乘法公式竞赛

1、18.乘法公式知识纵横 乘法公式(multiplication formula)是在多项式乘法的基础上,将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘,得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点： 1.熟悉每个公式的结构特征,理解掌握公式; 2.根据待求式的特点,模仿套用公式; 3.对公式中字母的全面理解,灵活运用公式; 4.既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合,综合运用公式.例题求解 【例1】(1)已知两个连续奇数的平方差为2000,则这两个连续奇数可以是_.

2、(江苏省竞赛题) (2)已知(2000-a)·(1998-a)=1999,那么,(2000-a)2+(1998-a)2=_. (2000年重庆市竞赛题) 思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组;(2)视(2000-a)·(1998-a)为整体,由平方和想到完全平方公式(formula for the square the sum)及其变形.解:(1)设两个连续奇数为x,y,且x>y,则 得x+y=1000或x+y=-1000,解得(x,y)=(499,501)或(-501,-499). (2)4002 提示:(2000-a)2+(1998-a)2=(2000-a)-

3、(1998-a)2+2(2000-a)·(1998-a) 【例2】若x是不为0的有理数,已知M=(x2+2x+1)(x2-2x+1),N=(x2+x+1)(x2-x+1),则M与N的大小关系是( ). (“祖冲之”杯邀请赛试题) A.M>N B.M<N C.M=N D.无法确定 思路点拨 运用乘法公式,在化简M、N的基础上,作差比较它们的大小. 解:选B 【例3】计算: (1)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1; (天津市竞赛题)3-1.345×0.3452. (江苏省竞赛试题) 思路点拨 若按部就班计算,显然较繁,能否用乘法公式,简化计算,关

4、键是对待求式恰当变形,使之符合乘法公式的结构特征,对于(2),由于数字之间有联系,可用字母表示数(称为换元),将数值计算转化为式的计算,更能反映问题的本质特征. 解:(1)原式=(7-1)(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1=716 (2)设1.345=x,则原式=x(x-1)·2x-x3-x(x-1)2=-x=-1.345 【例4】(1)已知x、y满足x2+y2+=2x+y,求代数式的值. (“希望杯”邀请赛试题) (2)整数x,y满足不等式x2+y2+12x+2y,求x+y的值. (第14届“希望杯”邀请赛试题)(3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整

5、.甲商场:第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b;乙商场:两次提价的百分率都是 (a>0,b>0);丙商场:第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a,则哪个商场提价最多?说明理由. (2003年河北省竞赛题) 思路点拨 对于(1)、(2)两个未知数一个等式或不等式,须运用特殊方法与手段方能求出x、y的值,由平方和想到完全平方公式及其逆用,解题的关键是拆项与重组;对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表示,作差比较它们的大小. 解:(1)提示:由已知得(x-1)2+(y-)2=0,得x=1,y=,原式=(2)原不等式可化为(x-1)2+(y-1)21,且x、y为

6、整数,(x-1)20,(y-1)20,所以可能有的结果是或或,解得或 或 或 ,x+y=1或2或3(3)甲、乙、丙三个商场两次提价后,价格分别为(1+a)(1+b)=1+a+b+ab;(1+)·(1+)=1+(a+b)+( )2;(1+b)(1+a)=1+a+b+ab;因()2-ab>0,所以()2>ab,故乙商场两次提价后,价格最高. 【例5】已知a、b、c均为正整数,且满足a2+b2=c2,又a为质数. 证明: (1)b与c两数必为一奇一偶; (2)2(a+b+1)是完全平方数. 思路点拨 从a2+b2=c2的变形入手;a2=c2-b2,运用质数、奇偶数性质证明.解:

7、(1)因(c+b)(c-b)=a2,又c+b与c-b同奇同偶,c+b>c-b,故a不可能为偶质数2,a应为奇质数,c+b与c-b同奇同偶,b与c必为一奇一偶.(2)c+b=a2,c-b=1,两式相减,得2b=a2-1,于是2(a+b+1)=2a+2b+2=2a+a2-1+2=(a+1)2,为一完全平方数.学力训练一、 基础夯实1.观察下列各式: (x-1)(x+1)=x2-1; (x-1)(x2+x+1)=x3-1; (x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1. 根据前面的规律可得 (x-1)(xn+xn-1+x+1)=_.(2001年武汉市中考题)2.已知a2+b2+4a-2b+5=0

8、,则=_. (2001年杭州市中考题)3.计算:(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655=_; (2)19492-19502+19512-19522+19972-19982+19992=_; (3) =_.4.如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形,请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a、b的恒等式_. (2003年太原市中考题)5.已知a+=5,则=_. (2003年菏泽市中考题) 6.已知a-b=3,b+c=-5,则代数式ac-bc+a2-ab的值为( ). A.-15 B.-2 C.-6 D.6 (2003年扬州市中考题)7.乘积(1-)(1-

9、)(1-)(1-)等于( ).A. B. C. D. (2002年重庆市竞赛题)8.若x-y=2,x2+y2=4,则x2002+y2002的值是( ). A.4 B.2002 C.2 D.49.若x2-13x+1=0,则x4+ 的个位数字是( ). A.1 B.3 C.5 D.710.如图,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b),把余下的部分剪拼成一个矩形(如图),通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,则这个等式是( ). A.a2-b2=(a+b)(a-b) B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.(a-b)2=a2-2ab+b D.(a+2b)(a-b

10、)=a2+ab-2b2 (2002年陕西省中考题)11.(1)设x+2z=3y,试判断x2-9y2+4z2+4xz的值是不是定值?如果是定值,求出它的值;否则请说明理由. (2)已知x2-2x=2,将下式先化简,再求值:(x-1)2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1). (2003年上海市中考题)12.一个自然数减去45后是一个完全平方数,这个自然数加上44后仍是一个完全平方数,试求这个自然数.13.观察:1·2·3·4+1=52 2·3·4·5+1=112 3·4·5·6+1=192 (1)请写

11、了一个具有普遍性的结论,并给出证明; (2)根据(1),计算2000·2001·2002·2003+1的结果(用一个最简式子表示). (2001年黄冈市竞赛题)二、 能力拓展14.你能很快算出19952吗? 为了解决这个问题,我们考察个位上的数字为5的自然数的平方,任意一个个位数为5的自然数可写在10n+5(n为自然数),即求(10n+5)2的值,试分析n=1,n=2,n=3,这些简单情形,从中探索其规律,并归纳猜想出结论. (1)通过计算,探索规律.152=225可写成100×1×(1+1)+25;252=625可写成100×2&#

12、215;(2+1)+25;352=1225可写成100×3×(3+1)+25;452=2025可写成100×4×(4+1)+25;752=5625可成写_;852=7225可写成_. (2)从第(1)题的结果,归纳,猜想得(10n+5)2=_. (3)根据上面的归纳猜想,请算出19952=_. (福建省三明市中考题)15.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z=_.(2001天津市选拨赛试题)16.(1)若x+y=10,x3+y3=100,则x2+y2=_. (2)若a-b=3,则a3-b3-9ab=_.17.1,2,3,98共9

13、8个自然数中,能够表示成两整数的平方差的个数是_. (全国初中数学联赛试题)18.已知a-b=4,ab+c2+4=0,则a+b=( ). A.4 B.0 C.2 D.-219.方程x2-y2=1991,共有( )组整数解. A.6 B.7 C.8 D.920.已知a、b满足等式x=a2+b2+20,y=4(2b-a),则x、y的大小关系是( ). A.xy B.xy C.x<y D.x>y (2003年太原市竞赛题)21.已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为( ). A.0 B.1 C.2

14、 D.3 (2002年全国初中数学竞赛题)22.设a+b=1,a2+b2=2,求a7+b7的值. (西安市竞赛题)23.已知a满足等式a2-a-1=0,求代数式a8+7a-4的值. (2003年河北省竞赛题) 24.若x+y=a+b,且x2+y2=a2+b2,求证:x1997+y1997=a1997+b1997. (北京市竞赛题) 三、综合创新25.有10位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场),用x1,y1顺次表示第一号选手胜与负的场数;用x2,y2顺次表示第二号选手胜与负的场数,;用x10,y10顺次表示十号选手胜与负的场数.求证:x12+x22+x102=y12+y22+y102.2

15、6.(1)请观察: 25=52 1225=352 112225=3352 11122225=33352 写出表示一般规律的等式,并加以证明. (2)26=52+12,53=72+22,26×53=1378,1378=372+32. 任意挑选另外两个类似26、53的数,使它们能表示成两个平方数的和,把这两个数相乘,乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的道理吗?设（2x-1）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，求：（1）f的值；（2）a+b+c+d+e+f的值；（3）a+c+e的值若(3x+1)5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f,则a-b+c-d+e-f的值是3、

16、若a+2b+3c=12，且a2+b2+c2=ab+bc+ca，则a+b2+c3= .5、对于正数x，规定f（x）= ,例如f（3）=，f（）=，计算f（）+ f（）+ f（）+ f（）+ f（x）+ f（1）+ f（1）+ f（2）+ f（3）+ + f（2004）+ f（2005）+ f（2006）= .答案1.xn+1-1 2.- 3.(1)4;(2)3897326;(3) 4.(a+b)2-4ab=(a-b)2 5.24 6.C7.D 提示;逆用平方差公式,分解相约 8.C 提示:由已知条件得xy=09.D 提示:x0,由条件得x+=13,x4+=(x2+)2-2=(x+)2-22-2

17、10.A11.(1)定值为0 提示:由条件得x-3y=-2z,原式=(x-3y)·(x+3y)+4z2+4xz=-2z·(x+3y)+4z2+4xz=4z2+2xz-6yz=4z2+2z(x-3y)=0 (2)原式=3x2-6x-5=3(x2-2x)-5=1.12.提示:设这个自然数为x,由题意得 -得n2-m2=89 即(n+m)(n-m)=89×1 从而 ,解得 (m,n都为自然数) 故 x=45-44=1981.13.(1)对于自然数n,有n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2,证明略. (2)由(1)得原式=(20002+3×

18、2000+1)2=4006001214.(1)100×7×(7+1)+25;100×8×(8+1)+25. (2)(10n+5)2=10n(n+1)+25 (3)19952=(10×199+5)2=10×199×(199+1)+25=398002515.2 16.(1)40 提示:x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)=(x+y)(x+y)2-3xy;(2)27.17.73 提示:x=n2-m2=(n+m)(n-m)(1m<n98,m,n为整数),因n+m与n-m的奇偶性相同,故x是奇数或是4的倍数.18.B 提示:把a=b+4代入ab+c2+4=0得(b+2)2+c2=019.C 提示:(x+y)(x-y)=1×1991=11×181=(-1)×(-1991)=(-11)×(-181)20.B 提示:x-y=(a+2)2+(b-4)2021.D 提示:原式=(a-b)2+(b-c)2+(a-c)222. 提示:由a+b=1,a2+b2=2,得ab=-,利用an+1+bn+1=(an+bn)(a+