高数同济版大一下学期期末复习（课堂PPT）

1、.1期末考试复习重点期末考试复习重点（1）直线与平面的位置关系）直线与平面的位置关系,空间曲线的切线，空间曲面的空间曲线的切线，空间曲面的切平面切平面（2）函数的定义域、极限和连续（连续的定义）、方向导数、）函数的定义域、极限和连续（连续的定义）、方向导数、复合函数求导（高阶）、隐函数的求导与全微分、条件极值复合函数求导（高阶）、隐函数的求导与全微分、条件极值（3）二重积分的计算（直角坐标与极坐标）二重积分的计算（直角坐标与极坐标）（4）第一、二类曲线积分，积分与路径无关）第一、二类曲线积分，积分与路径无关第一、二类曲面积分格林公式、高斯公式。第一、二类曲面积分格林公式、高斯公式。（5）数项级

2、数收敛性判别，绝对收敛与条件收敛）数项级数收敛性判别，绝对收敛与条件收敛幂级数的收敛域、求级数求和函数。幂级数的收敛域、求级数求和函数。.2（一）直线与平面的位置关系，空间曲线的切线，（一）直线与平面的位置关系，空间曲线的切线，空间曲面的切平面空间曲面的切平面（1）设）设, 0: DCzByAxpzznyymxxL000: 则则 /L0 CpBnAm 上上在在L LpCnBmA ,|sin222222pnmCBACpBnAm ,20 , 0 CpBnAm ),(000zyx nsns/.3（2）曲面在某点处的切平面、空间曲线在某点处的切线曲面在某点处的切平面、空间曲线在某点处的切线要点：要点：

3、I：曲面在某点处的切平面曲面在某点处的切平面（1）设曲面方程为）设曲面方程为0),( zyxF),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 第一步：计算第一步：计算,zyxFFF第二步：计算曲面的法向量第二步：计算曲面的法向量第三步：分别写出切平面和法线的方程第三步：分别写出切平面和法线的方程0000000000000 )(,()(,()(,(zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx .4（2）设曲面方程为）设曲面方程为),(yxfz ),(),(10000yxfyxfnyx 第一步：

4、取第一步：取),(),(yxfzzyxF 第二步：计算曲面的法向量第二步：计算曲面的法向量第三步：利用点法式和对称式分别写出切平面和法第三步：利用点法式和对称式分别写出切平面和法线的方程线的方程00000000 )()(,()(,(zzyyyxfxxyxfyx10000000zzyxfyyyxfxxyx ),(),(.5要点要点II：空间曲线的切线与法平面：空间曲线的切线与法平面（1）设空间曲线）设空间曲线 的方程的方程)(),(),(tztytx 第一步：确定点第一步：确定点,),(0000tzyxM对对应应的的参参数数第二步：计算第二步：计算)(),(),(000tttT 第三步：利用对称

5、式和点法式分别写出切线和法第三步：利用对称式和点法式分别写出切线和法平面的方程平面的方程)()()(000000tzztyytxx 0000000 )()()(zztyytxxt .6（2）设空间曲线）设空间曲线 的方程的方程,),(),(bxaxzxy )(),(,(001xxT .7解解设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为,pnms 根据题意知根据题意知,1ns ,2ns 取取21nns ,1, 3, 4 .153243 zyx所求直线的方程所求直线的方程3、典型例题、典型例题.8例例2：设直线：设直线 L 和平面和平面 的方程分别为的方程分别为则必有（则必有（ ）,/)( LA,

6、)(在在上上在在 LB,)( LC.)(斜斜交交与与 LD解：解：),1, 2, 4( n1012231 kjis,/sn, LC,031020123: zyxzyxL, 0224: zyxkji71428 )24( 7kji .9例例3：求曲面：求曲面03222 xyzyx0 z上同时垂直于平面上同时垂直于平面与平面与平面解：取解：取, 3222 xyzyxF),(000zyxM01 yx的切平面方程。的切平面方程。设切点为设切点为MzyxFFFn),( )2 ,2 ,2(00000zxyyx 020 z0)2()2(0000 xyyx0300202020 yxzyx ),0, 1, 1 (

7、1 M),0, 1, 1(2 M),0, 3, 3(1 n),0, 3, 3(2 n, 0) 1( 3) 1( 3:1 yx, 02 yx, 0) 1( 3) 1( 3:2 yx, 02 yx.10例例:(1)已知曲线已知曲线32,tztytx在点在点P处的切线平行于处的切线平行于平面平面22zyx，求，求P点的坐标点的坐标与设直线) 1(221)2(zymx025363zyx平面与垂直，求m.11（二）多元函数的定义域、极限和连续；方向导数（二）多元函数的定义域、极限和连续；方向导数，复合函数求导（高阶），隐函数的求导和全微分、，复合函数求导（高阶），隐函数的求导和全微分、条件极值条件极值（

8、1）多元函数在某点的定义域、极限和连续多元函数在某点的定义域、极限和连续要点：要点：I：求二元函数在某点的极限：求二元函数在某点的极限1、利用函数在一点连续的定义和极限的四则运算法则、利用函数在一点连续的定义和极限的四则运算法则2、利用有界函数与无穷小乘积的性质、利用有界函数与无穷小乘积的性质3、利用变量对换化为一元函数极限、利用变量对换化为一元函数极限4、利用夹逼准则与两个重要极限、利用夹逼准则与两个重要极限.12）的定义域为（例：函数yxz0, 0yxA、0,yyxB、0,yyxC、0, 0yxD、例：求下列函数的极限：例：求下列函数的极限：11sinlim) 1 (00 xyayxyx2

9、322222200)(sinlim)2(yxyxyxyx2423200|lim) 3 (yxyxyxB.1311sinlim00 xyayxyxxyxyayxyx) 11(sinlim00 ayxyayayx) 11(sinlim00 ayayay2sinlim0 a2 .14解：解：2322222200)(sinlimyxyxyxyx 求极限求极限,:22yx 令令,)0 , 0(),(时时当当yx, 0 2322222200)(sinlimyxyxyxyx 30sinlim 203cos1lim 6sinlim0 61 .15解：解：42lim00 yxyxyx求极限求极限42lim00

10、yxyxyx)42)(42()42(lim00 yxyxyxyxyxyxyxyxyx )42(lim00)42(lim00 yxyx)42(lim0 4)402( .16（1）多元函数的定义域、极限、连续多元函数的定义域、极限、连续要点：要点：I：求二元函数在某点的极限：求二元函数在某点的极限2423200|limyxyxyx |,|2224yxyx 因因|2|0223224232yxyxyxyx 2|21y 00 （二）多元函数的定义域、极限和连续；方向导数（二）多元函数的定义域、极限和连续；方向导数，复合函数求导（高阶），隐函数的求导和全微分、，复合函数求导（高阶），隐函数的求导和全微分、

11、条件极值条件极值.17（1）多元函数的定义域、在某点的极限、连续多元函数的定义域、在某点的极限、连续要点：要点：II：用定义求二元函数在某点的偏导数：用定义求二元函数在某点的偏导数xyxfyxxfyxfxx ),(),(lim),(0,),(),(0000 xxxyxfdxdyxf ,),(),(002200yyyyyxfdydyxf 0),(),(000yyxxyyxfdydyxf （二）多元函数的定义域、极限和连续；方向导数（二）多元函数的定义域、极限和连续；方向导数，复合函数求导（高阶），隐函数的求导和全微分、，复合函数求导（高阶），隐函数的求导和全微分、条件极值条件极值.18典型例题典

12、型例题) 1 ,(xf,sin2x 例例1：设：设,arcsin)1(sin),(2xyyxyxf )1 , 2(xf 求求解：解：,2cos2xxxf . 4cos4)1 , 2( xf.19典型例题典型例题)0 ,(xz,arctanx 例例2：设：设,1arctanxyyxz )0 , 0(22)0 , 0(,xzxz 求求解：解：)0 , 0(xz 0)0 ,( xxzdxd0arctan xxdxd11102 xx)0 , 0(22xz 022)0 ,( xxzdxd022arctan xxdxd02)11( xx022)1 (2 xxx0 .20典型例题典型例题例例3：设：设, )

13、1ln(2yxz )1 , 1(2yxz 求求解：解：xz 2212yxx )1 , 1(2yxz 1), 1 ( yxyzdyd1)22( yy12)1 (2 yy92 yxyz 22), 1 (.21二元函数的连续性二元函数的连续性.,),(),(000且且为为聚聚点点设设DyxPyxfz ),(),(lim0000yxfyxfyyxx 若若.),(),(000处处连连续续点点在在则则称称yxPyxf要点：要点：III：多元函数的连续性：多元函数的连续性.220, 00,),() 1 (222222yxyxyxxyyxf函数例：续、处处有极限，但不连、处处连续BA）外处处连续，、除（）连续

14、，、仅在（0000DCA(2)(2) 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性.23例：例： 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取,kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续)0 , 0(),(),( ,0 xkxyxx时时当当.24（2）方向导数、复合函数求导（高阶）、方向导数、复合函数求导（高阶）、隐函数的求导、多元函

15、数的微分隐函数的求导、多元函数的微分要点：要点：I、方向导数、方向导数II ：二元抽象函数的二阶偏导数的计算；：二元抽象函数的二阶偏导数的计算；III ：隐函数的偏导数的计算；：隐函数的偏导数的计算；例例1：设：设, )()(1yxyxyfxz .2yxz 求求答案：答案：)()()(2yxyyxxyfyyxz IV ：多元函数全微分的计算；：多元函数全微分的计算；.25232uxyzxyz0(0, 1, 2)P 例例:(1)函数函数 在点在点 处沿哪个方向处沿哪个方向 的方向导数最大？并求方向导数的最大值的方向导数最大？并求方向导数的最大值.例例1：设：设, )()(1yxyxyfxz .2

16、yxz 求求例例3：设设, )(22yxfz 求求yxz 2(5, 1, 2)A(9, 4, 14)BAB (2)求函数求函数xyzu 在点在点处沿到点处沿到点的方向的方向上的方向导数上的方向导数.26例例3：设设, )(22yxfz 求求yxz 2解：解：zxyuxuudfdxz 22yxu xuufu )()(2ufxu yxz2)(2ufxyu )(2ufyxu xyu)(ufu22yxu .27例例4：设：设,)(arctan22xyeyxz .dz求求答案：答案：)2()2(arctandyxydxyxedzxy 要点：要点：I、方向导数、方向导数II ：二元抽象函数的二阶偏导数的计

17、算；：二元抽象函数的二阶偏导数的计算；III ：隐函数的偏导数的计算；：隐函数的偏导数的计算；IV ：多元函数全微分的计算；：多元函数全微分的计算；（2）方向导数、复合函数求导（高阶）、方向导数、复合函数求导（高阶）、隐函数的求导、多元函数的微分隐函数的求导、多元函数的微分.28例例3：设：设),(yxzz 02 zyxeze是由方程是由方程解：两边取全微分解：两边取全微分.,2yxzdz , 02)( dzedzxydezyx,22dyexdxeyedzzzxy 所确定的二元函数，求所确定的二元函数，求整理并解得整理并解得,2 zxyeyexz)2(2 zxyeyeyyxz2)2()2()(

18、 zzxyzxyxyeyzeyeexyee2)2()2()2()( zyzxyzyxyeeyeeye.29例例3：设：设),(yxzz 02 zyxeze是由方程是由方程解：两边取全微分解：两边取全微分.,2yxzdz , 02)( dzedzxydezyx,22dyexdxeyedzzzxy 所确定的二元函数，求所确定的二元函数，求整理并解得整理并解得)2(2 zxyeyeyyxz2)2()2()( zzxyzxyxyeyzeyeexyee32)2()2)(1( zzzxyxyexyeeee,2 zxyeyexz.30拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法： （1）构造拉格朗日函数：）构造拉格朗日函

19、数：),(),(),(yxyxfyxL （2）联解方程组，求出）联解方程组，求出问题问题 1 的所有可能的极值点。的所有可能的极值点。问题问题 1：求函数求函数 z = f ( x , y ) 在约束条件在约束条件 ( x , y ) = 0 下的极值（称为条件极值问题）。下的极值（称为条件极值问题）。),( yxLx0 ),(),(yxyxfxx ),( yxLy0 ),(),(yxyxfyy ),( yxL0 ),(yx （3）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判断。中往往可根据问题本身的性质来判断。（3） 条件极

20、值。条件极值。.31例例1：在椭球面在椭球面12222 zyx上，求距离平面上，求距离平面62 zyx的最近点和最远点。的最近点和最远点。解：设解：设 ( x , y , z ) 为椭球面上任意一点为椭球面上任意一点则该点到平面的距离为则该点到平面的距离为222)1(12|62| zyxd6|62| zyx问题问题1：在约束条件在约束条件012222 zyx下，求距离下，求距离 d 的最大最小值。的最大最小值。 由于由于 d 中含有绝对值，为便于计算，考虑将中含有绝对值，为便于计算，考虑将问题问题 1 转化为下面的等价问题转化为下面的等价问题.32问题问题2：在条件在条件下，求函数下，求函数2

21、62)(),( zyxzyxf的最大最小值。的最大最小值。222)1(12|62| zyxd6|62| zyx问题问题1：在约束条件在约束条件下，求距离下，求距离 d 的最大最小值。的最大最小值。012222 zyx012222 zyx（1）作拉格朗日函数）作拉格朗日函数)()(),(12622222 zyxzyxzyxL 04624 xzyxLx )(02622 yzyxLy )(（2）联解方程组）联解方程组.33（1）作拉格朗日函数）作拉格朗日函数)()(),(12622222 zyxzyxzyxL 04624 xzyxLx )(02622 yzyxLy )(（2）联解方程组）联解方程组0

22、2622 zzyxLz )(012222 zyxL 求得两个驻点：求得两个驻点：,)21,21,21(1 M)21,21,21(2 M对应的距离为对应的距离为|62121212|611 d632 6342 d.34例例1：在椭球面在椭球面12222 zyx上，求距离平面上，求距离平面62 zyx的最近点和最远点。的最近点和最远点。解：解： 问题问题1：在约束条件在约束条件012222 zyx下，求距离下，求距离 d 的最大最小值。的最大最小值。求得两个驻点：求得两个驻点：,)21,21,21(1 M)21,21,21(2 M,6321 d对应的距离为对应的距离为,6342 d（3）判断：由于驻

23、点只有两个，且由题意知最近距）判断：由于驻点只有两个，且由题意知最近距离和最远距离均存在。所以离和最远距离均存在。所以最近距离为最近距离为,6321 d最远距离为最远距离为,6342 d.35三、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）三、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）重点内容重点内容（1）二重积分在直角坐标下的计算；）二重积分在直角坐标下的计算； Dydxdyxf),( baxxydyxfxd)()(21),( dcyyxdyxfyd)()(21),( .36DyxDdxdyxy10 , 11,22为其中：计算例1511答案：答案：例例1：计算二重积分计算二重积分,2xyDdxdyeDy由其中

24、.1轴所围成及yy 121e答案：答案：.37三、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）三、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）重点内容重点内容（2）二重积分中二次积分的交换次序；）二重积分中二次积分的交换次序；例例 1 1 改改变变积积分分 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的的次次序序. 102112),(yydxyxfdy答案答案:例例2：试证：试证： ayaxbxdxfeyd00)()( aaxbxdxfexa0)()()(.38xy 222xxy 原式原式 102112),(yydxyxfdy.解解积分区域分为两块积分区域分为两块,:212010 xxyxD

25、,:xyxD 20212,:yxyyD 211102.39例例2：试证：试证： ayaxbxdxfeyd00)()( aaxbxdxfexa0)()()(证明：画出积分区域证明：画出积分区域 D ,0:ayD xy0ayyx 0yx ax,0:axD ayx 由图可知由图可知 D 又可以写成又可以写成X 型区域型区域xy ay ayaxbxdxfeyd00)()( Daxbydxdxfe)()(D.40（3）利用极坐标计算二重积分；）利用极坐标计算二重积分； Ddyxf ),( Dddf )sin,cos(再根据再根据 D 的极坐标表示，将极坐标下的二重积分的极坐标表示，将极坐标下的二重积分化

26、为累次积分。化为累次积分。 DdxdyyxI22)1(例例3:计算计算:D由直线由直线 y = x 及曲线及曲线4xy 所围平面区域。所围平面区域。 )122(91 DdxdyyxRI222)2(xRyxD 22: )43(93R.41（4）利用对称性和被积函数的奇偶性计算二重积分；）利用对称性和被积函数的奇偶性计算二重积分；在二重积分的计算过程中，要注意对称性。在二重积分的计算过程中，要注意对称性。例例 4 计计算算dxdyyxD)(22 ，其其 D为为由由圆圆 yyx222 ，yyx422 及及直直线线 yx3 0 ， 03 xy 所所围围成成的的平平面面闭闭区区域域. )32(15例例5

27、：计算：计算 DyxyxddxeyI)1()(22其中其中 D 由直线由直线 y = x , y = 1 , 及及x = 1 所围平面区域所围平面区域)32( .42解解32 61 sin4 sin2 dxdyyxD)(22 36422 sinsindd).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy3 6 sin4 sin2 .43（5）三重积分在直角坐标系中）三重积分在直角坐标系中“先二后一先二后一”的计算方法；的计算方法；例例6：,)(222222 vdczbyaxI2222:Rzyx )111(1542225cbaR提示：提示： vdczvdbyvdaxI222222再

28、对再对 vdcz22用用“ 先二后一先二后一 ” 的方法计算，的方法计算，并用对称性给出另外两项的结果。并用对称性给出另外两项的结果。.44例例7： 44h提示：利用对称性、被积函数奇偶性及提示：利用对称性、被积函数奇偶性及 “先二后一先二后一” 法法,)( vdzyxIhzzyx 0,:222（6）利用柱面坐标计算三重积分）利用柱面坐标计算三重积分 vdzyxf),(.),sin,cos( dzddzf 例例8： 31024,)(22 vdyxI0,22 xzy由由绕绕 z 轴旋转一周而成曲面与平面轴旋转一周而成曲面与平面 z = 8 所围空间立体所围空间立体.45四、四、第一、二类曲线积分

29、，积分与路径无关、第一、二类曲线积分，积分与路径无关、第一、二类曲面积分、格林公式、高斯公式。第一、二类曲面积分、格林公式、高斯公式。（1）曲线和曲面积分的基本概念和基本计算方法；）曲线和曲面积分的基本概念和基本计算方法；（2）基本公式）基本公式格林公式格林公式 DLdxdyyPxQQdyPdx)(高斯公式高斯公式 RdxdyQdzdxPdydz dxdydzzRyQxP)(主要作用：将平面曲线积分转化为二重积分主要作用：将平面曲线积分转化为二重积分主要作用：将曲面积分转化为三重积分主要作用：将曲面积分转化为三重积分.46（3）基本应用：）基本应用：格林公式和高斯公式的两类典型应用题：格林公式

30、和高斯公式的两类典型应用题：2. 平面曲线积分平面曲线积分“ 封口法封口法 ” 和和 “ 挖洞法挖洞法 ”。 LQdyPdx与路径无关与路径无关在单连通区域在单连通区域 G 内内yPxQ .47（4）基本计算技巧）基本计算技巧1. 利用对称性；利用对称性；2. 利用曲线或曲面方程化简被积函数；利用曲线或曲面方程化简被积函数；3. 利用关系式利用关系式),(dxdydzdxdydzdS)cos,cos,(cos 将对不同的坐标的曲面积分化为同一个曲面积分；将对不同的坐标的曲面积分化为同一个曲面积分；4. 利用积分与路径无关，适当改变积分路径，简利用积分与路径无关，适当改变积分路径，简化平面曲线积

31、分。化平面曲线积分。.4811054:222 zyx例例1：设椭球面设椭球面 的表面积为的表面积为a，则，则 Sdzyxzyx)245(22220a提示：利用曲面方程及对称性提示：利用曲面方程及对称性例例2：设设, 1:3232 yxL则则 Ldsyxxy32323提示：利用曲线方提示：利用曲线方程及对称性程及对称性0例例3： zdxdyydzdxxdydz1:222222 czbyaxcba 4提示：利用高斯公式及提示：利用高斯公式及椭球体的体积。椭球体的体积。.49例例4：设设 f (x) 在在 ( 0 , + ) 上有连续的导数，上有连续的导数，L 是由点是由点提示：利用积分与路径无关，

32、并取新路径：提示：利用积分与路径无关，并取新路径：A ( 1 , 2 ) 到点到点 B ( 2 , 8 ) 的直线段，计算的直线段，计算 Ldyxxyfxdxxyfxyxy)(1)(222222322 xy （30）例例5：计算计算 zdxdyyydxdzxxzdydz22 由抛物面由抛物面22yxz 与圆柱面与圆柱面122 yx及坐标面在第一卦限中所围曲面外侧。及坐标面在第一卦限中所围曲面外侧。提示：利用高斯公式及（三重积分）柱面坐标提示：利用高斯公式及（三重积分）柱面坐标 203.50BAxBAdyxfydxxfexffxf.) 1 , 1 (),0 , 0()()(),(,21)0()(

33、时的积分值与路径无关，并求当使得曲线积分求连续可导，且例：设例例6：计算：计算 LyydyxeydxexyI)(cos)12(再由坐标原点沿再由坐标原点沿 x 轴到轴到 B (2 , 0)。解：解：xy0 )1, 1( A其中，其中，L 为由点为由点 A ( 1 , 1) 沿曲线沿曲线2xy 到坐标原点，到坐标原点，2B)1, 2(C分析：应用格林公式分析：应用格林公式补充：补充：CABCL :1 1)(cos)12(Lyydyxeydxexy 1)(cos)12(LLyydyxeydxexyI Dyydxdyexe)12(D 10)2(cosdyeyy 12)12(dxex 21012ydx

34、xdy)221(sine )318(e 11sin e2xy .52五、数项级数收敛性判别，条件收敛与绝对收敛、五、数项级数收敛性判别，条件收敛与绝对收敛、幂级数的收敛域，幂级数求和函数。幂级数的收敛域，幂级数求和函数。（1）数项级数收敛性判别）数项级数收敛性判别1. 正项级数正项级数比较判别法，比值判别法，根值判别法，比较判别法，比值判别法，根值判别法，收敛的必要条件收敛的必要条件几何级数、几何级数、P 级数和调和级数级数和调和级数2. 交错级数：交错级数： 莱布尼茨定理莱布尼茨定理3. 任意项级数：任意项级数：绝对收敛和条件收敛。绝对收敛和条件收敛。.53任意项级数任意项级数 1nnu收敛

35、性判断的一般步骤：收敛性判断的一般步骤：（1）检验）检验（3）用正项级数审敛法检验）用正项级数审敛法检验 1|nnu是否收敛？是否收敛？则原级数绝对收敛，从而收敛，则原级数绝对收敛，从而收敛，（4）若）若 1|nnu发散，发散，但是用比值或根值法判断的但是用比值或根值法判断的则原级数也发散。则原级数也发散。0lim nnu是否成立？是否成立？ 若否，则原级数发散若否，则原级数发散若是或若是或0lim nnu难求，则进行下一步；难求，则进行下一步；若是，若是，否则，进行下一步；否则，进行下一步；（2）若原级数为正项级数或交错级数，则可用正项级数）若原级数为正项级数或交错级数，则可用正项级数 或莱

36、布尼茨判别法检验其收敛性，否则进行下一步或莱布尼茨判别法检验其收敛性，否则进行下一步（5）用性质或其它方法。）用性质或其它方法。.54（2）幂级数的收敛半径和收敛域）幂级数的收敛半径和收敛域求幂级数求幂级数（1）利用极限）利用极限 |lim1nnnaa（2）判定幂级数在端点）判定幂级数在端点Rx 确定收敛半径确定收敛半径 R 及收敛区间及收敛区间 处的收敛性，处的收敛性， 0nnnxa收敛域的一般步骤：收敛域的一般步骤：（3）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。),(RR nnna |lim或或 1R说明说明（1）幂级数中不能出现幂级数中不能出现“缺项缺项”。 00)(nnnxxa（2）对幂级数）对幂级数要先做变换要先做变换0 xxt .55（3）求幂级数的和函数）求幂级数的和函数求幂级数求幂级数（1）利用极限）利用极限 |lim1nnnaa（2）判定幂级数在端点）判定幂级数在端点Rx 确定收敛半径确定收敛半径 R 及收敛区间及收敛区间 处的收敛性，处的收敛性， 0nnnxa收敛域的一般步骤：收敛域的一般步骤：（3）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。）收敛域等于收敛区间加