高三复习知识梳理之四(导数及其应用)

1、高三复习知识梳理之四：导数及其应用（含定积分）【考点综述】本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则，为基础层面；第二层次是导数的简单应用，包括求单调区间、函数的极值、证明函数的增减性等，为导数应用的重点层次，以求导考察单调性为突破口；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结合，加强了能力考查力度，使试题具有更广泛的实际意义，体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的思想方法，这类问题用传统教材是难以甚至无法解决的；为导数应用的较高层次，用于设计压轴

2、题，突出导数应用的灵活性与思想方法的交汇性。预测：重点放在第二层次，已向第三层次进军（还常设计压轴题）！即：考查对导数本质的理解和计算，并力求结合应用问题，已经表现出逐步加深与综合考查的趋势，如已涉及理论探讨和较为严格的逻辑证明。【重点知识】1. 平均变化率及瞬时变化率：(1) 函数f(x)从x1到x2的平均变化率：（2）函数f(x)在x0处的瞬时变化率：=2. 导（函）数的定义：（1）在点x0处可导存在、都存在且相等。（2）在一点x=x0处的导数为=（3）若对任意都有=成立，则函数在区间上可导；在端点a、b处判断是否可导的方法是：若存在，则在（a,b上可导；若在存在，则在a,b）上可导；若，

3、都存在，则在a,b上可导。注：新课标对极限要求降低，上述定义涉及的极限表达式仅供理解定义本质时作参考。3. 基本初等函数的导数公式为常数）； 但不为零）； ； ； 4. 导数的四则运算法则 若的导数都存在，则：； 为常数）；特别地，；5. 复合函数求导公式（课本2021页）（1）复合层次的划分：对较为复杂函数准确求导的前提是：会熟练地进行复合函数层次的划分。以基本初等函数作为划分基本层次的标准。基本初等函数有以下六类：常函数；指数函数；对数函数；幂函数为常数）；三角函数； 反三角函数（略）。（2）求导法则设，则。例如：求导： 已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是 6. 抽象函数求导问题

4、 如：设函数在上的导函数为，且，下面的不等式在上恒成立的是（ ）A. B. C. D.已知对任意实数，有，且时，则时（ ）ABCD【重点结论】1. 求导与单调性：若函数在区间I上可导，且使的点x仅有有限个，则在区间I上为严格递增（减）函数的充要条件为：对一切有 例如： 已知函数在R上是减函数，求a的取值范围。 已知函数f(x) = 在(2，)内单调递减，求实数a的取值范围。2. 求导与极值：（课本2728页）若当时且当时，则为在上的极大（小）值。 注意：（1）正确理解极值定义： （2）极值也可能在不可导点取得，如：在处取得极小值，但是不可导。 （3）驻点即满足的点不一定是取得极值的点，如：在点

5、处。 综上，满足的点是此点是极值点的既不充分也不必要条件。 例如： 函数的极值点是（ ）A、x=2 B、x=1C、x=1或1或0D、x=0 求的极值点。已知函数的导数，若在处取到极大值，则的取值范围是 。（状元之路50页5）3. 求导与几何意义：以曲线上一点为切点的切线方程是（1）注意鉴别：“过曲线上一点的切线”与“在曲线上一点处的切线”的区别：“在曲线上一点处的切线”是指以此点为切点的切线，而“过曲线上一点的切线”只表示曲线的切线过“此点”，但是“此点”不一定就是切点！例如： 已知曲线，则过点P（2，4）的切线方程是 。（状元之路44页）练习：已知曲线上一点求过点P的切线方程。（2）利用导数

6、的几何意义识图：如 已知函数的导函数的图象如下图，那么的图象可能是（ ）4. 定积分重点结论（1）定义式；（2）面积与定积分的关系：若，则；若则；若，则。（面积与定积分的转化） “面积”与几何意义、物理意义（变力做功、位移等）均有密切关系。 （3）微积分基本定理：= F(b)-F(a)；（用于计算，寻找原函数） （4）（用于分段）【典例分析】题型1 求单调区间例1 设函数，其中a0。（1）求的单调区间；（2）解不等式1。题型2 研究极值问题例2 设函数f(x)=(a、b、c、dR)的图象关于原点对称，且x=1时，f(x)取极小值。(1)求a、b、c、d的值；(2)当x-1,1时，图象上是否存在

7、两点，使得过此两点的切线互相垂直？试证明你的结论；(3)若x1,x2-1,1时，求证：|f(x1)-f(x2)|。题型3 导数与图象特征结合例3 已知平面向量=(,-1)，=(,).(1) 证明；(2) 若存在不同时为零的实数k和t，使=+(t2-3) ，=-k+t，试求函数关系式k=f(t)；(3) 据(2)的结论，讨论关于t的方程f(t)-k=0的解的情况. 例4已知函数在区间，内各有一个极值点（I）求的最大值；（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式【启迪迁移】1已知函数（1）求曲线在点处的切线方

8、程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：总结：用导数方法讨论“函数与的图象交点个数”问题，一般步骤如下：1. 构造函数；2. 求导，研究的单调性与极值（必要时研究函数图象端点的极限情况）；3. 画出函数的图象（示意图），观察它与x轴的交点情况（以上不必写在卷面上），由此列出方程（组）或不等式（组）；4. 解方程或不等式（组）得解并作答。题型4 导数的实际应用例5 从边长为2a 的正方形铁片的四个角各截去一小块边为的正方形（如右图所示），再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，要求长方体的高度与底面正方形边长的比值不超过常数t. 问取何值时，容积V有最大值。题型5 用于证明不等式或求

9、“恒成立”型不等式参数范围（肇始于课本27页练习B3）例6 证明：当x0时，有【启迪迁移】1设函数。（）求函数的单调区间；（）已知对任意成立，求实数的取值范围。2. 已知数列an各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的nN*，都有4Sn=(an+1)2。(1)求数列an的通项公式；(2)若2ntSn对于任意的nN*成立，求实数t的最大值。3. 已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.(1)求函数f(x)的最大值；(2)设0ab,证明：0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2.题型6.用于讨论某些超越方程的解例7讨论方程实根个数。 【启迪迁移】 1. 证明方程x=sin

10、x在(，)内只有一个实根。题型7.定积分应用 例8 求值：例9 求由抛物线，直线所围成图形的面积。例10 请先阅读：在等式（）的两边求导，得：，由求导法则得，化简得等式：（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式 （，正整数），证明：（2）对于正整数，求证：（i）；（ii）；（iii）【实战演练】一、选择题1对于R上可导的任意函数满足，则（ ）A. B. C. D. （状元之路49页）2已知曲线，这三条曲线与x=1的交点分别为A、B、C，又设k1、k2、k3分别为以A、B、C为切点且分别与这三条曲线相切的直线的斜率，则（ ） A k1k2k3 B k3k2k1 C k1k3k2 D k3k1

11、0，函数在上是单调增函数，则a的最大值是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 （状元之路47页4）4已知二次函数的导数为，对于任意实数x都有，则的最小值为（ ）A 3 B C 2 D （状元之路49页B1）5函数的导函数为，若，则实数x的取值范围是（ ） A. （0，1） B. C. D. 二、填空题6曲线与曲线在交点处的切线的夹角为 。7已知且，则的取值范围是 。8已知函数f (x)=ax3bx2，曲线y=f (x)过点P(1，2)，且在点P处的切线恰好与直线x3y=0垂直。若f (x)在区间m，m1上单调递增，则m的取值范围 。三、解答题9已知曲线，求与C1、C2均相切的直线l的方程。1

12、0函数，过曲线上的点的切线方程为y=3x+1（1）若时有极值，求的表达式；（2）在（1）的条件下，求在-3，1上的最大值；（3）若函数在区间-2，1上单调递增，求b的取值范围。11某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线。（1）写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t)；（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效。 求服药一次治疗疾病有效的时间？当t=5时，第二次服药，问t时，药效是否连续？12设抛物线y=x2与直线y=xa（a是常数）有两个不同的交点，记抛物线在

13、两交点处切线分别为l1，l2，求值a变化时l1与l2交点的轨迹。13已知曲线。从点向曲线引斜率为的切线，切点为。（）求数列的通项公式；（）证明：。14. 已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）证明：若，则对于任意有。15. 已知函数f(x)=x+8x, g(x)=6lnx+m （）求f(x)在区间t,t+1上的最大值h(t);（）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。16.求定积分： (1) (2) 17. 已知,求值, 使.答案：【重点知识】5. 复合函数求导公式划分复合层次：， 求导：；法1 （代

14、换法）由（1）得，即，（2）联立（1）（2）消去得，所求切线方程为，即 法2 （复合函数求导法）两边求导得，令x=1得 ，在原式中令x=1得，于是所求切线方程为，即注：法2用到复合函数求导的结论，此法的好处是可以不必求其解析式。6. 抽象函数求导问题构造特殊函数，适合题意要求，排除B,D；若取，可以排除C；故选A. 用结论：奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反，选B.【重点结论】1. 求导与单调性： 递减对任意恒成立 错解：f(x)=，由f (x)在(2，)内单调递减，知f(x)0在x(2，)内恒立，即0在x(2，)内恒立。因此，a。剖析：上题看似正确，实际上却忽视了一个

15、重要问题：未验证f(x)是否恒为零。因为f (x)在区间D上单调递增（或递减）的充要条件f(x)0 (f(x)0)且f(x)在任一子区间上不恒为零。而当a=时，f(x) =不是单调递减函数，不合题意。故a的取值范围是2. 求导与极值： 错解: f (x) =x63x43x21,则由f(x)=6x512x36x=0得极值点为x=1，x=1和x=0，故正确答案为C.正解: 事实上，这三点只是驻点(导数等于0的点)，由f(x) =6x512x36x=6x(x1)2(x1)2知，当x(，1)时，f(x)0；当x(1，0)时，f(x)0；当x(0，1)，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0. f (x

16、)在 (，1)、(1，0)单调递增，在(0，1)、(1，)单调递减。则x=0为极小值点，x=1或1都不是极值点（称为拐点）。故应选D。剖析：（1）在可导的条件下，满足f(x0)=0的点x=x0（称为驻点）只是它为极大（小）值点的必要而不充分条件，如果一味地把驻点等同于极值点，往往容易导致失误。答案：x=1，0 (易遗漏)注：在求极值点的时候，有时还要注意导数不存在的点.如上例中x=0处。3. 求导与几何意义：设切点为，则，而，切线方程为，又切线过点P（2，4）有 解：得 若则P（2，4）为切点，切线方程为4x-y-4=0； 若则为切点，切线方程为x-y+2=0.练习答案为12x-3y-16=0

17、, 3x-3y+2=0.（2）利用导数的几何意义识图：解析：导函数都为正，说明都是增函数，均适合；在点x0处有相同导数说明这两个函数图像在点x0处的切线平行（排除B）；g(x)的导函数递增说明g(x)的图象向下凸，f(x)的导函数递减说明f(x)的图象向上凸，结合以上性质应选D。不过，用导数研究图像凸凹性，超出了新教材应用范围，是有超纲嫌疑的！当然，不提图象凸凹性，在图像上观察切线斜率的变化趋势也可直观获解，这对于导数几何意义的灵活运用提出了较高要求。评注：通过导数可以研究函数的单调性、极值、凸凹性、驻点、拐点、渐近线等，结合定义域、值域可以较好地使用描点法直观地较为准确地作出函数图象，这对于

18、深入认识函数本质具有重要作用。在研究图象性质的问题中有一大类是讨论函数f(x)图象与曲线g(x)尤其是与直线y=a的公共点个数问题，其基本解法是通过构造新函数转化为讨论函数的零点或研究方程实解问题；反之，对于一些方程实根讨论问题也可转化为构造相关函数研究其性质（单调性与极值）而获解。【典例分析】题型1 求单调区间例1 解：(1) 当a1时，有，此时f/(x)0，函数f(x)在区间上是单调递减函数。 当0a1时，解不等式f/(x)0得，f(x)在区间上是单调递增函数。(2)当a1时,函数f(x)在区间上是单调递减函数,由f(0)=1,当且仅当x0时f(x)1.当0a1时，f(x)在区间上是单调递

19、减函数,在上是单调递增函数,由f(x)=1得x=0或，且,当且仅当时，f(x)1.综上可得：当a1时，f(x)1的解集为x|x0;当0a1时，f(x)1的解集为x|。题型2 研究极值问题例2 解 (1) 函数f(x)图象关于原点对称，对任意实数x，都有f(-x)=- f(x).-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d，即bx2-2d=0恒成立.b=0,d=0,即f(x)=ax3+cx. f(x)=3ax2+c.x=1时,f(x)取极小值-. f(1)=0且f(1)=- ,即3a+c=0且a+c=-. 解得a=,c=-1.经检验，适合题意。(2)证明：当x-1,1时，图象上

20、不存在这样的两点使结论成立，假设图象上存在两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，使得过这两点的切线互相垂直，则由f(x)=x2-1，知两点处的切线斜率分别为k1=x12-1,k2=x22-1,且(x12-1)(x22-1)= -1. (*) x1、x2-1,1, x12-10，x22-10(x12-1)(x22-1)0，这与(*)相矛盾，故假设不成立.(3)证明：f(x)=x2-1,由f(x)=0,得x=1. 当x(-，-1)或（1，+）时，f(x)0; 当 x(-1，1)时，f(x)0. f(x)在-1,1上是减函数，且fmax(x)=f(-1)= , fmin(x)=f(1)= -.在-

21、1,1上，|f(x)|. 于是x1,x2-1,1时，|f(x1)-f(x2)|f(x1)|+|f(x2)|+=. 故x1,x2-1,1时,|f(x1)-f(x2)|. 题型3 导数与图象特征结合例3解 (1)=+(-1)=0 .(2)，=0 即+(t2-3) (-k+t)=0.整理后得-k+t-k(t2-3) + (t2-3)=0=0，=4，=1，上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=t(t2-3)；又k,t不同时为零，故。于是(3) 讨论方程t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= t(t2-3)与直线y=k的交点个数. 于是f(t)= (t2-1)= t(t+1)(t-

22、1).令f(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f(t)、f(t)的变化情况如下表：t(-,-1)-1(-1,1)1(1,+ )f(t)+0-0+F(t)极大值极小值当t=-1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=. 当t=-1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=-.函数f(t)=t(t2-3)的图象如图1321所示，可观察出：(1)当k或k-时,方程f(t)-k=0有且只有一解；(2)当k=，k=-或时,方程f(t)-k=0有两解；(3) 当-k且时,方程f(t)-k=0有三解. 例4解：（I）法1 因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，设两实根为（），

23、则，且于是，且当，即，时等号成立故的最大值是16 法2 作出可行域G如图所示： 令,寻求其几何意义，可得抛物线过点时纵截距取最小值即 （II）法1：由知在点处的切线的方程是，即，因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，则不是的极值点而，且若，则和都是的极值点所以，即，又由，得，故法2：同法1得因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）当时，当时，；或当时，当时，设，则有结论：在左右两侧同号，即：当时，当时，；或当时，当时，由结合的结构特征（抛物线开口向上）知是的一个极值点，则，所以，又由，得，故【启迪迁移】1解：（1）求函数的导数；曲线在点处的切线方程为：

24、，即（2）如果有一条切线过点，则存在，使于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根记，则当变化时，变化情况如下表：000增极大值减极小值增由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即评注：准确解决本题的关键是：将条件“过点可作曲线的三条切线”等价转化为讨论函数的图象特征（有三个零点的充要条件）。题型4 导数的实际应用例5 错解：因为所以函数的定义域为（0，这时V在定义域内有惟一极值点由问题的实际意义可知，正解：当这时V在定义域内有

25、惟一极值点由问题的实际意义可知，知V在定义域内为增函数，故当题型5 导数的综合应用1. 用于证明不等式或求“恒成立”型不等式参数范围例6 分析：构造函数，研究其单调性后作判断。【启迪迁移】1. 解：(1)函数f(x)的定义域为(-1，+)，f(x)=-1. 令f(x)=0，解得x=0. 当-1x0时，f(x)0; 当x0时， f(x)0.又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值,最大值为0.（2）证法一：g(a)+g(b)-2g()=alna+blnb-(a+b)ln=aln由（1）结论知ln(1+x)-x-1，且x0)由题设0ab，得因此，. 又，.综上，.证法二：. 设，则.

26、当0xa时，因此F(x)在上为增函数.从而，当x=a时，F(x)有极小值F(a). 即.设，则当x0时，因此上为减函数。即，综上，原不等式得证。2解析：（）若 则，列表如下：+0-单增极大值单减单减 （）在两边取对数, 得,由于所以(1)由(1)的结果可知,当时, 为使(1)式对所有成立,当且仅当,即为所求。评注：寻找（2）中不等式与（1）的联系（观察其结构特征），通过取对数转化为求函数f(x)的最大值问题。3. 分析：利用Sn-Sn-1=an(n2)易得an=2n-1，从而Sn=n2则问（2）转化为t恒成立，故只需求出数列的最小项，有以下求法：法1：研究数列bn的单调性。法2：数列作为一类特

27、殊的函数，欲求的最小项可先研究连续函数的单调性，求导得，易得为函数的极小值也是最小值点，又，所以而，故（注：不能直接对求导，为什么？）3. 用于讨论某些超越方程的解例7简析 设的切线为，切点为，则, ,另一方面有,由知代入得 于是有：（1）当时方程有一解，为（2）当时方程无解，（3）当时有两解。 评注：体会用切线定位，解决问题的妙用。【启迪迁移】 1.解答：设f(x)=xsinx，即证f(x)=0只有一个实数根。因为f(x)=1cosx0，其中等号只在孤立点x=2k(kZ)时成立。故f(x)在(，)上是递增的。又由于f(0)=0，故当x0时，f(x)0，当x0时，f (x)0。因此f (x)=

28、0只有一个实数根x=0. 例10【证明】（1）在等式两边对求导得 移项得 （*）（2）（i）在（*）式中，令，整理得所以（ii）由（1）知两边对求导，得在上式中，令得，即 ，亦即又由（i）知，由+得（iii）将等式两边在上对积分， 由微积分基本定理，得， 所以 【实战演练】一、选择题 CDDCB4. 提示：，可知必有（否则），于是二、填空题6 90 。 7 （-，-1）。 8 m0或 m-3。三、解答题9由得，由 ，得；设直线l与的切点为的切点为根据已知条件+整理得；由得；即，代入与联立可解得x1=0或x1=2当x1=0时，x2=2；当x1=2时，x2=0；直线l过（0，0）、（2，0）点，或直线过（2，4）、（0，-4）点因此所求直线方程为y=0或y=4x-4。10 解：（1）由求导数得过上点的切线方程为：，而过上，的切线方程为故 即 在x=-2时有极值，故=0 由式联立解得，（2）-2+00+极大极小，在-3，1上最大值为13。（3）在区间 -2，1上单调递增，又，由（1）知，依题意在-2，1上恒有在-2，1上恒成立。 当时，； 当时，b不存在； 当时，0b6；综合上述讨论可知，所求参数b取值范围是：b0。11解答：（1）当0t1时，y=4t， 当t1时，此时M（1，4）在曲线上， ，这时，所以（2） 解得 服药一次治疗疾病有效的时间