MBA数学概率常见问题以及方法

1、概率常见问题以及方法一、基本古典概型问题（1）古典概型公式：.（2）古典概型的本质实际上是排列组合问题，所以上一节课总结的排列组合的方法及题型，在此问题中适用.（3）常用正难则反的思路(对立事件).例1.已知10件产品中有4件一等品，从中任取2件，则至少有1件一等品的概率为（）.(A)(B)(C)(D)(E)【解析】任取2件，没有一等品的概率为，故至少有一件一等品的概率为.【答案】B例2.某公司有9名工程师，张三是其中之一，从中任意抽调4人组成攻关小组，包括张三的概率是（）.(A)(B)(C)(D)(E)【解析】选张三，再从其余的8个人中任意选3个即可，即为；故包括张三的概率为.【答案】D例3

2、.将2个红球与1个白球随机地放人甲、乙、丙三个盒子中，则乙盒中至少有一个红球的概率为（）.(A)(B)(C)(D)(E)【解析】方法一：可分为两类：乙盒子中有1个红球：先从2个红球中选1个放入乙盒子，另外1个红球在甲、丙两个盒子中任选一个，白球在3个盒子中任意选择，即；乙盒子中有2个红球：先将2个红球放入乙盒子，白球可以在3个盒子中任意选择，即;所以，概率为.方法二：剔除法.乙盒中没有红球，则红球在甲丙两个盒子中任意选择，白球在3个盒子中任意选择，即，所以乙盒中至少有1个红球的概率为.二、古典概型之骰子问题（1）骰子问题必用穷举法.（2）常与解析几何结合考查，一般需要转化为不等式求解.例1若以

3、连续掷两枚骰子分别得到的点数与作为点的坐标，则点落入圆内(不含圆周）的概率是（）.(A)(B)(C)(D)(E)【解析】点落入圆内，即，则、，共计10种，所以，落在圆内的概率.【答案】D例2若以连续两次掷色子得到的点数和作为点的坐标，则点落在直线和两坐标轴围成的三角形内的概率为（）.(A)(B)(C)(D)(E)【解析】落在三角形内部，只需要即可，利用穷举法可知，点可以为：、共计10种，总共的不同可能点数为6×636(种).故所求概率为.【答案】E三、古典概型之几何体涂漆问题将一个正方体六个面涂成红色，然后切成个小正方体，则（1）3面红色的小正方体：8个，位于原正方体角上.（2）2面

4、红色的小正方体：个，位于原正方体棱上.（3）1面红色的小正方体：个，位于原正方体面上(不在棱上的部分).（4）没有红色的小正方体：个，位于原正方体内部.例1将一个白木质的正方体的六个表面都涂上红漆，再将它锯成64个小正方体.从中任取3个，其中至少有1个三面是红漆的小正方体的概率是（ ）.(A)0.065(B)0.578(C)0.563(D)0.482(E)0.335【解析】3面有红漆的小正方体位于大正方体的顶点上，有8个；任取3个至少1个三面是红漆的反面是任取3个没有1个三面是红漆，故所求概率为.【答案】E例2将一块各面均涂有红漆的正立方体锯成125个大小相同的小正立方体，从这些小正立方体中随

5、机抽取一个，所取到的小正立方体至少两面涂有红漆的概率是（ ）.(A)0.064(B)0.216(C)0.288(D)0.352(E)0.235【解析】小立方体位于大正立方体的角上时，有3面为红色，数量为8个；小立方体位于大正立方体的棱上时，有2面为红色，数量为36个.故所求概率.【答案】D练习：将一个表面漆有红色的长方体分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体，其中，一点红色也没有的小正方体有3块，那么原来的长方体的表面积为（ ）平方厘米.(A)32(B)64(C)78(D)27(E)18【解析】没有红色的小正方体位于原来的长方体的内部，这三个小正方体一定是一字排开的，长宽高分别为1，1，3；所

6、以，原长方体的长宽高应为3,3,5.故表面积为2×3×34×5×378(平方厘米).四、数字之和问题例1袋中有6只红球、4只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，则得分不大于6分的概率是（）.(A)(B)(C)(D)【解析】得分不大于6,分为三种情况：两红两黑，三黑一红，四黑；故得分不大于6的概率为.【答案】A例2若从原点出发的质点向轴的正向移动一个和两个坐标单2甿甩率分别是和，则该质点移动3个坐标单位，到达的概率是（）.(A)(B)(C)(D)(E)【解析】，故可分为三类：先移动1个单位，再移动2个单位：；先移动2个单

7、位，再移动一个单位：；三次移动1个单位：.故到达的概率为.【答案】B五、袋中取球问题袋中取球模型有3类：（1）无放回取球模型.设口袋中有个白球，个黑球，逐一取出若干个球，看后不再放回袋中，则恰好取了个白球，个黑球的概率是；【拓展】抽签模型.设口袋中有个白球，个黑球，逐一取出若干个球，看后不再放回袋中，则第次取到白球的概率为，与无关.（2）一次取球模型.设口袋中有个白球，个黑球，一次取出若干个球，则恰好取了个白球，个黑球的概率是；可见一次取球模型的概率与无放回取球相同.（3）有放回取球模型.设口袋中有个白球，个黑球，逐一取出若干个球，看后放回袋中，则恰好取了个白球，个黑球的概率是.上述模型可理解

8、为伯努利概型：口袋中有个白球，个黑球，从中任取一个球，将这个实验做次，出现了次白球，次黑球.例1袋中有5个白球和3个黑球，从中任取2个球，求：（1）取得的两球同色的概率；（2）取得的两球至少有一个是白球的概率.【解析】从8个球中任取2个球的取法为，所以（1）任取两球同色的取法为,所以，取两球同色的概率为.（2）任取两球全是黑球的概率，所以，任取两球至少有一白球的概率为.例2小袋中有10个小球，其中有7个黑球，3个红球，从中任取2个小球，至少有一个是红球的概率为（）.【解析】方法一：恰好有1个红球的概率为；恰好有2个红球的概率为；所以至少有一个红球的概率是.方法二：剔除法.从10个小球中任取2个

9、，全为黑球的概率为,事件是“从10个球中任取2球，至少一个是红球”的对立事件，所以至少有一个红球的概率.【答案】D例3在一个不透明的布袋中装有2个白球、个黄球和若干个黑球，它们只有颜色不同.则.（1）从布袋中随机摸出一个球，摸到白球的概率是0.2；（2）从布袋中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是0.3.【解析】单独显然不充分，联立两个条件：由条件（1）：摸到白球的概率，得，可知一共有10个球；由条件（2）：，得，可知黄球为3个；故联立起来充分.【答案】C练习：某装置的启动密码是由0到9中的3个不同数字组成，连续3次输入错误密码，就会导致该装置永久关闭，一个仅记得密码是由3个不同数字组成的人能够启

10、动此装置的概率为（）.(A)(B)(C)(D)(E)【解析】分为三类：第一类：尝试一次即成功的概率为；第二类：第一次尝试不成功，第二次尝试成功的概率为；第三类：第一、二次尝试不成功，第三次尝试成功的概率为由加法原理，能启动装置的概率为.【快速得分法】抽签原理的应用(不放回的取球).本题相当于有720个签，抽3个抽中正确密码即可，故概率为.【答案】C六、独立事件的概率独立事件同时发生的概率公式：.例1档案馆在一个库房中安装了个烟火感应报警器，每个报警器遇到烟火成功报警的概率为.该库房遇烟火发出报警的概率达到0.999.（1），；（2），.【解析】条件（1）:均未报警的概率为，故报警概率为,条件（

11、1）充分.条件（2）:均未报警的概率为，故报警概率为，故条件（2）充分.【答案】D例2图7-9是一个简单的电路图，,表示开关，随机闭合,中的两个，灯泡发光的概率是（）.(A)(B)(C)(D)(E)【解析】闭合两个开关，灯泡发光的情况为：或，共2种情况；闭合两个开关的所有可能情况为：或或，共3种情况.故概率为.【答案】E例3在10道备选试题中，甲能答对8题，乙能答对6题.若某次考试从这10道备选题中随机抽出3道作为考题，至少答对2题才算合格，则甲、乙两人考试都合格的概率是（）.(A)(B)(C)(D)(E)【解析】甲考试合格的概率是；乙考试合格的概率是甲、乙两人相互独立，所以他们考试都合格的概率为.【答案】A七、闯关问题（1）闯关问题一般符合独立事件的概率公式：；（2）闯关问题一般前几关满足题干要求后，后面的关就不用闯了，因此未必是每关都试一下成功不成功.所以要根据题意进行合理分类.例1在一次竞猜活动中，设有5关，如果连续通过2关就算闯关成功，小王通过每关的概率都是，他闯关成功的概率为（）.乙获胜：首次正面出现在第2，5，8，次，概率为.丙获胜概率为.【答案】D八、伯努利概型（1）伯努利概型公式：.（2）独立地做一系列的伯努利试验，直到第次试验时，事件才首次发生的概率为.例1某乒乓球男子单打决赛在甲乙两选手间进行比赛用7局4胜制.已知每局比赛甲选手战胜乙选手的概率为0.7，则甲