第11讲圆轴扭转时的变形和刚度计算

1、第第6 6章章 圆轴扭转圆轴扭转 主要内容主要内容: :2.2.扭转内力扭转内力: :扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图3.3.扭转切应力分析与计算扭转切应力分析与计算1.1.圆轴扭转的概念圆轴扭转的概念 4.4.圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算 圆轴扭转时的强度计算圆轴扭转时的强度计算 强度条件强度条件: :圆轴扭转时的强度要求仍是最大工作圆轴扭转时的强度要求仍是最大工作切应力切应力maxmax不超过材料的许用切应力不超过材料的许用切应力 。pTWMmaxmax 对于对于阶梯轴阶梯轴，因为抗扭截面系数，因为抗扭截面系数W Wp p不是常量，不是常量，最最大工作应力不一定发生在最大扭

2、矩所在的截面上。大工作应力不一定发生在最大扭矩所在的截面上。要综合考虑扭矩和抗扭截面系数要综合考虑扭矩和抗扭截面系数W Wp p，按这两个因，按这两个因素来确定最大切应力。素来确定最大切应力。 应用扭转强度条件，可以解决圆轴强度计算的三类问题：校核强度、设计截面和确定许校核强度、设计截面和确定许可载荷。可载荷。 圆轴扭转时的许用切应力 值是根据试验确定的，可查阅有关设计手册。它与许用拉应力 有如下关系： l 塑性材料塑性材料 (0(05 50 06) 6) 脆性材料脆性材料 (0(08 81 10) 0) llM MA A = 9550 x 20/180 = 9550 x 20/180 = 1

3、061 N.m = 1061 N.m例例1 1：如图所示直径：如图所示直径d=50mmd=50mm的等截面圆轴，主动轮功率的等截面圆轴，主动轮功率P PA A=20kW=20kW，轴的转速，轴的转速n=180r/minn=180r/min，齿轮，齿轮B B、C C、D D的输出的输出功率分别为功率分别为P PB B=3kW=3kW，Pc=10kWPc=10kW，P PD D=7kW=7kW，轴的许用切应，轴的许用切应力力 =38M Pa =38M Pa，试校核该轴的强度。，试校核该轴的强度。 ABCD解：求各轮的外力偶矩：解：求各轮的外力偶矩：M MB B = 9550 x 3/180 = 1

4、59 N.m = 9550 x 3/180 = 159 N.mM MC C = 9550 x 10/180 = 531 N.m = 9550 x 10/180 = 531 N.mM MD D = 9550 x 7/180 = 371 N.m = 9550 x 7/180 = 371 N.mABCDM MA A = 1061 N.m = 1061 N.mM MB B = 159 N.m = 159 N.mM MC C = 531 N.m = 531 N.mM MD D = 371 N.m = 371 N.mM MAB AB = 159 N.m= 159 N.mM MAC AC = 902 N.m

5、= 902 N.mM MCD CD = 371 N.m= 371 N.m用截面法可得：用截面法可得：则：则：max所以，轴的强度足够。所以，轴的强度足够。= = M MTmaxTmax / W/ WP P = = 902 x 10 / 0.2 x 50902 x 10 / 0.2 x 50 = 14.4 Mpa 38 MPa= 14.4 Mpa 38 MPa33例例2 2：某拖拉机输出轴的直径：某拖拉机输出轴的直径d=50mmd=50mm，其转速，其转速n=250r/minn=250r/min，许用切应力许用切应力 =60 =60MPaMPa，试按强度条件计算该轴能传递的，试按强度条件计算该轴

6、能传递的最大功率。最大功率。 解：由解：由M MTmaxTmax = 9550P= 9550Pmax / n / n max则则：P Pmax = (60 x250 x50 )/(9550 x10 ) (60 x250 x50 )/(9550 x10 ) = 196 kW = 196 kW33= = 10 10 M Mtmaxtmax / W/ WP P = 10 x 9550 = 10 x 9550 P Pmax /n. /n. W WP P 60 MPa60 MPa33例3：P7.5kW,n=100r/min,轴的许用切应力40M Pa,空心圆轴的内外径之比 = 0.5。: 实心轴的直径d

7、1和空心轴的外径D2。解：解：M MT T=Me=T=9550=Me=T=9550n nP P=9550 =9550 x x 7.57.5100100= 716.3= 716.3(N.m) max=W Wp1p1= 40 = 40 ( ( M Pa)M Pa)1000M1000MT T7163007163000.20.2d d1 13= 45 mmd1=716300 40 0.23对于轴对于轴1 1：对于空心轴对于空心轴2 2： max=W Wp2p2= 40 = 40 ( ( M Pa)M Pa)1000M1000MT T7163007163000.20.2D D2 2 (1-(1- ) )

8、34= 46 mmD2 =716300 0.2(1- 0.5 4) 40 d 2 = 0.5D2=23 mmA A1 1A A2 2= =d d1 12 2D D2 22 2(1- (1- 2 2) )=1.28=1.28圆轴扭转时的变形和刚度计算圆轴扭转时的变形和刚度计算 1.1.圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 圆轴扭转时，任意两横截面产生相对角位移，称为扭角扭角。扭角是扭转变形的变形度量。扭角是扭转变形的变形度量。 等直圆轴的扭角等直圆轴的扭角 的大的大小与扭矩小与扭矩MTMT及轴的长度及轴的长度L L成正比，与横截面的成正比，与横截面的极惯性矩极惯性矩IpIp成反比，引成反比，引入比例

9、常数入比例常数 G G，则有，则有 :pTGILM( (radrad ) )切变模量切变模量(M pa)抗扭刚度抗扭刚度2.2.扭转时的刚度计算扭转时的刚度计算 LmaxpTGIMmax(rad(rad/m)/m)刚度条件：刚度条件：最大单位长度扭角最大单位长度扭角 小于或等于许小于或等于许用单位长度扭角用单位长度扭角 。 maxmaxmax180TpMGI或或( ( / /m)m) max注：注：对于阶梯轴，因为极惯性矩不对于阶梯轴，因为极惯性矩不是常量，所以最大单位长度扭角不是常量，所以最大单位长度扭角不一定发生在最大扭矩所在的轴段上。一定发生在最大扭矩所在的轴段上。要综合考虑扭矩和极惯性

10、矩来确定要综合考虑扭矩和极惯性矩来确定最大单位长度扭角。最大单位长度扭角。 根据扭转刚度条件，可以解决刚度根据扭转刚度条件，可以解决刚度计算的三类问题，即计算的三类问题，即校核刚度、设校核刚度、设计截面和确定许可载荷计截面和确定许可载荷。 例例1 1：如图所示阶梯轴，直径分别为：如图所示阶梯轴，直径分别为 ， ，已知，已知C轮输入转矩轮输入转矩 ，A轮输出转矩轮输出转矩 ，轴的转速，轴的转速 ，轴材料的许用切应力，轴材料的许用切应力 ，许用单位长度扭角许用单位长度扭角 ，切变模量，切变模量 ，试校核该轴的强度和刚度。试校核该轴的强度和刚度。 mmd401mmd552mNMec5 .1432mN

11、MeA8 .620min/200rn MPa60m/2GPaG80CBACBA解解 : :1.1.求个段扭矩：求个段扭矩：mNMMeAT8.620121432.5TecMMN m由于各段半径不同，危险截面可能发生在由于各段半径不同，危险截面可能发生在ABAB段的截面段的截面 处，也可能发生在处，也可能发生在BCBC段段 。1d2.2.校核强度校核强度 31131620.8 1048.50.2 40TpMMPaMPaWAB322321432.5 1043.10.2 55TpMMPaMPaWBCMPa5 .481max AB所以，强度所以，强度满足要求。满足要求。 3.3.校核刚度校核刚度 3311341180620.8 1018010/1.737 /80 100.1 40TpMmmGIAB33223421801432.5 1018010/1.121 /80 100.1 55TpMmmGIBCm/737. 11maxAB所以，轴的刚度也满足要求。所以，轴的刚度也满足要求。 结论结论：1.1.无正应力。无正应力。 2 2.有切应力存在，方向与有切应力存在，方向与截面半径方向垂直。截面半径方向垂