相等？卫星在半径卫星在半径r轨道圆运动速度为轨道圆运动速度为中心天体质量为中心天体质量为M、“远远(近近)地点地点”速度为速度为V、矢径为、矢径为rn（t）2 rGMvTr 卫星附加速度卫星附加速度u为径向时为径向时读图读图机械能守恒机械能守恒 222111122nvuVGMrr角动量守恒角动量守恒nv rV rnvrrvu 2nvvarvuvu222nvrvau 对同一环绕中心，两轨道周期满足对同一环绕中心，两轨道周期满足3222nTvTvu 322222244nrTru TT 卫星附加速度卫星附加速度u为切向时为切向时 211111222tvuVGMrar nv rV r2222tav

43、rvvuu 3222222444tTrrruTu T 要使要使Tn=T，根据开普勒第三定律，必有，根据开普勒第三定律，必有an=at，即有，即有 22222nttvuvvuu 224nttruuuT 小试小试原轨道原轨道原轨道原轨道vur变轨道变轨道rnV2an续解续解vu变轨道变轨道2atVrt卫星附加速度卫星附加速度u为径向时为径向时卫星附加速度卫星附加速度u为切向时为切向时 设有两个地球人造卫星设有两个地球人造卫星M和和N沿同一椭圆沿同一椭圆轨道运动，地球中心在这椭圆的一个焦点轨道运动，地球中心在这椭圆的一个焦点F上，又设上，又设M和和N相距不远，因此可将椭圆弧看作直线已知相距不远，因此

44、可将椭圆弧看作直线已知MN的中点的中点经近地点时经近地点时MN=a，近地点到地心的距离为，近地点到地心的距离为r，远地点到地，远地点到地心的距离为心的距离为R，求，求M、N的中点经远地点时两颗卫星间的的中点经远地点时两颗卫星间的距离距离 设在远地点时两卫星距离设在远地点时两卫星距离lFNMMNrR在同一轨道上，卫星面积速度相同在同一轨道上，卫星面积速度相同ala rl R lraR 空间两质点的质量分别为空间两质点的质量分别为m1和和m2，彼此以万有引，彼此以万有引力相互作用开始时两质点静止，相距力相互作用开始时两质点静止，相距r0，在引力作用下彼此接近并，在引力作用下彼此接近并相碰，试求两质

45、点从开始运动到相碰所经历的时间相碰，试求两质点从开始运动到相碰所经历的时间 r1r2r0m1m2质心质心O O设系统质心为设系统质心为O 质点质点1与与2位矢如图位矢如图质点质点1与与2的万有引力大小为的万有引力大小为122120GmmFr F Fr rr r12212130Gm mr r rr rr r11 12 212130Gmmmmmr r r112130Gmmmr 令矢量令矢量r1大小大小r1=kr0, 3112011211221322011GmmmkrGmmmkGmmmkFrrrk等效于中心质量等效于中心质量k3 (m1+m2 )，两质点，两质点各在以中心为焦点、到中心距离为各在以中

46、心为焦点、到中心距离为长轴的退化为直线的扁椭圆上向中长轴的退化为直线的扁椭圆上向中心运动，经半周期相遇，故心运动，经半周期相遇，故 3031222krTtGkmm 301222rG mm 一质点受一与距离一质点受一与距离3/2次反比引力作用而在一直线次反比引力作用而在一直线上运动试证此质点自无穷远处到达距力心上运动试证此质点自无穷远处到达距力心a处时的速率与从处时的速率与从a处由处由静止出发，到达静止出发，到达a/4处时的速率相同处时的速率相同 导出此力场中的势能公式：导出此力场中的势能公式： BAri-ri+1rAMrB在引力作用下质点从在引力作用下质点从A A点点向力心移到向力心移到B B

47、点点 引力做元功为：引力做元功为： 32iikFr 132iiiikWrrr 由从由从A A移至移至B B，引力做功为：，引力做功为： 1312limnABiiniikWrrr 111112212212111111112222211111limlimlimiiiiinnninnniiiiiiiiirrrrrrkkkrrrrrr 111111112222222223243111111111limnABnkrrrrrrrr 11BAkrr 由机械能守恒，由机械能守恒，质点从无穷远处到达距力心质点从无穷远处到达距力心a处时处时2111122kkmvvam aa处由静止出发，到达处由静止出发，到达/4

48、处时处时 22221122kkmvvaam a12vv pkEr 有一个质量大而体积小的星球，一个物体离这个有一个质量大而体积小的星球，一个物体离这个星球的距离为星球的距离为r，物体从静止出发自由落向此星球，求物体落到这个，物体从静止出发自由落向此星球，求物体落到这个星球上经历多少时间？（已知星球的质量为星球上经历多少时间？（已知星球的质量为M） 将此星球视作质点，落向此星球的物体的轨将此星球视作质点，落向此星球的物体的轨道视作退化为直线的椭圆，其半长轴为道视作退化为直线的椭圆，其半长轴为2ra 若周期为若周期为T，则自由下落到星球历时，则自由下落到星球历时2Tt 设想同一环绕系统另有一物体在

49、半径为设想同一环绕系统另有一物体在半径为r的圆轨道运动，其周期的圆轨道运动，其周期圆轨道圆轨道星球星球32rTGM 根据开普勒第三定律根据开普勒第三定律 3182rTTGM 322rtGM 根据某种假设，星球是由星际物质（宇宙尘埃）根据某种假设，星球是由星际物质（宇宙尘埃）在万有引力的作用下经压缩而成的试估算由密度在万有引力的作用下经压缩而成的试估算由密度=210-20g/cm3的宇宙尘埃组成的巨大的云团到生成一颗星球需要多长时间？的宇宙尘埃组成的巨大的云团到生成一颗星球需要多长时间？ 取理想化模型：认为尘埃组成的巨大取理想化模型：认为尘埃组成的巨大云团是密度均匀分布的质点，每个质点自云团是密

50、度均匀分布的质点，每个质点自由落向云团中心，最后密集成一颗星球，由落向云团中心，最后密集成一颗星球，星球形成所需时间即是最外层尘埃落至中星球形成所需时间即是最外层尘埃落至中心的时间即心的时间即 332232rtGMG 11173s32 6.67 102.0 10 131.5 10 s 48 万万年年 如行星突然在其轨道上某处停止运动（假如行星突然在其轨道上某处停止运动（假定轨道为圆形）则将被吸引而至太阳，试求其所需时间，定轨道为圆形）则将被吸引而至太阳，试求其所需时间，设太阳的高斯常数（设太阳的高斯常数（GM）为）为k，行星质量为，行星质量为m 设行星原在力设行星原在力 2kmFr 作用下绕日

51、做半径为作用下绕日做半径为r匀速圆周运动，则有匀速圆周运动，则有 222krTr 32Trk 从距日为从距日为r处突然停止而被吸引向太阳的行星，其轨处突然停止而被吸引向太阳的行星，其轨道可视作退化为直线的椭圆，出发于远日点，经半个道可视作退化为直线的椭圆，出发于远日点，经半个周期周期(T/2)到近日点，其半长轴为到近日点，其半长轴为2ra 根据开普勒第三定律根据开普勒第三定律 18TT 32rk 2Tt 322rk 某彗星的轨道为抛物线，其近日点距离为地球轨某彗星的轨道为抛物线，其近日点距离为地球轨道（假定为圆轨道）半径的道（假定为圆轨道）半径的1/n，求此彗星运行时，在地球轨道内停，求此彗星

52、运行时，在地球轨道内停留的时间留的时间 解题方向解题方向比较两天体矢径扫过的面积，比较两天体比较两天体矢径扫过的面积，比较两天体“面面积速度积速度”，可得两天体运行时间关系！，可得两天体运行时间关系！太阳、彗星、地球质量依次为太阳、彗星、地球质量依次为M、m、m0读图读图地球绕日运行有关系式地球绕日运行有关系式 2000200MmvGmRR 00GMvR 彗星轨迹为抛物线，由机械能守恒，有关系式彗星轨迹为抛物线，由机械能守恒，有关系式20102/MmmvGRn02GMnvR 02nv 设彗星、地球各以速率设彗星、地球各以速率v和和v0通过其轨道顶点历时各通过其轨道顶点历时各t（ t 0）和）和

53、t 0（ t0 0）012RSvtn 000012SvtR00 022R vR vStnn 00 002SR vt 两者的两者的“面积面积速度速度”之比为之比为2n续解续解0Syx , xy O 00,R00,Rn v002yRn v21Rn0CACB返回返回S021,xnRn 2004RnyxnR续解续解22002 41211 41232nnnnSRRnnnnn000002StSttSSn ttt 2021223nnRn慧星从慧星从A到到B时间由时间由 20000RStT 002SttSn 2000220012232nnSnRTn SR 地球矢径扫过面积地球矢径扫过面积 22213a ann

54、 nnt 读图读图 如图，从地球发射火箭到火星去进行探测，发射后火箭绕如图，从地球发射火箭到火星去进行探测，发射后火箭绕太阳椭圆轨道运行为了节省能源，火箭离开地球的速度方向与地球绕太阳公转太阳椭圆轨道运行为了节省能源，火箭离开地球的速度方向与地球绕太阳公转的速度方向一致，并且选择适当的发射时机，使火箭椭圆轨道的远日点为火星，的速度方向一致，并且选择适当的发射时机，使火箭椭圆轨道的远日点为火星，轨道近日点为地球假定地球和火星均绕太阳做圆周运动，圆轨道半径分别为轨道近日点为地球假定地球和火星均绕太阳做圆周运动，圆轨道半径分别为r与与R，忽略其它行星对火箭的作用，求火箭应以多大的对地速度离开地球？火

55、箭到，忽略其它行星对火箭的作用，求火箭应以多大的对地速度离开地球？火箭到达火星要用多长时间？达火星要用多长时间？ 日日地球轨道地球轨道火星轨道火星轨道Rr设太阳、火箭质量依次为设太阳、火箭质量依次为M、mv1v2由机械能守恒有由机械能守恒有 22121122MmMmmvGmvGrR 由角动量守恒有由角动量守恒有 12rvRv 12GMrvRr R 1vvv地地对日速度对日速度! 火箭离地速度应为火箭离地速度应为GMvr 地地21GMRrRr 到达火星的时间是到达火星的时间是火箭运动半个周期火箭运动半个周期T 302RrTTr 3122Rrrt 假设地球是一个均匀球体，现在地球的东半球北纬假设地

56、球是一个均匀球体，现在地球的东半球北纬30的的a处开一个穿过地轴的直线隧道直通西半球北纬处开一个穿过地轴的直线隧道直通西半球北纬30的的b处，如图所示已知地球的处，如图所示已知地球的半径是半径是6370 km，地面的重力加速度，地面的重力加速度g=9.8 m/s2，第一宇宙速度，第一宇宙速度v1=7.9 km/s，假设，假设隧道光滑现将一个物体以隧道光滑现将一个物体以v=v1/3的初速度从的初速度从a处抛入隧道，问物体从处抛入隧道，问物体从b处出来后能处出来后能飞离地面的最大高度是多少？飞离地面的最大高度是多少？ ab30解题方向解题方向 考虑对称性，物体从考虑对称性，物体从b处飞出的速度大小

57、为处飞出的速度大小为v1/3，此后在地心引力作用下沿一椭圆轨道的远地椭圆弧运动；此后在地心引力作用下沿一椭圆轨道的远地椭圆弧运动；由守恒定律求最大高度由守恒定律求最大高度.由机械能守恒有由机械能守恒有 22111232vGMmGMmmmVRRh h13vV由角动量守恒有由角动量守恒有 R 1sin303vRV Rh R+h21GMvR 注注意意到到285h kmkm 有一航天器（不带动力装置）自远方以速度有一航天器（不带动力装置）自远方以速度v0射射向某一行星，计划在行星上着陆，如图示如以向某一行星，计划在行星上着陆，如图示如以b表示表示v0与行星的垂与行星的垂直距离（称为瞄准距离），求直距离

58、（称为瞄准距离），求b最大值为多少时，航天器可以在行星最大值为多少时，航天器可以在行星上着陆已知航天器质量为上着陆已知航天器质量为m，行星的质量为，行星的质量为M，半径为，半径为R mORbV由机械能守恒有由机械能守恒有 2201122GMmmvmVR 由角动量守恒有由角动量守恒有 00Vmv bmVrbrv 0VRv 0max221GMRv Rb rbV202GMvRV v0XAO 如图，一质量为如图，一质量为m12 t的太空飞船在围绕月球的圆轨道上旋的太空飞船在围绕月球的圆轨道上旋转，其高度转，其高度h100 km为使飞船降落到月球表面，喷气发动机在为使飞船降落到月球表面，喷气发动机在X点

59、做一次短时点做一次短时间发动从喷口喷出的热气流相对飞船的速度为间发动从喷口喷出的热气流相对飞船的速度为u10 km/s月球半径月球半径R1700 km，月球表面上自由落体的重力加速度为，月球表面上自由落体的重力加速度为g月月=1.7 m/s2飞船可用两种不同方式到飞船可用两种不同方式到达月球：达月球：到达月球上的到达月球上的A点，该点正好与点，该点正好与X点相对；点相对；在在X点给一指向月球中心点给一指向月球中心的动量后，与月球表面相切于的动量后，与月球表面相切于B点试计算上述两种情况下所需的燃料量点试计算上述两种情况下所需的燃料量 按此方式，飞船椭圆轨道按此方式，飞船椭圆轨道X为远月点，为远

60、月点，A为近月点，为近月点，XA为长轴，月心为焦点为长轴，月心为焦点，vX0vu由牛顿草图可知，由牛顿草图可知，飞船在飞船在X点是向运动方向喷气减速而成点是向运动方向喷气减速而成设飞船做圆运动时速率为设飞船做圆运动时速率为v0 20R gvRh 月月vA由机械能守恒有由机械能守恒有 221122XAGM mmGM mmmm vmm vR hR XAmm vRhmm v R 由角动量守恒有由角动量守恒有 2GMR g 月月月月而而 322Xg RRvhRh 月月飞船喷气过程动量守恒飞船喷气过程动量守恒: 0XXmvmm vm u v 代入题给数据得代入题给数据得: : 0Xvvmmu XAXAB