华东师范大学数学分析历年真题

1、第14页华东师范大学2019年攻读硕士学位研究生入学试题一(12分)设f(x)是区间I上的连续函数。证明：若f(x)为一一映射，则f(x)在区间I上严格单调。二(12分)设证明：若f(x),D(x)f(x)在点x=0处都可导，且f(0)=0,则f'(0)=0三(16分)考察函数f(x)=xlnx的凸性，并由此证明不等式：四(16分)设级数aanJn收敛，试就ddn为正项级数和一般项级数两种n1n81情况分别证明'an'nn也收敛n1五(20分)设方程F(x,y)=0满足隐函数定理条件，并由此确定了隐函数y=f(x)。又设F(x,y)具有连续的二阶偏导数。(D求f'

2、;'(x)(2) 若F(x°,y°)=0,y0=f(x°)为f(x)的一个极值，试证明：当Fy(%,y。)与Fxx(%,y。)同号时，f(比)为极大值；当Fy(比,y°)与Fxx(%,yO)异号时，f(小)为极小值。,、一一22(3) 对万程x+xy+y=27，在隐函数形式下(不解出y)求y=f(x)的极值，并用(2)的结论判别极大或极小。六(12分)改变累次积分的积分次序，并求其值。七(12分)计算曲面积分I=1n(x2cosa+y2cosP+z2cos)dss其中s为锥面z=Jx2+y2上介于0WzWh的一块，coas,Cos为,scro侧s

3、t向的方向余弦。华东师范大学2019年攻读硕士学位研究生入学试题一.简答题(20分)(D用定义验证:limnj：3n2222n n 13(2)计算/_dx.、E2二(12分)设f(x)有连续的二阶导函数，且31f(冗)=2,f(x)+f(x)sinxdx=5,求f(0).0三(20分).一1(1)已知工an为发散的一般项级数，试证明Z(1+)an也是发散级数。n1n=1n1(2)证明22sinr在(0,十电)上处处收敛，而不一致收敛。n=13x222.2ccc.四(12分)设D：x+y+zwt,F6=川f(x2+y2+z2)dxdydz,其D中f为连续函数，f(1)=1.证明F(1)=4工22

4、五(12分)设D为由两抛物线y=x-1与丫=-x+1所围成的闭域。22试在D内求一椭圆，J+4=1,使其面积为最大。ab六(12分)设u(x,y)有连续二阶偏导数，F(u,t)有连续一阶偏导数，且'、2'、2满足F(Ux,Uy)=0,(Fs)(Ft)o0,证明：七(12分)设f(x)为(-8，+g)的周期函数，其周期可小于任意小的正数。证明若f(x)在(一空，十笛)上连续，则f(x)三常数。华东师范大学2019年攻读硕士学位研究生入学试题、一一，-x1 .设a>0,0Mxma,xn书=xn(2),n=N,a证明：x。收敛，并求其极限。2 .证明：若函数f在区间I上处处连续

5、，且为一一映射，则f在I上为严格单调.3 .用条件极值的方法证明不等式：4 .设f(x)在(a,g)上可导，且Jim，f'(x)=+电，证明f(x)在(a,00)上不一致连续。5 .设f(x)在【a,b上二阶可导，且f(x)>0,f''(x)<0,证明：2bf(x)-f(t)dt,xIa,b1.b-aa六.设f(x,y)在D=Ia,bkIc,d】上有二阶连续偏导数。''''(1) 通过计算验证：nfxy(x,y)dxdy="fyx(x,y)dxdyDD''''(2) 利用(1)证明：f

6、xy(x,y)=fyx(x,y),(x,y)uD.七.设对每个n,fn(x)在a,b上有界，且当n->«时，fn(xRf(x)w,xa,b证明：(1)f(x)在la,b上有界；八.设S仁R2,Po(x。，y。)为S的内点，Pi(xyj为S的外点，证明：直线段P0P1至少与S的边界dS有一个交点华东师范大学2019年攻读硕士学位研究生入学试题一.(24分)计算题：(Dlim(x.01_ 1ln(1 x) x.3(2)cosxsinx2dx;1 cosx(3)设z=z(x,y)是由方程2 22、F(xyz,x+y+z)=0,所确定的可微Bt函数，试求grad乙1-n二.(14分)证

7、明：(1)41+1卜为递推数列；n1 .1、1(2)<ln(1+)<,n=1,2，.n1nn.(12分)设f在a,b中任意两点之间都具有介值性，而且f在(a,b)内可导，|f(x)怪K(正常数)，x亡(a,b).证明f在点a右连续(同理在点b左连续).1cn四.(14分)设In=Jo(1-x)dx.证明：(1) In2n2n 1In，n=2,3 ;,一2(2) In-7=，n=1,2,3.3乂n五(12分)设S为一旋转曲面，由平面光滑曲线H(x),xwa,b(f(x)之0)饶x轴旋转而成。试用二重积分计算曲面面积的方法，导出S的面积公式为222.、(提示：据空间解几知道s的方程为y

8、+z=f(x)六(24分)级数问题：sinxJ，x=0(k),(1) 设f(x)=<x，求f(0)o,1,x=0n(2) 设Zan收敛，limnan=0证明：nTn>：(3) 设fn(x)为a,b上的连续函数序列，且证明：若f(x)在a,b上无零点。则当n充分大时fn(x)在Ia,b上也无零点，并有华东师范大学2019年攻读硕士学位研究生入学试题一.(30分)简单计算题.xt221)验证：当xt十g时，2x1。edt与ex为等价无穷大量.2)求不定积分产：x)dx。x23)求曲线积分：I=(ycosy)dx+xsinydy,OA其中有向曲线OA如图所示.4)设f为可微函数，u=f(

9、x2+y2+z2)和方程3x2y2z3=6xyz(*)Fu试对以下两种情形，分别求在点Po(1,1,1)处的值：?x(D由方程(*)确定了隐函数：z=z(x,y);(2)由方程(*)确定了隐函数：y=y(x,z).222,xyz,二.(12分)求由椭球面f+上了+f=1与锥面abc222xyz+-2=0z以所围0体的体积。abc三.(12分)证明：若函数f(x)在有限区间(a,b)内可导，但无界，则其导函数f(x)在(a,b)内亦必有界.n四.(12分)证明：若£an绝对收敛，则£an(a1十a2十十an)亦必绝n1n-1对收敛.五(17分)设f(x)在0,1上连续，f(1

10、)=0.证明：1) xn在此1】上不一致收敛；2) f(x)xn在b,1上一致收敛。六(17分)设函数f(x)在闭区间a,b上无界，证明：1)gx#ub,b】，使；l/m.f(xn)=00;2)设wla,b，使得：v000,f(x)在(c6,c+6)ca,b上无界。(若能用两种不同方法证得2),奖励5分)华东师范大学2019年攻读硕士学位研究生入学试题(12分)计算:2nsin(n2)2n2n-1002. lim(x.0sin xo一，23、3.设F为R3上的可微函数，由方程F(xy,yz,zx)=0确定了z为x与y的函数，求zx,zy在点(1,1)的值.二.(15分)设函数f,g均在(a,b

11、)内有连续导数，且对于任何xw(a,b),''有F(x)=f(x)g(x)-g(x)f(x)>0,求证：1. f,g不可能有相同的零点;2. f的相邻点之间必有g的零点；3. 在f(x)的每个极值点x0w(a,b)，存在x0的某邻域，使得g(x)在该邻域中是严格单调的.2a3.一.三.(15分)设初始值a1二R给定，用递推公式an书=nr(n=1,2.)1an得到数列an。1 .求证数列an收敛；2 .求an所有可能的极限值；3 .试将实数轴R分成若干个小区间，使得当且仅当在同一区间取初始值，an都收敛于相同的极限值.2224 .(12分)设a>c>0,求椭球

12、体-M+备=1的表面积.ac5 .(18分)设数列an有界但不收敛，求证：8nx1 .对于任何x>0,乙ane收敛；n=1qQ2 .对于任何6>0,I-anef在,十°°)上一致收敛；n=10a、：-nx3 .乙ane在(0,十8)上不一致收敛.n1六.(12分)设函数f(x)在0,1上连续，求证：七.(16分)设函数f在10,a】上严格递增，且有连续导数，f(0)=0.设g是f的反函数，求证：f(x)x1. 对于任何xw0,a,都有0(x-g(u)du=0f(t)dt2. 当0wxwa,0wywf(a)时，下列不等式成立yxxymJ0g(u)du+10f(t)

13、dt,其中当且仅当y=f(x)时，等式成立.华东师范大学2019年攻读硕士学位研究生入学试题(30分)简答题(只需写出正确答案)1. lim2sin(1-x)(x-1)2(x2)2. y = arc11 x223. lnxdx=x.(x)4. z=ysin|一|,则dz=IyJ225. D=(x,y)|x+yw1,则ffDexydxdy=226. L=(x,y)|x+y=1万向为顺时针万向，则xd-y=ydxL二.(20分)判别题(正确的说明理由，错误的举出反例)1 .若limxn=0则limn/x7=0.n)二二n)：:-'2 .若f(x)在(0,必)上可导，且导函数f(x)有界，则

14、f(x)在(0,七)上一致连续。3 .若f(x)在1a,b1上可积，x'F(x)=1f(t)dt在Xo=(a,b)上可导，则F(x0)=f(x0).aoOoQ4 .若Z(a2n+a2n)收敛，且liman=。则Zan收敛。n1nn=1xSint'sint_sinx三.(17分)求极限lim-，记此极限为f(x)Jx、sinxJf(x)的间断点，并判别间断点类型.(17分)设f '(x)在10, a 上连续，且 f ( 0f x dx 三Ma 2,其中M=max |0 <x <：af (x) |0(17分)若函数f (x, y)在R2上对x连续，且存在Vx,y

15、,y wR, |f(x,y)-f (x, y|.求证：f (x, y)在r2上连续.六.(17分)求下列积分：I =Sf (x, y, z)dS ,( a 0)22其中 S = ( x, y, z) | x y22iz = a ,七(17分)设 0 ： r 二 1, x R(1)求证:1 - r2,2 1 11 - 2 rcsx r2 £ rn cos nx ；n 1(2)求证:2、.一0 ln(1 - 2 r cos x r )dx = 0八(15分)1a 0, b 0. a1 = a, a2 = b. a n 2 - 22a n 11,n an1,2,.求证： an收敛。华东师范

16、大学2019年攻读硕士学位研究生入学试题.(30分)计算题(1)求 limx-.02 x cos x22'(2)右 y = e l + xsin(arctan x),求 y .(3)xxe 一求f(1 -x)2 dxqQ(4)求幕级数£-nxn的和函数f(x)n1(5)L为过O(0，球口A(0,a)的曲线y=asinx(a0求：l(xy3)dx(2y)dy.(6)求曲面积分n.(2x+z)dydz十zdxdy,其中S22z=x+y,(0<z<1),取上侧.二(30分)判别题(正确的证明，错误的举反例)1 .若xn,n=1,2,.,是互不相等的非无穷大数列，则xn至

17、少存在一个聚点Xo(-二，,二).2 .若f(x)在(a,b)上连续有界，则f(x)在(a,b)上一致连续.3 .若f(x),g(x)在0,1上可积，则:°°co4 .若£an收敛，则匚an2收敛.n1nT5 .若在R2上定义的函数f(x,y)存在偏导数fx(x,y),fy(x,y),且fx(x,y),fy(x,y)在(0,0)上连续，则f(x,y)在(0,0)上可微.6 .f(x,y)在R2上连续，2.、22-Dr(Xo,y。)=(x,y)|(x-Xo)+(y-y。)wr若2则f(x,y)=0,(x,y)R.三.(15分)函数f(x)在(-8，+s)上连续且li

18、mf(x)=A,求证：xf(x)在(-8,+8)上有最大值或最小值.x2四(15分)求证不等式：2主1+x,x=0,1.五(15分)设fn(x),n=1,2.在la,b】上连续且fn(x)在【a,b】上一致收敛于f(x)，若vx三a,b,f(x)>0，求证：vN,6>0,使-xa,b,nN,fn(x).六(15分)设an满足：(1)0三ak三100an,nuk1,k2；(2)级数£an收敛。求证：limnan=0.nn二二n=1七(15分)若函数f(x)在1,+m)上一致连续，求证："Al在1,+s)上x有界.八(15分)设P(x,y,z),Q(x,y,z),R

19、(x,y,z)在R3有连续偏导数，而且对以任意点为(x0,y0,z。)中心，以任意正数r为半径的上半球面包有：求证：-(x,y,z),R(x,y,z)=0,Px(x,y,z)Qy(x,y,z)-0华东师范大学2019年攻读硕士学位研究生入学试题一(24分)判断下列命题的真伪(正确就证明，错误举反例)1 .liman=A的一个充要条件是：存在正整数N,对于任意正数名，当n_.>n>N时均有|an-A|名.2 .设f(x)在a,+°0)上连续，f(x)在a,+8)上一致连续，那么(f(x)2在上一致连续.3.设ana -0,lim 丁 = 0那么正项级数6乙a n收敛.n =

20、14.f(x,y)在点(x°,y°)沿任意方向的方向导数都存在，则函数f(x,y而点(x°,y°)连续.二(64分)计算下列各题。1 .求极限lim工x0xsinx2 .求极限1rimUsin2n+2cos2n.y23 .求曲线x=xy在。，1)处的切线万程。te4 .设f(x)在R上连续，g(t)=t2f(x)dx,求g'(t).5 .求“x2+v2/3x+4y|dxdy.x.y二6 .设f(1,1)=1,fx(1,1)=a,fy(1,1)=b,g(x)=f(x,f(x,f(x,x),求g(1).2227.设S是有向曲面J+4+勺=1,外侧。求

21、第二型曲面积分Hzdxdy.abcS222xyz8.求椭球面f+/+f=1,x>0,y>0,z>0的切平面与三个坐标平abc面所围成的几何体的最小体积.三(62分，1-4/(12分)，5(14分)证明以下各题：1 .设f(x)在有限区间(a,b)上一致连续。求证：f(x)在区间(a,b)上有界.n7/n2 .已知a2n_1=,a2n=Ldx。求证：£(-1)an条件收敛.nnxn=13 .设f(x)在区间a,b连续，f(x)A0.求证：函数列Wf(x)在a,b上一致连续于1.4 .设f(x,y)在a,b父c,d上连续，求证：g(y)=maxf(x,y)x二a,b在c,d上连续.5 .设f(x)为在区间a,+8)上的有界连续函数，并且对于任意实数c,方程f(x)=c至多只有有限个解。求证：Jimf(x)存在.华东师范大学2019年攻读硕士学位研究生入学试题一(30)判别题(正确证明，错误举反例或说理由)1 .设数列an满足条件：V&A0,mN,使VnAN,|an-aN|<名，则an收敛。'2 .设f(x)在(a,b)上可导。若f(x)在(a,b)上有界，则f(x)在(a,b)上有界.qQ3 .设正数列an满足条件liman=0则(-I)nan收敛。nr-n二1b4 .设f(x)在a,b上可积，且f(x)dxA0,则存在c,dua,b