结构动力学基础

1、 北 京 结构动力学基础参考教材：张亚辉、林家浩编著，结构动力学基础 大连理工出版社龙驭球等编著，结构力学基本教程，第2版，高教出版 社杨茀康编著，结构动力学，人民交通出版社徐赵东等编著，结构动力学，科学出版社R.克拉夫等编著，结构动力学第二版（修订），高教出版社 结构动力学基础结构动力学基础第一章第一章 绪论绪论第二章第二章 动力学基础及运动方程建立动力学基础及运动方程建立第三章第三章 单自由度体系单自由度体系第四章第四章 多自由度体系多自由度体系第五章第五章 无限自由度体系无限自由度体系第六章第六章 自振频率和振型的实用计算自振频率和振型的实用计算第七章第七章 结构抗震计算及专题篇结构抗震

2、计算及专题篇第一章第一章 结构动力学概述结构动力学概述 结构动力学是结构力学的一个分支，着结构动力学是结构力学的一个分支，着重研究结构对于动荷载的响应（如位移、应重研究结构对于动荷载的响应（如位移、应力等的时间历程），以便确定结构的承载能力等的时间历程），以便确定结构的承载能力和动力学特性，或为改善结构的性能提供力和动力学特性，或为改善结构的性能提供依据。依据。动荷载的特性动荷载的特性结构的动力特性结构的动力特性结构响应分析结构响应分析输入输入input输出输出Output结构体系结构体系静力响应静力响应静荷载静荷载位移位移内力内力应力应力刚度、约束刚度、约束杆件尺寸杆件尺寸截面特性截面特性大

3、小大小方向方向作用点作用点结构体系结构体系动力响应动力响应输入输入input输出输出Output动荷载动荷载动位移动位移加速度加速度速度速度动应力动应力动力系数动力系数随时间变化随时间变化质量、刚度质量、刚度阻尼、约束阻尼、约束频率、振型频率、振型大小大小方向方向作用点作用点时间变化时间变化数值数值时间函数时间函数结构动力体系结构动力体系1-2 1-2 动荷载的定义和分类动荷载的定义和分类荷载：荷载：荷载三要素：荷载三要素：荷载分类：荷载分类：作用在结构上的主动力作用在结构上的主动力大小、方向和作用点大小、方向和作用点作用时间：作用时间：作用位置：作用位置：对结构产生的动力效应：对结构产生的动

4、力效应：恒载恒载 活载活载固定荷载固定荷载 移动荷载移动荷载静荷载静荷载 动荷载动荷载 大小、方向和作用点不随时间变大小、方向和作用点不随时间变化或变化化或变化很缓慢很缓慢的荷载。的荷载。静荷载：静荷载：动荷载：动荷载： 大小、方向大小、方向或或作用点随时间变化作用点随时间变化很快很快的荷载。的荷载。是否会使结构产生是否会使结构产生显著显著的加速度的加速度快慢快慢标准：标准：质量运动加速度所引起的惯性力质量运动加速度所引起的惯性力与荷载相比是否可以忽略与荷载相比是否可以忽略显著显著标准：标准：动荷载的定义动荷载的定义荷载在大小、方向或作用点方面随时荷载在大小、方向或作用点方面随时间变化，使得质

5、量运动加速度所引起间变化，使得质量运动加速度所引起的惯性力与荷载相比大到不可忽略时，的惯性力与荷载相比大到不可忽略时，则把这种荷载称为动荷载。则把这种荷载称为动荷载。问题：你知道有哪些动荷载？问题：你知道有哪些动荷载？动荷载的分类：动荷载的分类：概念：概念：动荷载是时间的函数！动荷载是时间的函数！分类：分类：动荷载动荷载确定性荷载确定性荷载非确定性荷载非确定性荷载周周 期期 性性 荷荷 载载非周期性荷载非周期性荷载 FPt突加荷载突加荷载 FPt冲击荷载冲击荷载确定性荷载确定性荷载：例如：例如： 简谐荷载简谐荷载 FPt 荷载的变化是时间的确定性函数。荷载的变化是时间的确定性函数。非确定性荷载

6、非确定性荷载：例如：例如：风荷载风荷载地震作用地震作用0501001502002503000510152025t(sec)Wind speed (m/s)平均风平均风脉动风脉动风-2000200400t(sec)01020304050515253545Acceleration (cm/s )2荷载随时间的变化是不确定的或不确知的，荷载随时间的变化是不确定的或不确知的，又称为随机荷载。又称为随机荷载。结构在确定性荷载作用下的响应分析通结构在确定性荷载作用下的响应分析通常称为常称为结构振动分析。结构振动分析。结构在随机荷载作用下的响应分析，结构在随机荷载作用下的响应分析，被称为结构的被称为结构的随

7、机振动分析随机振动分析。本课程主要学习本课程主要学习确定性荷载作用下确定性荷载作用下的的结结构振动分析构振动分析。与结构静力学相比，动力学的复杂性表现在：与结构静力学相比，动力学的复杂性表现在：1-3 动力问题的基本特性动力问题的基本特性P P (t) 动力问题具有随时间而变化的性质；动力问题具有随时间而变化的性质；数学解答不是单一的数值，而是时间的函数；数学解答不是单一的数值，而是时间的函数；惯性力是结构内部弹性力所平衡的全部荷载的一个重要部惯性力是结构内部弹性力所平衡的全部荷载的一个重要部分！分！引入惯性力后涉及到二阶微分方程的求解；引入惯性力后涉及到二阶微分方程的求解；需考虑结构本身的动

8、力特性：需考虑结构本身的动力特性：刚度分布、质量分布、阻尼刚度分布、质量分布、阻尼特性分布的影响特性分布的影响；t1-4 1-4 离散化方法离散化方法动力自由度：动力自由度：结构系统的动力计算和静力计算一样，也需要选择计算简图。因为要结构系统的动力计算和静力计算一样，也需要选择计算简图。因为要考虑质量的惯性力，所以必须明确结构的质量分布情况，并分析结构考虑质量的惯性力，所以必须明确结构的质量分布情况，并分析结构可能产生的位移。可能产生的位移。动力自由度：在结构系统运动的任一时刻，确定其全部质量位置所需的独立几何参变量的个数，称之为系统的动力自由度（dynamic freedom）实际结构的质量

9、都是连续分布的，因此，他们都是无限自由度系统。实际结构的质量都是连续分布的，因此，他们都是无限自由度系统。简化为有限自由度系统计算。简化为有限自由度系统计算。1-4 1-4 离散化方法离散化方法1. 集中质量法集中质量法把结构的分布质量按一定的规则集中到结构的某个或某些把结构的分布质量按一定的规则集中到结构的某个或某些位置上，成为一系列离散的质点或质量块位置上，成为一系列离散的质点或质量块 。 适用于大部分质量适用于大部分质量集中在若干离散点集中在若干离散点上的结构。上的结构。 例如：房屋结构一例如：房屋结构一般简化为层间剪切般简化为层间剪切模型。模型。 1m2m3m 例如：例如：m11xm2

10、2xmkkxmNNxm1m2mkmNm适用于质量分布比较均适用于质量分布比较均匀，形状规则且边界条匀，形状规则且边界条件易于处理的结构。件易于处理的结构。例如：右图简支梁的变例如：右图简支梁的变形可以用三角函数的线形可以用三角函数的线性组合来表示。性组合来表示。2. 广义坐标法广义坐标法假定具有分布质量的结构在振动时的位移曲线可用一系列假定具有分布质量的结构在振动时的位移曲线可用一系列规定的位移曲线的和来表示：规定的位移曲线的和来表示：lxnbxnnsin)( 1 lxbsin1lxb2sin2lxb3sin3)(x nkkkxtAtxy1)()(),(则组合系数则组合系数Ak(t)称为体系的

11、称为体系的广义坐标广义坐标。定义定义假定具有分布质量的结构在振动时的位移曲线为假定具有分布质量的结构在振动时的位移曲线为 y(x,t)，可用，可用一系列位移函数一系列位移函数 的线性组合来表示：的线性组合来表示：)(xk lxnbxnnsin)( 1 广义坐标广义坐标位移函数位移函数广义坐标广义坐标表示相应位移函数的幅值，是随时间变化的函数。表示相应位移函数的幅值，是随时间变化的函数。广义坐标广义坐标确定后，可由给定的位移函数确定结构振动的位移曲线。确定后，可由给定的位移函数确定结构振动的位移曲线。以以广义坐标广义坐标作为自由度，将无限自由度体系转化为有限个自由度。作为自由度，将无限自由度体系

12、转化为有限个自由度。所采用的所采用的广义坐标数广义坐标数代表了所考虑的代表了所考虑的自由度数自由度数。3. 有限单元法有限单元法 先把结构划分成适当（任意）数量的单元；先把结构划分成适当（任意）数量的单元； 对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的节点位移作对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的节点位移作为广义坐标；为广义坐标； 对每个广义坐标取相应的位移函数对每个广义坐标取相应的位移函数 （插值函数）；（插值函数）； 由此提供了一种有效的、标准由此提供了一种有效的、标准 化的、用一系列离散坐标化的、用一系列离散坐标表示无限自由度的结构体系。表示无限自由度的结构体系。要点：要点： 将有限元法的思

13、想用于解决结构的动力计算问题。将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题。 对分布质量的实际结构，体系的自由度数为单元节点可发生的对分布质量的实际结构，体系的自由度数为单元节点可发生的独立位移未知量的总个数。独立位移未知量的总个数。 综合了集中质量法和广义坐标法的某些特点，是最灵活有效的综合了集中质量法和广义坐标法的某些特点，是最灵活有效的离散化方法，它提供了既方便又可靠的理想化模型，并特别适离散化方法，它提供了既方便又可靠的理想化模型，并特别适合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的方法。合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的方法。 已有不少专用的或通用的程序（如已有不少专用的或通用的

14、程序（如SAP，ANSYS等）供结构分等）供结构分析之用。包括静力、动力析之用。包括静力、动力 和稳定分析。和稳定分析。大型桥梁结构大型桥梁结构的有限元模型的有限元模型第二章第二章 运动方程的建立运动方程的建立在结构动力分析中，描述体系质量运动规律的数学在结构动力分析中，描述体系质量运动规律的数学方程，称为体系的运动微分方程，简称方程，称为体系的运动微分方程，简称运动方程运动方程。定义定义 运动方程的解揭示了体系在各自由度方向的位移运动方程的解揭示了体系在各自由度方向的位移随时间变化的规律。随时间变化的规律。 建立运动方程是求解结构振动问题的重要基础。建立运动方程是求解结构振动问题的重要基础。

15、 常用方法：直接平衡法、虚功法、变分法。常用方法：直接平衡法、虚功法、变分法。建立体系运动方程的方法建立体系运动方程的方法 直接平衡法直接平衡法，又称，又称动静法动静法，将动力学问题转化为任一时刻，将动力学问题转化为任一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力惯性力作为附加的作为附加的虚拟力，并考虑虚拟力，并考虑阻尼力阻尼力、弹性力弹性力和作用在结构上的和作用在结构上的外荷载外荷载，使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的思路，直接写出运动方程。思路，直接写出运动方程。 虚功法虚功法: 根据虚功原

16、理，即根据虚功原理，即作用在体系上的全部力在虚位移作用在体系上的全部力在虚位移上所做的虚功总和为零上所做的虚功总和为零的条件，导出以广义坐标表示的运的条件，导出以广义坐标表示的运动方程。动方程。 变分法变分法: 通过对表示能量关系的泛函的变分建立方程。根据通过对表示能量关系的泛函的变分建立方程。根据理论力学中的哈密顿原理或其等价形式的拉格朗日方程导理论力学中的哈密顿原理或其等价形式的拉格朗日方程导出以广义坐标表示的运动方程。出以广义坐标表示的运动方程。kcm( )yt( )F t单自由度单自由度体系模型体系模型 质量块质量块m，用来表示结构的质量和惯性特性，用来表示结构的质量和惯性特性 自由度

17、只有一个：水平位移自由度只有一个：水平位移y(t) 无重弹簧，刚度为无重弹簧，刚度为 k，提供结构的弹性恢复力，提供结构的弹性恢复力 无重阻尼器，阻尼系数无重阻尼器，阻尼系数c，表示结构的能量耗散，提供结，表示结构的能量耗散，提供结构的阻尼力构的阻尼力 随时间变化的荷载随时间变化的荷载F(t)运动方程的建立运动方程的建立单自由度体系运动方程的建立（直接平衡法）单自由度体系运动方程的建立（直接平衡法）kcm( )yt( )F t( )yt建立计算模型建立计算模型)(tFFFFSDI 取质点为隔离取质点为隔离体画平衡力系体画平衡力系建立平衡方程建立平衡方程IFDFSF)(tF直接平衡法直接平衡法，

18、又称，又称动静法动静法，将动力学问题转化为任，将动力学问题转化为任一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作力作为附加的虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载，使体系处于动力平衡条件，用在结构上的外荷载，使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的思路，直接写出运动按照静力学中建立平衡方程的思路，直接写出运动方程。方程。直接平衡法直接平衡法根据所用平衡方程的不同，直接平衡法又分为根据所用平衡方程的不同，直接平衡法又分为刚度刚度法法和和柔度法柔度法。)(tFFFFSDI 平衡方程：平衡方程

19、：ymFI ycFD kyFS 根据根据dAlembert原理：原理：等于弹簧刚度与位移的乘积：等于弹簧刚度与位移的乘积：阻尼力等于阻尼系数与速度的乘积：阻尼力等于阻尼系数与速度的乘积：由此得到体系的由此得到体系的运动方程运动方程：)(tFkyy cym （2-3）惯性力：惯性力：弹性力：弹性力：阻尼力：阻尼力：( )yt( )F tSFDFIF刚度法刚度法: 取每一运动质量为隔离体，通过分析所受取每一运动质量为隔离体，通过分析所受的全部外力，建立质量各自由度的瞬时力平衡方的全部外力，建立质量各自由度的瞬时力平衡方程，得到体系的程，得到体系的运动方程。运动方程。kcm( )yt( )F t(

20、)ytIFDFSF)(tF)(tFFFFSDI 平衡方程：平衡方程：试用刚度法建立图示刚架的运动方程试用刚度法建立图示刚架的运动方程m 1EIEIEI2l1lPF(t) 解解 1） 确定自由度数确定自由度数: 横梁刚性，柱子无轴向变形。横梁刚性，柱子无轴向变形。)(ty)(tFPIFDF2SF1SF2） 确定自由度的位移参数。确定自由度的位移参数。3） 质量受力分析：取刚梁为隔离体，确定所受的所有外力！质量受力分析：取刚梁为隔离体，确定所受的所有外力！4） 列动平衡方程：列动平衡方程：1个自由度。个自由度。021 SSDIPFFFFtF)()(tyymFI ycFD ylEIFS32212 其

21、中各力的大小：其中各力的大小：位移法：柱子一端产生单位平移时的杆端剪力位移法：柱子一端产生单位平移时的杆端剪力等效粘滞阻尼力：等效粘滞阻尼力：212li柱端发生平移柱端发生平移 y 时产生的梁时产生的梁-柱间剪力：柱间剪力：ylEIFS31112 EIl1由此得到体系的由此得到体系的运动方程运动方程：)(tFylEIlEIycymP 32311212 惯性力：惯性力：021 SSDIPFFFFtF)(弹性力弹性力Fs=Fs1+Fs2：由此得到体系的由此得到体系的运动方程运动方程：)(tFkyy cymP 比较：比较：kcm( )yt( )F t)(tFkyy cym （2-3）m 1EIEIE

22、I2l1lPF(t)(ty)(tFylEIlEIycymP 32311212 ；k 为为（等效）刚度系数（等效）刚度系数。3231211212lEIlEIFFkSS 令：令：运动方程与运动方程与(2-3)的形式是一样的！的形式是一样的！柔度法柔度法以结构整体为研究对象，通过分析所受的全部外以结构整体为研究对象，通过分析所受的全部外力，利用结构静力分析中计算位移的方法，根据力，利用结构静力分析中计算位移的方法，根据位移协调条件建立体系的位移协调条件建立体系的运动运动方程。方程。 例例 试用柔度法建立图示简支梁的运动方程试用柔度法建立图示简支梁的运动方程q t ( )mEIl 解解 1） 确定自由

23、度数确定自由度数: 集中质量，仅竖向位移：集中质量，仅竖向位移：)(ty2） 确定自由度的位移参数：质量确定自由度的位移参数：质量 m 的位移：的位移：3） 体系受力分析：取梁整体为隔离体，确定所受的所有外力！体系受力分析：取梁整体为隔离体，确定所受的所有外力！1个自由度。个自由度。q t ( )DFIF4） 列位移方程：列位移方程：)(DIPFFy 改写成：改写成： PDIyFF 1)(ty)(tqEIlP38454 p为动荷载为动荷载 q(t) 引起的质量沿引起的质量沿y方向的位移：方向的位移：其中：其中： 为自由度方向加单位力所引起的位移，即为自由度方向加单位力所引起的位移，即柔度柔度：

24、EIl483 惯性力：惯性力：ymFI 阻尼力：阻尼力：ycFD PDIyFF 1由此得到体系的由此得到体系的运动方程运动方程：)(tqlyycym851 q t ( )位移方程：位移方程：)(ty比较：比较：kcm( )yt( )F tq t ( )mEIl)(tFyycymE 1 含义：含义：等效动荷载等效动荷载直接作用在质量自由度上产生的动位移与直接作用在质量自由度上产生的动位移与 实际动荷载产生的位移相等！实际动荷载产生的位移相等！)(tqlyycym851 )(tFkyy cym 令：令：)()(tqltFE85 FE(t) 定义为体系的定义为体系的等效动荷载等效动荷载或或等效干扰力

25、等效干扰力。其通用表达式。其通用表达式 PEtF )(（2-3）已经知道柔度已经知道柔度 和刚度和刚度k 之间的关系为之间的关系为： 1 k结论结论：任何一个单自由度体系的运动方程都可以抽象成为一：任何一个单自由度体系的运动方程都可以抽象成为一 质量、弹簧、阻尼器体系的运动方程，一般形式为：质量、弹簧、阻尼器体系的运动方程，一般形式为：)(tFkyy cymP 比较：比较：)(tFkyycymP 刚架：刚架：)(tFkyycym （2-3）基本质量弹簧体系：基本质量弹簧体系：)(tFkyycymE 表达式成为表达式成为：简支梁：简支梁：2-5 广义单自由度体系：刚体集合广义单自由度体系：刚体集

26、合刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性元件中）元件中）分布弹性（弹性变形在整个结构或某些分布弹性（弹性变形在整个结构或某些元件上连续形成）元件上连续形成）只要可假定只有单一形式的位移，使得只要可假定只有单一形式的位移，使得结构按照单自由度体系运动，就可以按结构按照单自由度体系运动，就可以按照单自由度体系进行分析。照单自由度体系进行分析。1） 确定自由度数确定自由度数: 1个自由度。个自由度。2） 体系受力分析。体系受力分析。aaaaaa2fD1p1 = 8 p( )taABCDDEEFFGGBMI1a83fD2fS1fS2fI1fI2( )tZE2-1E2-1x

27、aaaaaa2c2c1k1k2m2mp x,t( ) = p( )txa铰铰无重刚杆无重刚杆绞ABC)(43) (111tZkEEkfSaaaaaa2fD1p1 = 8 p( )taABCDDEEFFGGBMI1a83fD2fS1fS2fI1fI2( )tZ)(31) (212tZkGGkfS)(41) (111tZcDDdtdcfD)(22tZcfD)(2)(214)(2111tZmatZamtZmfI )(34)(12)4(4)(41M221tZmatZaamtZaIoI )(3222tZmfI )(81tappW令体系产生虚位移：令体系产生虚位移：所有力在虚位移上产生的总虚功：所有力在虚

28、位移上产生的总虚功：ZtaptZkktZcctZmmamaW)(316)(91169)(161)(943121212 aaaaaa2fD1p1 = 8 p( )taABCDDEEFFGGBMI1a83fD2fS1fS2fI1fI2( )tZZZfD411ZfI211ZaMI411ZfS431ZfD2ZfI322ZfS312ZP321)(316)(91169)(161)(943421212taptZkktZcctZmam )()()()(*tptZktZCtZm 2*9434mamm广义质量：广义质量：21*161ccc广义阻尼：广义阻尼：21*91169kkk广义刚度：广义刚度：)(316)(

29、*taptp广义荷载：广义荷载：简化形式：简化形式：0W令：令： ，有：，有：xaaaaaa2c2c1k1k2m2mp x,t( ) = p( )txa铰铰无重刚杆无重刚杆绞ABCaaaaaa2fD1p1 = 8 p( )taABCDDEEFFGGBMI1a83fD2fS1fS2fI1fI2( )tZNNaa4AC1Z3ZeeBN21eee虚位移：虚位移：ZaZ3ZaZ4ZaZ127轴向力所做虚功：轴向力所做虚功：eNWNZaNZ127ZaNZtaptZkktZcctZmmamaW127)(316)(91169)(161)(943121212 ZaNZtaptZkktZcctZmmamaW12

30、7)(316)(91169)(161)(943121212 aNkkk1279116921*考虑轴向力的广义刚度：考虑轴向力的广义刚度：讨论：讨论： 轴向压力使广义刚度减小，轴向拉力使广义刚度增大，轴向压力使广义刚度减小，轴向拉力使广义刚度增大， 轴向力越大，广义刚度越小；轴向力越大，广义刚度越小； 广义刚度为零时：广义刚度为零时：01279116921aNkkcrakkNcr212142827xaaaaaa2c2c1k1k2m2mp x,t( ) = p( )txa铰铰无无重重刚刚杆杆绞ABCN 刚体集合的各部件间有着复杂的关系，但因为约束条刚体集合的各部件间有着复杂的关系，但因为约束条件使

31、得两个刚性杆只可能有一种位移形式：所以它是件使得两个刚性杆只可能有一种位移形式：所以它是一个真实的单自由度体系。一个真实的单自由度体系。 如果杆件可以发生弯曲变形，这时体系将具有无穷多如果杆件可以发生弯曲变形，这时体系将具有无穷多个自由度。个自由度。 如果由假定只能产生单一的变形形式如果由假定只能产生单一的变形形式包括有一个包括有一个合适的产生弯曲变形的部件，那么，这样的体系仍可合适的产生弯曲变形的部件，那么，这样的体系仍可作为一个单自由度体系来分析。作为一个单自由度体系来分析。分布弹性（弹性变形在整个结构或某分布弹性（弹性变形在整个结构或某些元件上连续形成）；些元件上连续形成）；只要：可假定

32、只有单一形式的位移，只要：可假定只有单一形式的位移，使得结构按照单自由度体系运动。使得结构按照单自由度体系运动。2-6 广义单自由度体系：分布柔性广义单自由度体系：分布柔性xv t( )gL参参考考轴轴v x,t( )tv x,t( )Z t( )e t( )m x( )EI x( )N)()(),(tZxtxv假定唯一变形曲线后，成为单自由度假定唯一变形曲线后，成为单自由度体系：体系：广义坐标广义坐标Z(t)，变形曲线，变形曲线 (x)：)(),()(tZtxvx 虚功原理：杆件产生变形时，外力所做虚功原理：杆件产生变形时，外力所做的虚功等于内力所做的虚功。的虚功等于内力所做的虚功。IEWW

33、xv t( )gL参参考考轴轴v x,t( )tv x,t( )Z t( )e t( )m x( )EI x( )N地面运动引起的等效荷载：地面运动引起的等效荷载：)()(),(efftvxmtxPg )()(),(efftvxmtxPg 外力：轴力外力：轴力N，惯性力，地面运动引起的等效荷载。，惯性力，地面运动引起的等效荷载。惯性力：惯性力：),()(),(txvxmtxfI v t( )g参参考考轴轴v x,t( )tv x,t( )Z t( )e t( )m x( )EI x( )N),()(),(txvxmtxfI 外力所做的虚功：外力所做的虚功：惯性力：惯性力：LLIEeNdxxvt

34、xfdxxvxfW0eff0)(),()()()()(),(efftvxmtxPg 地面运动引起的等效荷载：地面运动引起的等效荷载：轴力：轴力：NeZ)()(),(tZxtxv关系式：关系式：)()( ),( tZxtxv)()(),(tZxtxv)()(),(tZxtxv )()(),(tZxtxv)()(),(tZxtxv)()( ),( tZxtxv)()(),(tZxtxvLLIEeNdxxvtxfdxxvxfW0eff0)(),()()(Ldxtxvte02),( 21)(Ldxxvtxve0)( ),( ),()(),(txvxmtxfI )()(),(efftvxmtxPg Ld

35、xxxmtZ02)()()( Lgdxxxmtv0)()()( ZdxxtNZL02)( )(虚功：虚功：内力所做的虚功：内力所做的虚功：LIdxxvtxMW0)(),(),(),()(),(1xvatxvxEItxM)()(),(tZxtxv关系式：关系式：)()( ),( tZxtxv)()(),(tZxtxv)()(),(tZxtxv )()(),(tZxtxv)()(),(tZxtxv)()( ),( tZxtxv)()(),(tZxtxvZdxxxEItZadxxxEItZLL02012)()()()()()(变形变形变形速度变形速度ZdxxtNZdxxxmtvdxxxmtZWLLg

36、LE02002)( )()()()()()()( ZdxxxEItZadxxxEItZWLLI02012)()()()()()(LgLLLLdxxxmtvdxxNtZdxxxEItZdxxxEIatZdxxxmtZ0002202102)()()()( )()()()()()()()()()( )()()()()(*tPtZktZktZctZmeffG )()()()()(*tPtZktZktZctZmeffG *Gkkk)()()()(*tPtZktZctZmeff LLdxxNdxxxEI0022)( )()(*GkkkLLdxxdxxxEIN0202cr)( )()(令：令：令：令：0*k

37、0)( )()(0022LLdxxNdxxxEIE2-3E2-3假定变形曲线：假定变形曲线：Lxx2cos1)(Ldxxxmm02*)()(刚度和质量均匀分布。刚度和质量均匀分布。LdxxxEIk02*)()(Lgdxxxmtvtp0*eff)()()()( )(364. 0)(32)(228. 034tvLmtZLEItZLmg 运动方程：运动方程：LdxLxm022cos1Lm228. 0LdxLxLEI02222cos43432 LEILgdxLxtvm02cos1)( )(364. 0tvLmg xv t( )gL参参考考轴轴v x,t( )tv x,t( )Z t( )e t( )m

38、 x( )EI x( )N LGdxxNk02)( * 考虑轴向力时结构的几何刚度：考虑轴向力时结构的几何刚度：LNLEIkkkG832234*综合广义刚度：综合广义刚度：临界屈曲荷载：临界屈曲荷载：242crLEIN LdxLxLN0222 sinLN82 2-7 广义体系特性的表达式广义体系特性的表达式)()()()(*tPtZktZctZmeff 任意单自由度体系的运动方程：任意单自由度体系的运动方程：xLximi( )xmxiv x,t( ) = ( )tZ( )x( )tZxLximi( )xmxiv x,t( ) = ( )tZ( )x( )tZ广义质量的标准形式：广义质量的标准形

39、式： 20202)()()(*iiiiLImdxxxmm xLv x,t( ) = ( )tZ( )xxi( )cci( )tZx广义阻尼的标准形式：广义阻尼的标准形式： 202102iiLLcdxxxEIadxxxcc )()()()(*xLv x,t( ) = ( )tZ( )xxi( )kki( )tZx广义刚度的标准形式：广义刚度的标准形式： 20202iiLLkdxxxEIdxxxkk )()()()(*xLv x,t( ) = ( )tZ( )x( )q( )tZxN广义刚度的标准形式（考虑几何刚度）：广义刚度的标准形式（考虑几何刚度）：dxxxNkdxxxEIdxxxkkLiiL

40、L2020202)( )()()()()(* xLv x,t( ) = ( )tZ( )x( )tZp x,t( ) xip t( ) i iiLpdxxtxptp 0)(),()(*广义荷载的标准形式：广义荷载的标准形式：第三章第三章 单自由度体系单自由度体系1.1.自由振动反应自由振动反应tytytytytytytytytytytytytytytytytytytytytyty表征结构动力响应特性的一些固有量称为结构的表征结构动力响应特性的一些固有量称为结构的动力特性动力特性，又称又称自振特性自振特性。定义定义结构的结构的振动反应振动反应 结构的动力特性结构的动力特性与结构的与结构的质量质量

41、、刚度刚度、阻尼阻尼及其分布有关。及其分布有关。ty定义定义 结构受外部干扰后发生振动，而在干扰消失后继续振动，结构受外部干扰后发生振动，而在干扰消失后继续振动，这种振动称为结构的这种振动称为结构的自由振动自由振动。 如果结构在振动过程中不断地受到外部干扰力作用，这种如果结构在振动过程中不断地受到外部干扰力作用，这种振动称为结构的振动称为结构的强迫振动强迫振动，又称，又称受迫振动受迫振动 。ty结构的结构的自由振动与受迫振动自由振动与受迫振动固有频率固有频率 质点在运动过程中完成一个完整的循环所需要的时间称为质点在运动过程中完成一个完整的循环所需要的时间称为周周期期，单位时间内完成的循环次数称

42、为，单位时间内完成的循环次数称为频率频率。 结构在结构在自由振动自由振动时的频率称为结构的时的频率称为结构的自振频率自振频率或或固有频率固有频率。 对大部分工程结构，结构的对大部分工程结构，结构的自振频率自振频率的个数与结构的的个数与结构的动力自动力自由度由度数数相等相等。 结构的结构的自振频率自振频率与结构的与结构的质量质量和和刚度刚度有关。有关。tyT阻尼阻尼 结构在振动过程中的能量耗散作用称为结构在振动过程中的能量耗散作用称为阻尼阻尼。 结构的结构的自由振动自由振动会因为阻尼作用而随时间衰减并最终停止会因为阻尼作用而随时间衰减并最终停止。 由于阻尼而使振动衰减的结构系统称为由于阻尼而使振

43、动衰减的结构系统称为有阻尼系统有阻尼系统。 阻尼原因复杂：内摩擦、连接摩擦、周围介质阻力等。阻尼原因复杂：内摩擦、连接摩擦、周围介质阻力等。ycFD 等效粘滞阻尼：以阻尼器表示结构阻尼作用：等效粘滞阻尼：以阻尼器表示结构阻尼作用：c 为阻尼系数，为阻尼系数， 为质量的速度。为质量的速度。y tyTtyT3-1 运动方程的解运动方程的解 最简单的由刚体、弹簧和阻尼器组成的单自由度体系最简单的由刚体、弹簧和阻尼器组成的单自由度体系. 已经得到单自由度体系的运动方程：已经得到单自由度体系的运动方程：kcm( )v t( )p t)(tpkvv cvm （3-1） 这个运动方程也适用于可转换为单自由度

44、体系的任何复这个运动方程也适用于可转换为单自由度体系的任何复杂结构体系的广义坐标反应。杂结构体系的广义坐标反应。 0kvvcvm 运动方程：运动方程： 等效动荷载为零的情况下的振动称为等效动荷载为零的情况下的振动称为自由振动自由振动。定义定义 自由振动产生的原因：自由振动产生的原因：初始时刻的干扰！初始时刻的干扰！ 初始位移；初始速度；初始位移初始位移；初始速度；初始位移+ +初始速度初始速度 结构受外部干扰后发生振动，而在干扰消失后继续振动，结构受外部干扰后发生振动，而在干扰消失后继续振动，这种振动称为结构的这种振动称为结构的自由振动自由振动。去掉外荷载去掉外荷载p(t)=0!kcm( )v

45、 t( )p t 上式称为（二阶线性常系数）上式称为（二阶线性常系数）齐次方程；齐次方程； 齐次方程的求解：齐次方程的求解： 可设齐次方程解的形式为：可设齐次方程解的形式为： stGetv )(（3-3）02 stGekcsms)( 其特征方程为：其特征方程为： 022 smcs或：或： 代入（代入（3-23-2）可得：）可得： 02 )(kcsms（3-4）stGsetv )( steGstv2 )( （3-23-2）称为（二阶线性常系数）称为（二阶线性常系数）齐次方程；齐次方程； 式中式中 2=k/m， 是体系振动的是体系振动的圆频率圆频率。 根据阻尼系数根据阻尼系数c c 值的不同，解出

46、的特征参数值的不同，解出的特征参数s s 值将具有不值将具有不同的特性。同的特性。 （3-2）0kvvcvm 3-2 无阻尼自由振动无阻尼自由振动 If c=0： 特征方程：特征方程： 022 smcs 自由振动方程：自由振动方程： is （3-7）titieGeGtv 21)( 引入引入Euler方程：方程： 代入代入(3-2)得：得： titeti sincos （3-9） A和和B是由初始条件决定的常数。是由初始条件决定的常数。得无阻尼得无阻尼自由振动的自由振动的位移反应：位移反应： tBtAtv cossin)( （3-10）（3-2）0 kvvcvm 设设t=0时：时：00vv )(

47、00vv )(tBtAtv cossin)( 代入：代入：tBtAtv sincos)( 0v0B0v A0vB 代入：代入： 0vA 单自由度无阻尼体系运动方程的解：单自由度无阻尼体系运动方程的解：tvtvtv cossin)(00 （3-11） 或写成：或写成：)cos()( ttv（3-14） 位移反应：位移反应： tBtAtv cossin)( （3-10）0sinsincoscos)cos( 三角关系：三角关系： 对比对比(3-11)，显然有：，显然有：0v 0v cos 0v sin 0v (3-13)成为：成为：tttv cossinsincos)( 即：即：)cos()( tt

48、v（3-14）2020vv 00vv arctan tvtvtv cossin)(00 （3-11）ty0 . .y0 RI y0 . .y0ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0 ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0 ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0 ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0 y0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0ty0. .y0 .

49、 .y0 RI ty0 . .y0ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0t)cos()( ttv（3-14） 物理意义：物理意义： tvtvtv cossin)(00 （3-11）)cos()( ttv（3-14） 物理意义：物理意义： 2 - -tcos( ) t-cos ty0sin ty0 . . y0. .y0 . .y0 RI t t ty0 . .y0 2 - -T= 2 T= 2 T= 2 tvtvtv cossin)(00 （3-11）定义 对于无阻尼体系

50、，运动完全是反复进行的。运动的最大对于无阻尼体系，运动完全是反复进行的。运动的最大位移称为振幅。位移称为振幅。运动完成一个完整循环所需时间称为运动完成一个完整循环所需时间称为自振周期自振周期，由于对应每由于对应每个角增量个角增量 2 便发生一个完整循环，自振周期就是：便发生一个完整循环，自振周期就是： ）秒秒；（弧弧度度rad/s / mk 单位时间内的循环次数称为单位时间内的循环次数称为自振频率自振频率： ）（秒秒； sec kmT 22 ）秒秒；（次次Hz/ 21 Tf T)cos()( ttv1sect 运动的角速度称为自振运动的角速度称为自振圆频率圆频率：3-3 阻尼自由振动阻尼自由振

51、动 对于有阻尼的单自由度体系对于有阻尼的单自由度体系 特征方程：特征方程： 022 smcs 自由振动方程：自由振动方程： 则：则： 0 c2222 mcmcs随着根号中值的符号的不同，这个表达式可以描述随着根号中值的符号的不同，这个表达式可以描述临界临界阻尼、低阻尼阻尼、低阻尼和和超阻尼超阻尼三种体系的运动型式。三种体系的运动型式。本课程只讲本课程只讲临界阻尼临界阻尼和和低阻尼低阻尼两种情况。两种情况。（3-2）0kvvcvm 1.1.临界阻尼临界阻尼 当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记，记作作cc。显然，应有。显然，应有cc/2m= ，即：

52、，即： 特征方程：特征方程： 2222 mcmcs mcc2 这时，对应的这时，对应的s 值为值为 ： 自由振动方程：自由振动方程： 临界阻尼自由振动方程的解为：临界阻尼自由振动方程的解为： mcssc221/（3-19）tetGGtv )()(21（3-20）（3-2）0kvvcvm 由初始条件：由初始条件： 0000vvvv)()( 得到临界阻尼体系反应的最终形式：得到临界阻尼体系反应的最终形式： 临界阻尼位移解：临界阻尼位移解： tetvtvtv )()(001 临界阻尼体系反应临界阻尼体系反应不是简谐振动，体系的位移反应从开始时的不是简谐振动，体系的位移反应从开始时的，依照指数规律衰减

53、，回复到零点。依照指数规律衰减，回复到零点。 teGtGtv 211)()( 临界阻尼临界阻尼的物理意义的物理意义是：是：在自由振动反应在自由振动反应中不出现震荡所需要中不出现震荡所需要的最小阻尼值的最小阻尼值。 速度速度 00201vvGvG tetGGtv )()(21（3-20）v0( ) tv( )+etvtvt1+00.tv0.2.2.低阻尼低阻尼 特征方程：特征方程： 2222 mcmcs 自由振动方程：自由振动方程： 如果体系的阻尼比临界阻尼小，则显然有如果体系的阻尼比临界阻尼小，则显然有c/2m ，这时，特，这时，特征方程根式中的值为正值，则征方程根式中的值为正值，则s 值成为

54、值成为： 22)( s （3-2）0kvvcvm 12 )coshsinh()(tBtAetvt （3-38） 超超阻尼体系反应阻尼体系反应不是震荡的，体系的位移反应从开始时不是震荡的，体系的位移反应从开始时的的，依照双曲函数规律衰减，回复到零点。返回速度较依照双曲函数规律衰减，回复到零点。返回速度较临界阻尼时更快临界阻尼时更快。v0( ) tvtv0.)coshsinh(tBtAettetvtv)1 (00确定体系阻尼比的一种方法确定体系阻尼比的一种方法)cos()( tetvtd 体系的阻尼比可以通过测试体体系的阻尼比可以通过测试体系运动的衰减规律得到：系运动的衰减规律得到： 阻尼体系动力

55、反应：阻尼体系动力反应： 体系从任一时刻经几个周期后体系从任一时刻经几个周期后的振幅比为：的振幅比为： d2 nTnnTtttteeeevvkknkk 取对数后：取对数后：d2 nvvnkktt lnnkkttvvn ln21 d ty(t)ettkt +nTk0kte d/ 2T)(nTtke （3-35）nkkttyyn ln21 阻尼很小时：阻尼很小时： 体系阻尼的测试：体系阻尼的测试：2 2）计算阻尼比：）计算阻尼比： 确定结构体系阻尼的其它方法。确定结构体系阻尼的其它方法。nkkttvv nkkttvvn ln21 kmmc 221）实测体系经过个周期后的位移幅值比：）实测体系经过个

56、周期后的位移幅值比：3 3）计算阻尼系数：）计算阻尼系数：（3-36）nknkktttvvvn 21 tv(t)et2DT=vtk+nvtktkt +nTk0 e(t +nT)ketk计算图示刚架的阻尼系数计算图示刚架的阻尼系数已知：已知： 柱子无重、刚性梁；柱子无重、刚性梁； F=90kN使大使大梁产生梁产生5mm的初位移；的初位移； 摆动摆动1周后的周后的位移位移4mm； 周期为周期为1.4s. 解解 确定梁的有效质量确定梁的有效质量:skmT40. 122 m 1EIEIEI m 1EIEIEI5mmFkTm 22 t894005. 09024 . 12 计算阻尼系数：计算阻尼系数： m

57、c2 0355. 048. 48942 阻尼特性阻尼特性:10ln21vv 0355. 045ln21 sT40. 1 t894 m确定体系的自振频率确定体系的自振频率:Hz714. 04 . 111 Tfrad/s48. 42 f 六周以后振幅：六周以后振幅：06106vvvv mm311. 10 . 5546 kNs/m 284 单自由度体系受迫振动单自由度体系受迫振动 单自由度受迫振动体系的运动方程：单自由度受迫振动体系的运动方程：)(tpkvvcvm 二阶常系数非齐次微分方程。二阶常系数非齐次微分方程。通解通解由由补解补解和和特特解解组成：组成： )()()(tvtvtvpc 补解补解

58、y yc c(t)由体系的自由振动反应确定：由体系的自由振动反应确定： 受迫振动：受迫振动：结构在动力荷载即外干扰力作用下产生的振动结构在动力荷载即外干扰力作用下产生的振动。)cossin()(tBtAetvddtc 注意：注意：对于受迫振动体系，补解中的常数的对于受迫振动体系，补解中的常数的A A、B B 应由微应由微分方程的分方程的通解（通解（补解补解+ +特解特解）而不能仅由补解确定！而不能仅由补解确定！ 荷载荷载p(t)不同，微分方程的不同，微分方程的特解特解vp p(t)的形式是不同的。的形式是不同的。 )(tpt2. 谐振荷载反应谐振荷载反应 谐振荷载：谐振荷载： 简谐荷载作用下结

59、构体系的运动方程：简谐荷载作用下结构体系的运动方程：tpkvvcvm sin0 0p 2p0为荷载的幅值，为荷载的幅值， 为荷载的圆频率。为荷载的圆频率。 3-2-1 无阻尼体系无阻尼体系 谐振荷载作用下谐振荷载作用下的的无阻尼体系运动方程无阻尼体系运动方程： 补解补解 齐次方程的解：齐次方程的解：tBtAtvc cossin)( 特解特解 由动力荷载引起的特别解。设：由动力荷载引起的特别解。设：tGtvp sin)( 代入代入(1)(1)式得：式得：tpkvvm sin0 tptkGtGm sinsinsin02 202011 kmkpmkpG 202201111 kpkptptGkm si

60、nsin)(02 2011 kpG 所以特解的振幅：所以特解的振幅： ：频率比：频率比，表示荷载频率与体系自振频率的比：，表示荷载频率与体系自振频率的比： / 特解：特解： 通解：通解：tkp sin1120 )()()(tvtvtvpc 常数常数A、B 由初始条件确定。假设：由初始条件确定。假设：0)0()0( vv2011 kpA0 B 解得：解得：tBtA cossintkptBtAtv cos1sincos)(20 tGtvp sin)( 2011 kptkp sin1120 简谐荷载作用下无阻尼体系的动力反应为：简谐荷载作用下无阻尼体系的动力反应为：)sin(sin11)(20ttk